Goniometrische functies

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-d > Toegepaste analyse > Goniometrische functies > Goniometrische functies > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-d > Toegepaste analyse > Goniometrische functies > Goniometrische functies > Uitleg

Opgaven

1. Ga van elk van de volgende functies na of de grafiek op een sinusoïde lijkt of niet.
   1. `y_1 = 1 + 2 sin(0,5x – 1)`
   2. `y_2 = sin(x) + cos(x)`
   3. `y_3 = sin(x^2)`
   4. `y_4 = sin^2(x) = (sin(x))^2`
   5. `y_5 = sin(9x) – sin(11x)`


2. Waarom weet je bij `y_2` en `y_3` eigenlijk (nog) niet zeker of hun grafieken echt dezelfde vorm hebben als die van `y = sin(x)`?
   

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-d > Toegepaste analyse > Goniometrische functies > Goniometrische functies > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

3. Bekijk Voorbeeld 1. Los nu zelf op `[0,2pi]` op: `f(x) > 160`.
   


4. Gegeven is de functie `f` met `f(x) = 10 sin(0,1pi(x - 5)) + 15` op het interval `[0,50]`.
   1. Lees periode, amplitude, evenwichtsstand en de horizontale verschuiving t.o.v. de `y`-as uit het functievoorschrift af.
   2. Teken de grafiek met je grafische rekenmachine.
   3. Los op in twee decimalen nauwkeurig: `f(x) = 12`.


5. Bekijk Voorbeeld 2.
   1. Breng zelf de grafiek van `f` op je grafische rekenmachine in beeld en bepaal de twee opeenvolgende maxima.
   2. Welke periode kun je hieruit afleiden voor de sinusoïde die lijkt te ontstaan?
   3. Welke andere formule zou je bij deze sinusoïde kunnen opstellen?
   4. Waarom weet je nog niet helemaal zeker dat de grafiek van `f` ook echt een sinusoïde is?


6. Gegeven de functie `f` met `f(x) = 2 sin(x) cos(x)` op `[0,2pi]`.
   1. Maak de grafiek van `f` op je grafische rekenmachine.
   2. Lijkt de grafiek op een sinusoïde? Zo ja, welke formule past er dan bij die sinusoïde?
   3. Los op: `f(x) = 0,5`. Geef benaderingen in twee decimalen nauwkeurig.
   4. Gebruik nu de formule van de sinusoïde die je bij b hebt gemaakt en los exact op: `y = 0,5`. Komen deze antwoorden overeen met die bij c?


7. Bekijk de grafiek van de functie `f(x) = 2x sin(x)` op `[0,2pi]`.
   1. Waarom kan hier geen sprake zijn van een sinusoïde?
   2. Is dit een periodieke functie?
   3. Beschrijf de regelmaat van de grafiek van `f`.


8. Gegeven is de functie `f` met `f(x) = sin(sqrt(x))`.
   1. Maak de grafiek van `f` op `[0,1000]`.
   2. Los op: `f(x) = 1`.
   3. Hoe kun je aan de antwoorden bij b zien dat dit geen periodieke functie is?

Verwerken

9. Als je de sinusoïden `y_1 = 3 sin(x)` en `y_2 = 4 cos(x)` optelt, krijg je de grafiek van de functie `f(x) = 3 sin(x) + 4 cos(x)`. De grafiek van `f` is een sinusoïde.
   1. Geef de periode, de amplitude, de evenwichtsstand en de horizontale verschuiving ten opzichte van `y_1 = sin(x)`. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
   2. Stel een formule op voor deze sinusoïde.
   3. Bereken met behulp van je formule bij b de toppen en de nulpunten van de grafiek van `f`.
   4. Los op `[0,2pi]` op: `f(x) > 1`.


10. Bekijk de grafiek van de functie `g(x) = cos(x) - cos(2x)`.
    1. Deze grafiek is periodiek. Wat is de periode?
    2. Is de grafiek van `g` een sinusoïde?
    3. Bepaal met je grafische rekenmachine de nulpunten en de toppen van de functie `g`. Neem als domein `[0, 2pi]`.

Testen

11. Gegeven is de functie `f(x) = cos(x) - sin(x)`. De grafiek van `f` is een sinusoïde.
    1. Bereken of beredeneer de exacte nulpunten van `f`.
    2. Beredeneer de exacte extremen van `f`.
    3. Geef een formule voor deze sinusoïde.
    4. Los algebraïsch op: `f(x) >= 1`.