Noodzakelijke differentieerregels

Inleiding

Je hebt in het voorgaande kennis gemaakt met de afgeleide van een exponentiële functie: de afgeleide van f(x) = g^x is f'(x) = c_g · g^x. Maar hoe kom je nu precies aan die constante?
Daarvoor heb je meer differentieerregels nodig.
Uitgangspunt is dat de afgeleide van f(x) = e^x gelijk is aan f'(x) = e^x. (De gemakkelijkste afgeleide om te onthouden!)

Je leert nu:

• de al bekende differentieerregels (vanuit wiskunde B) gebruiken;
• de kettingregel voor differentiëren gebruiken.

Je kunt al:

• werken met afgeleiden om raaklijnen en extremen te berekenen;
• de afgeleiden van veeltermfuncties bepalen;
• Werken met de rekenregels voor machten.

Verkennen

Voer in je grafische rekenmachine in:
Y1 = 2^X
Y2 = (Y1(X + 0.001) – Y1(X))/0.001
Y3 = Y2/Y1
Gebruik de standaardinstellingen van het venster.

> Verklaar de grafiek van Y3.
> Verander Y1 in y₁ = e^2x. Wat gebeurt er met de grafiek van Y3?
> Wat is de afgeleide van f(x) = e^2x?
> Bepaal nu met behulp van je GR de afgeleiden van:

• g(x) = e^3x
• h(x) = 4e^x
• k(x) = 4e^3x
• l(x) = 4e^{3x + 2} + 10

Uitleg

Je kent al diverse differentieerregels, regels waarmee je de afgeleide van een functie bepaalt. Even een korte samenvatting:

• Als f(x) = xⁿ dan is f'(x) = nx^n – 1.
• Als f(x) = c dan is f'(x) = 0.
• Als f(x) = c · g(x) dan is f’(x) = c · g’(x).
• Als f(x) = u(x) ± v(x) dan is f'(x) = u'(x) ± v'(x).

Deze regels gebruik je bij het bepalen van de afgeleide van functies zoals f(x) = 0,5x³ – 6x + 3, en dergelijke.
Voor het differentiëren van exponentiële functies heb je allereerst nog nodig:

• Als f(x) = e^x dan is f’(x) = e^x.

Maar verder moet je ook weten hoe je met samengestelde functies zoals g(x) = e^2x,
h(x) = ${\text{e}}^{3x^2+2}$, en dergelijke omgaat. Bij dergelijke functies worden er als het ware een aantal deelfuncties geschakeld.

Neem je bijvoorbeeld g(x) = e^2x, dan bestaat deze functie uit twee schakels:

• eerst reken je bij een bepaalde x uit wat u(x) = 2x is;
• vervolgens voer je u(x) = 2x in de e-macht in tot g(x) = e^2x.

Het differentiëren gaat dan ook schakel voor schakel:

• eerst bepaal je van u(x) = 2x de afgeleide: u'(x) = 2;
• vervolgens bepaal je de afgeleide van f(u) = e^u als f'(u) = e^u.

De complete afgeleide wordt g'(x) = f'(u) · u'(x) = e^u · 2 = e^2x · 2 = 2e^2x.

Bij h(x) = ${\text{e}}^{3x^2+2}$ doe je dat op dezelfde manier.
De schakels zijn: u(x) = 3x² + 2 en dan f(u) = e^u.
Voor de afgeleide: u'(x) = 6x en dan f'(u) = e^u.
En dus h'(x) = f'(u) · u'(x) = e^u · 6x = 6x${\text{e}}^{3x^2+2}$.

Dit noem je de kettingregel voor het differentiëren omdat je als het ware een aantal schakels tot een ketting aaneen rijgt. Wiskundigen hebben een algemeen bewijs voor deze manier van differentiëren gevonden. Je komt deze differentieerregel ook bij wiskunde B tegen.

‡

Opgaven

1. Lees eerst de Uitleg goed door. Bekijk de grafiek van de functie `f(x) = text(e)^(3x)` op de grafische rekenmachine. Breng ook een benadering van de grafiek van `f'` en hun verhouding in beeld. Gebruik de standaardinstellingen van het venster.
   1. Ga na dat voor een willekeurige `x` de waarden van de afgeleide 3 keer zo groot zijn dan die van de functie zelf. Wat is de afgeleide van `f`?
   2. Bekijk nu het functievoorschrift. Uit welke twee schakels bestaat het?
   3. Laat zien hoe je deze afgeleide met de kettingregel bepaalt.


