Exponentiële functies

Antwoorden bij de opgaven

    1. `g(x) = 3^x = (text(e)^(ln(3)))^x = text(e)^(x * ln(3))` dus `g'(x) = ln(3) * text(e)^(x * ln(3)) = ln(3) * 3^x`
    2. `h(x) = 0,5^x = (text(e)^(ln(0,5)))^x = text(e)^(x * ln(0,5))` dus `h'(x) = ln(0,5) * text(e)^(x * ln(0,5)) = ln(0,5) * 0,5^x`
    3. `f(x) = g^x = (text(e)^(ln(g)))^x = text(e)^(x * ln(g))` dus `f'(x) = ln(g) * text(e)^(x * ln(g)) = ln(g) * g^x`
  2. `f(x) = text(e)^x` geeft `f'(x) = ln(text(e)) * text(e)^x = text(e)^x`.
  3. Een goede manier om het differentiëren nog even goed te oefenen, maar nu ook met de nieuwe e-macht en natuurlijke logaritme.
    1. `f'(x) = 5 ln(3) * 3^x`
    2. `f'(x) = 2,5 ln(2) * 2^(0,5x)`
    3. `f'(x) = - 4,8 ln(10) * 10^(0,1x)`
    4. `f'(x) = -10text(e)^(-0,1x)`
    1. `N'(1) ~~ 48`.
    2. `N(1) - N(0) ~~ 41`.
    3. `M(t) ~~ 80 * 1,59^t` omdat `2^(1/(1,5)) ~~ 1,59`.
    4. `100 * 1,41^t = 80 * 1,59^t` geeft `80/100 = ((1,41)/(1,59))^t` en dus `0,8 ~~ 0,89^t` en `t ~~ (ln(0,8))/(ln(0,89)) ~~ 1,91`. Dus na 2 uur.
    5. `N'(1,91) ~~ 66` dus ongeveer 66.000 bacteriën per uur en `M'(1,91) ~~ 90` dus ongeveer 90.000 bacteriën per uur.
    1. `f'(x) = 2 ln(3) * 3^(2x - 4)`.
      `f(1) = -11 5/9` en `f'(1) = 2/9 ln(3)` geeft als vergelijking van de raaklijn `y = 2/9 ln(3) x - 11 5/9 - 2/9 ln(3)`.
    2. `f(x) = text(e)^(x) - text(e)^(-x)` geeft `f(x) = text(e)^(x) + text(e)^(-x)`.
      `f(1) = text(e) - text(e)^(-1)` en `f'(1) = text(e) + text(e)^(-1)` geeft als vergelijking van de raaklijn `y = (text(e) + 1/(text(e))) x - 2/(text(e))`.
    1. Niet al meteen de formule bekijken, maar bedenken hoe het proces verlopen zal. Stijgende grafiek van `p(t)` door `(0; 1,4)` en `(10; 2,0)` met horizontale asymptoot `p = 3,5`.
    2. Grafiek van `p(t) = 3,5 - a * g^t` door `(0; 1,4)` en `(10; 2,0)` geeft `1,4 = 3,5 - a * g^0` en `2,0 = 3,5 - a * g^(10)`.
      Hieruit vind je `a = 2,1` en `g ~~ 0,97`.
    3. `p(t) = 3,5 - 2,1 * 0,97^t = 2,6` geeft `t = ^(0,97)log((0,9)/(2,1)) ~~ 25,2` dus vanaf 26 seconden is dat het geval.
    4. `p'(t) = -2,1 * 0,97^t * ln(0,97)` en dus is `p'(0) ~~ 0,07` atm/s.
    1. `text(e)^(5600k) = 0,5` geeft `k = (ln(0,5))/(5600) ~~ -0,000124`.
    2. `t = (ln(0,79))/(k) ~~ 1900` jaar.
    3. `t = (ln(0,65))/(k) ~~ 3500` jaar.
    4. `t = (ln(0,33))/(k) ~~ 9000` jaar.
