3D toepassingen

Antwoorden bij de opgaven

1. 1. Omdat je dan in twee dimensies kunt werken en je daarvoor over voldoende rekentechniek beschikt.
   2. ${\displaystyle {\left|QT\right|}^2={\left|BT\right|}^2-{\left|BQ\right|}^2={20}^2-{10}^2=300}$
   3. Beide driehoeken hebbe gelijke hoeken: een gemeenschappelijke ${\displaystyle \angle T}$ en een rechte hoek (en dan zijn de andere hoeken ook aan elkaar gelijk).
   4. ${\displaystyle {\left|TB\right|}^2={\left|TQ\right|}^2-{\left|SQ\right|}^2=300-100=200}$ dus ${\displaystyle \left|TS\right|=\sqrt{200}}$ en ${\displaystyle \left|TM\right|=\sqrt{200}-r}$
   5. ${\displaystyle \frac{\sqrt{200}-r}{r}=\frac{\sqrt{300}}{10}}$ geeft ${\displaystyle r=\frac{10\sqrt{2}}{1=\sqrt{3}}\approx \mathrm{5,18}}$
2. In ${\displaystyle \Delta QST}$ geldt ${\displaystyle cos(\angle Q)=\frac{1}{\sqrt{3}}}$.
   En in ${\displaystyle \Delta MRT}$ is ${\displaystyle cos(\angle M)=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{r}{\sqrt{200}-r}}$ en dan vind je weer ${\displaystyle r\approx \mathrm{5,18}}$.
3. 1. Omdat je daarin die afstand goed kunt tekenen.
   2. -
   3. -
   4. Met gelijkvormigheid: ${\displaystyle \frac{\sqrt{200}}{d+r}=\frac{20}{\sqrt{200}-r}}$ en met de al bekende ${\displaystyle r}$ vind je ${\displaystyle d\approx \mathrm{1,16}}$.
4. 1. ${\displaystyle \left|TS\right|=\sqrt{6^2-{\mathrm{3,6}}^2}=\mathrm{4,8}}$
   2. -
   3. De breedte is 3,45 m.
   4. De lengte is ${\displaystyle 4\frac{19}{24}\approx \mathrm{4,79}}$ m.
5. 1. -
   2. De dakoppervlakte is twee keer de oppervlakte van ${\displaystyle \Delta BCT}$ plus die van ${\displaystyle \Delta CDT}$ en dat is ${\displaystyle 60+\mathrm{39,93}...\approx 100}$ m².
6. 1. ${\displaystyle \left|EH\right|=\left|HG\right|=5}$ en ${\displaystyle \left|EG\right|=\sqrt{32}}$
   2. ${\displaystyle 32=5^2+5^2-2\cdot 5\cdot 5\cdot cos(\angle EHG)}$ geeft ${\displaystyle \angle EHG\approx {69}^{\text{o}}}$
   3. ${\displaystyle \left|HA\right|=\sqrt{80}}$, ${\displaystyle \left|AB\right|=5}$ en ${\displaystyle \left|BH\right|=\sqrt{96}}$.
      De cos-regel geeft dan ${\displaystyle 80=5^2+96-2\cdot 5\cdot \sqrt{96}\cdot cos(\angle ABH)}$ en dus ${\displaystyle \angle ABH\approx {65}^{\text{o}}}$.
7. 1. -
   2. Het is de hoogtelijn vanuit ${\displaystyle G}$ op ${\displaystyle EH}$ in ${\displaystyle \Delta EHG}$.
   3. De lengte van die hoogtelijn is ${\displaystyle 5sin(\angle EHG)\approx 5sin\left({69}^{\text{o}}\right)\approx \mathrm{4,7}}$.
8. 1. -
   2. -
   3. 561 cm.
9. 1. In ${\displaystyle \Delta FPB}$ geldt: ${\displaystyle cos(\angle F)=\frac{1}{6}}$.
      Met de cos-regel in ${\displaystyle \Delta BFG}$ krijg je dan: ${\displaystyle {\left|BG\right|}^2=4^2+6^2-2\cdot 4\cdot 6\cdot cos(\angle F)=46}$, dus ${\displaystyle \left|BG\right|=\sqrt{46}}$
   2. In trapezium ${\displaystyle ABGH}$ is ${\displaystyle cos(\angle B)=\frac{\mathrm{1,5}}{\sqrt{46}}}$.
      Met de cos-regel in ${\displaystyle \Delta ABG}$ krijg je dan: ${\displaystyle {\left|AG\right|}^2=4^2+46-2\cdot 4\cdot \sqrt{46}\cdot cos(\angle B)=50}$, dus ${\displaystyle \left|AG\right|=\sqrt{50}}$
10. 1. ${\displaystyle cos(\angle BAE)=\frac{\mathrm{1,5}}{6}}$ dus ${\displaystyle \angle BAE\approx {76}^{\text{o}}}$.
    2. Pas de cos-regel toe in ${\displaystyle \Delta ACG}$: ${\displaystyle {\left(\sqrt{17}\right)}^2=6^2+{\left(\sqrt{50}\right)}^2-2\cdot 6\cdot \sqrt{50}\cdot cos(\angle AGC)}$ geeft ${\displaystyle \angle AGC\approx {34}^{\text{o}}}$.
