Goniometrische functies

Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.


Uitleg

Opgaven

  1. Ga van elk van de volgende functies na of de grafiek op een sinuso´de lijkt of niet.
    1. `y_1 = 1 + 2 sin(0,5x ľ 1)`
    2. `y_2 = sin(x) + cos(x)`
    3. `y_3 = sin(x^2)`
    4. `y_4 = sin^2(x) = (sin(x))^2`
    5. `y_5 = sin(9x) ľ sin(11x)`

  2. Waarom weet je bij `y_2` en `y_3` eigenlijk (nog) niet zeker of hun grafieken echt dezelfde vorm hebben als die van `y = sin(x)`?


Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

  1. Bekijk Voorbeeld 1. Los nu zelf op `[0,2pi]` op: `f(x) > 160`.

  2. Gegeven is de functie `f` met `f(x) = 10 sin(0,1pi(x - 5)) + 15` op het interval `[0,50]`.
    1. Lees periode, amplitude, evenwichtsstand en de horizontale verschuiving t.o.v. de `y`-as uit het functievoorschrift af.
    2. Teken de grafiek met je grafische rekenmachine.
    3. Los op in twee decimalen nauwkeurig: `f(x) = 12`.

  3. Bekijk Voorbeeld 2.
    1. Breng zelf de grafiek van `f` op je grafische rekenmachine in beeld en bepaal de twee opeenvolgende maxima.
    2. Welke periode kun je hieruit afleiden voor de sinuso´de die lijkt te ontstaan?
    3. Welke andere formule zou je bij deze sinuso´de kunnen opstellen?
    4. Waarom weet je nog niet helemaal zeker dat de grafiek van `f` ook echt een sinuso´de is?

  4. Gegeven de functie `f` met `f(x) = 2 sin(x) cos(x)` op `[0,2pi]`.
    1. Maak de grafiek van `f` op je grafische rekenmachine.
    2. Lijkt de grafiek op een sinuso´de? Zo ja, welke formule past er dan bij die sinuso´de?
    3. Los op: `f(x) = 0,5`. Geef benaderingen in twee decimalen nauwkeurig.
    4. Gebruik nu de formule van de sinuso´de die je bij b hebt gemaakt en los exact op: `y = 0,5`. Komen deze antwoorden overeen met die bij c?

  5. Bekijk de grafiek van de functie `f(x) = 2x sin(x)` op `[0,2pi]`.
    1. Waarom kan hier geen sprake zijn van een sinuso´de?
    2. Is dit een periodieke functie?
    3. Beschrijf de regelmaat van de grafiek van `f`.

  6. Gegeven is de functie `f` met `f(x) = sin(sqrt(x))`.
    1. Maak de grafiek van `f` op `[0,1000]`.
    2. Los op: `f(x) = 1`.
    3. Hoe kun je aan de antwoorden bij b zien dat dit geen periodieke functie is?


Verwerken

  1. Als je de sinuso´den `y_1 = 3 sin(x)` en `y_2 = 4 cos(x)` optelt, krijg je de grafiek van de functie `f(x) = 3 sin(x) + 4 cos(x)`. De grafiek van `f` is een sinuso´de.
    1. Geef de periode, de amplitude, de evenwichtsstand en de horizontale verschuiving ten opzichte van `y_1 = sin(x)`. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
    2. Stel een formule op voor deze sinuso´de.
    3. Bereken met behulp van je formule bij b de toppen en de nulpunten van de grafiek van `f`.
    4. Los op `[0,2pi]` op: `f(x) > 1`.

  2. Bekijk de grafiek van de functie `g(x) = cos(x) - cos(2x)`.
    1. Deze grafiek is periodiek. Wat is de periode?
    2. Is de grafiek van `g` een sinuso´de?
    3. Bepaal met je grafische rekenmachine de nulpunten en de toppen van de functie `g`. Neem als domein `[0, 2pi]`.


Testen

  1. Gegeven is de functie `f(x) = cos(x) - sin(x)`. De grafiek van `f` is een sinusoïde.
    1. Bereken of beredeneer de exacte nulpunten van `f`.
    2. Beredeneer de exacte extremen van `f`.
    3. Geef een formule voor deze sinusoïde.
    4. Los algebraïsch op: `f(x) >= 1`.