    1. `f'(x) = 1 - ln(2) * 2^(-x) = 0` geeft `x = ^2 log(ln(2))` en het minimum is daarom `f( ^2 log(ln(2))) ~~ 0,92`
    2. `f'(0) = 1 - ln(2)` en `f(0) = 1` geeft `y = (1 - ln(2))x + 1`.
    1. `A(0) = b * g^0 = 200` geeft `b = 200`.
      `A(1) = 200 * g^1 = 350` geeft `g = 1,75`. De formule is dan: `A(t) = 200 * 1,75^t`.
    2. `A'(t) = 200 * ln(1,75) * 1,75^t` geeft `A'(0) ~~ 112`.
    3. Schatting: `200 + 112 = 312` saprofieten.
    4. `200 * 1,75^t = 100000` geeft `t = (ln(500))/(ln(1,75)) ~~ 11,105` dus na 1 uur en 6 minuten.
    1. Grafiek is stijgend vanaf `(0,6)` naar horizontale asymptoot `T = 20`.
    2. De snelheid van temperatuursverandering `T'(t)` is recht evenredig met het temperatuursverschil met de omgeving en dat is `20 - T`.
    3. `T(t) = 20 + a * text(e)^(ct)` en `T'(t) = a * c * text(e)^(ct)` invullen geeft links en rechts van het isgelijkteken hetzelfde voor elke `t`.
    4. `T(12) = 18` en `T(0) = 6` invullen geeft `a = -14` en `c = 1/(12) ln(1/7) ~~ -0,16`. Dus `T(t) = 20 - 14text(e)^(-0,16t)`.
    5. `T'(0) ~~ 2,27` en `T'(15) ~~ 0,20`°C/min.
      De opwarming verloopt steeds langzamer.
    1. Gegeven is `G_(text(eind)) = 0,60` en je leest af `G(0) = 0,065`. Dus `0,065 = 0,60 - b`, zodat `b = 0,535`.
      Verder lees je af dat `N(20) = 2000`. Dus: `2000 = 5000text(e)^(20a)`, zodat `a ~~ -0,046`.
      Ook lees je af dat `G(8) = 0,50`, zodat `0,50 = 0,60 - 0,535 * text(e)^(8c)` en `c ~~ -0,21`.
      Dus `N(t) ~~ 5000 * text(e)^(-0,05t)` en `G(t) = 0,60 - 0,54 * text(e)^(-0,21t)`.
    2. `T(t) = N(t) * G(t) = 5000 * text(e)^(-0,05t) * (0,60 - 0,54 * text(e)^(-0,21t)) = 3000text(e)^(-0,05t) - 2700text(e)^(-0,26t)`.
    3. `T'(t) = -150text(e)^(-0,05t) + 702text(e)^(-0,26t) = 0` geeft `text(e)^(0,21t) = 702/150` en dus `t ~~ 7,35`.
      Het totale gewicht aan forellen is maximaal na ongeveer `7,35` maanden.
    1. `f(x) = 3 * 0,5^(2x - 1) - 4 = 0` geeft `0,5^(2x - 1) = 4/3` en `2x - 1 = ^0,5log(4/3)`, dus `x ~~ 0,29`.
      `f'(x) = 3ln(0,5) 0,5^(2x - 1)` geeft `f'(0,29) = 3ln(0,5)*4/3 ~~ -2,77`.
      De vergelijking van de raaklijn wordt `y = -2,77x + 0,81`.
    2. `f(x) = 5 - text(e)^(sqrt(x)) = 0` geeft `x = (ln(5))^2 ~~ 2,59`.
      `f'(x) = - (text(e)^(sqrt(x)))/(2sqrt(x))` geeft `f'(2,59) = - 5/(2 ln(5)) ~~ -1,55`.
      De vergelijking van de raaklijn wordt `y = -1,55x + 4,02`.
    1. `text(e)^(-alpha) = 0,4` geeft `alpha = -ln(0,4) ~~ 0,916`.
    2. `text(e)^(-ln(0,4) * d) = 0,01` geeft `d = (ln(0,01))/(-ln(0,4)) ~~ 5,03`. Dus ongeveer 5 cm.
    3. `I'(0) = -I(0)ln(0,4)`.