11. De doorsnede op hoogte ${\displaystyle x}$ heeft een lengte van ${\displaystyle l=4-\frac{3x}{\sqrt{\mathrm{31,5}}}}$ en ${\displaystyle b=1+\frac{3x}{\sqrt{\mathrm{31,5}}}}$.
    De omtrek is daarom altijd 10 m.
12. 1. Punt ${\displaystyle A}$ zit dan op ${\displaystyle \sqrt{{100}^2-{30}^2}=\sqrt{9100}}$ van de muur.
       ${\displaystyle \left|AC\right|=\sqrt{{120}^2+{\left(\sqrt{9100}\right)}^2}=\sqrt{23500}}$.
    2. De draaihoek is ${\displaystyle \angle ABC}$ als ${\displaystyle A}$ op zijn laagste stand zit. Die hoek kun je rechtstreeks met de cos-regel in ${\displaystyle \Delta BAC}$ berekenen. Of je berekent het supplement van die hoek in de rechthoekige driehoek die daar onder zit. Je vindt ${\displaystyle \angle ABC\approx {\mathrm{107,4}}^{\text{o}}}$. De baanlengte is dan ongeveer ${\displaystyle \frac{\mathrm{107,4}}{360}\cdot 2\pi \cdot 100\approx 188}$ cm.
    3. ${\displaystyle \sqrt{{100}^2-{20}^2}=\sqrt{9600}}$ cm.
    4. ${\displaystyle a=90\cdot sin\left(\beta \right)}$.
    5. Ala ${\displaystyle a=45}$, is ${\displaystyle \beta ={30}^{\text{o}}}$ en daarmee vind je voor de gevraagde afstand 50 cm.
13. 1. De straal is ${\displaystyle \sqrt{{16}^2-5^2}=\sqrt{231}\approx \mathrm{15,2}}$ cm.
    2. ${\displaystyle sin(\frac{1}{2}\angle FEL)=\frac{5}{16}}$ dus ${\displaystyle \angle FEL\approx {\mathrm{36,4}}^{\text{o}}}$ dus 10 dozen.
    3. Het gaat om de lengte van het lijnstuk van het midden ${\displaystyle M}$ van ${\displaystyle DE}$ naar het midden ${\displaystyle N}$ van ${\displaystyle CK}$.
       Met gelijkvormigheid toon je aan dat ${\displaystyle \left|DN\right|=\frac{13}{16}\sqrt{231}}$ en omdat ${\displaystyle \left|DN\right|=7}$ is ${\displaystyle \left|MN\right|={\sqrt{\frac{13}{16}\sqrt{231}}}^2+7^2)}$. En dat in minder dan de straal van de kaas. Dus hij past niet... (Best raar voor een opgave uit een oud havo wiskunde B examen, waar overigens deze vraag niet werd gesteld.)
    4. Symmetrisch trapezium met ${\displaystyle \left|BH\right|=10}$, ${\displaystyle \left|CK\right|=\frac{13}{16}\cdot 10}$ en ${\displaystyle \left|HK\right|=\left|BC\right|=\sqrt{18}}$.
       De hoeken zijn ${\displaystyle \angle B=\angle H\approx {\mathrm{77,2}}^{\text{o}}}$ en ${\displaystyle \angle C=\angle K\approx {\mathrm{102,8}}^{\text{o}}}$.
14. 1. ${\displaystyle \sqrt{{40}^2+{40}^2}=\sqrt{3200}=40\sqrt{2}\approx 57}$ cm.
    2. De afstand van het draaipunt naar de uiterste punten van de halve cirkel is ${\displaystyle \sqrt{{20}^2+{80}^2}=\sqrt{6800}}$ cm. Omdat het draaipunt 40 cm van de muur zit, is de gevraagde afstand ${\displaystyle 2\cdot \sqrt{6800-{40}^2}=2\cdot \sqrt{5200}\approx 144}$ cm.
    3. Omdat het glazen oppervlak een kwart cirkel is, staat in de twee uiterste punten de (kwart) cirkelboog loodrecht op de rechte rand van het tafelblad. Die rechte rand maakt een hoek van ongeveer 29,0° (goniometrie) met de muur, de ronde rand maakt dus een hoek van ongeveer 119,0° met de muur. Nu geef je normaal gesproken een scherpe hoek, dus het juiste antwoord is 61,0°.
15. 
    1. ${\displaystyle TU}$ is lichaamsdiagonaal van een regelmatig achtvlak (${\displaystyle T.PQRS.U}$) waarvan alle ribben 4 zijn. De lengte is ${\displaystyle 4\sqrt{2}}$. Je kunt ook werken in deze dwarsdoorsnede die vooral ook bij de volgende twee ondredelen handig is.
    2. Bekijk de dwarsdoorsnede. Omdat je nu weet dat ${\displaystyle \left|AF\right|=\left|TU\right|=4\sqrt{2}}$ kun je (bijvoorbeeld) met de cos-regel in ${\displaystyle \Delta AMF}$ de gevraagde ${\displaystyle \angle AMF}$ uitrekenen. Maar vanwege de symmetrie kan het ook heel gewoon met sin, cos of tan. Uiteindelijk vind je ${\displaystyle \angle AMF\approx {\mathrm{109,47}}^{\text{o}}}$.
    3. De straal van die bol is ${\displaystyle r=\left|SF\right|}$ als ${\displaystyle S}$ het snijpunt van ${\displaystyle TU}$ en ${\displaystyle MN}$ is. ${\displaystyle r=\sqrt{24}}$.