2. Bekijk de grafiek van de functie `f(x) = text(e)^(x^2)` op de grafische rekenmachine. Breng ook een benadering van de grafiek van `f'` in beeld. Kies het venster zo dat `x` loopt vanaf `-2` tot en met `2` en `y` vanaf `-10` tot en met `10`.
   1. Bepaal de afgeleide van `f` met behulp van de kettingregel.
   2. Voer deze afgeleide ook in je grafische rekenmachine in en ga na dat de grafiek (bij benadering) samenvalt met de eerder gemaakte benadering van `f'`.


3. Neem `f(x) = sqrt(x)`.
   Deze functie kun je met de machtsregel differentiëren omdat `f(x) = sqrt(x) = x^(1/2)`.
   Laat zien dat de afgeleide wordt: `f'(x) = 1/(2 sqrt(x))`.
   

Theorie

Onthoud de volgende noodzakelijke differentieerregels:

• Als f(x) = x^r dan is f'(x) = rx^{r – 1} voor elke waarde van r.

• Als f(x) = c dan is f'(x) = 0.

• Als f(x) = c · g(x) dan is f'(x) = c · g'(x).

• Als f(x) = u(x) ± v(x) dan is f'(x) = u'(x) ± v'(x).

• Als g(x) = f(u(x)), dan is g'(x) = f'(u(x)) · u'(x). (kettingregel)

Deze differentieerregels zul je in het vervolg geregeld nodig hebben. Je moet ze daarom goed oefenen. Je komt ze bij wiskunde B ook regelmatig tegen. Vooral de kettingregel kan wel eens een nieuwe regel zijn, je leert er alleen mee werken, het bewijs van deze regel gaat te ver.

‡

Voorbeeld 1

Bekijk de grafieken van f₂(x) = e^2x en zijn hellingsfunctie f'₂ via

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-d > Toegepaste analyse > Exponentiële en logaritmische functies > Differentieerregels > Voorbeeld 1

Waarom valt f'₂ niet samen met f₂? Wat heeft dit met de kettingregel voor differentiëren te maken?

Antwoord

Ga eerst na, dat de grafieken van f₁(x) = e^x en zijn hellingsfunctie f'₁ wel samenvallen.

Vervang je nu x door 2x, dan komt niet alleen elke functiewaarde dichter bij de y-as te liggen, maar wordt de grafiek ook steiler.

Het punt (1, e) op de grafiek van f₁ wordt het punt (0,5; e) op de grafiek van f₂. In dit punt is ook de helling van de grafiek van f₂ twee keer zo groot dan die van f₂ in (1, e²) was.

Met de kettingregel: f'₂(x) = e^2x · 2.

‡

Voorbeeld 2

Differentieer f(x) = $\sqrt{x}$.

Antwoord

Bij de Theorie staat de uitgebreide machtsregel: als f(x) = x^r dan is f'(x) = rx^{r – 1} voor elke waarde van r. Deze regel blijkt ook te gelden voor negatieve en gebroken waarden van r.

Omdat $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$, kun je de machtsregel toepassen op de gegeven functie. Je vindt:

$f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$ geeft $f\text{'}(x)=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

‡

Voorbeeld 3

Bepaal de afgeleide van f(x) = $\frac{3}{{\text{e}}^{4x}}$.
Stel een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van f voor x = 0,25.

Antwoord

Eerst bepaal je de afgeleide van f(x) = 3e^–4x met behulp van de kettingregel.

f'(x) = 3e^–4x · –4 = –12e^–4x = $\frac{-12}{{\text{e}}^{4x}}$

Voor de raaklijn bepaal je f(0,25) = $\frac{3}{\text{e}}$ en f'(0,25) = $\frac{-12}{\text{e}}$.
De raaklijn heeft vergelijking y = $\frac{-12}{\text{e}}$ · x + $\frac{6}{\text{e}}$.

‡

Opgaven

4. Bekijk Voorbeeld 1. Stel de applet in op `f_(0,5)(x) = text(e)^(0,5x)`.
   1. Het punt `(1,e)` op de grafiek van `f_1(x) = text(e)^x` gaat door het vervangen van `x` door `0,5x` over in een ander punt. Welk punt?
   2. Hoe zit het met de helling van de grafiek van `f_(0,5)` in dit punt vergeleken met de helling van de grafiek van `f_1` in `(1,e)`?
   3. Bepaal nu met de behulp van de kettingregel de afgeleide van `f_(0,5)`.
   4. Komt deze afgeleide overeen met het antwoord van b?


5. Differentieer de functies:
   1. `f(x) = text(e)^(5x)`
   2. `g(x) = 15text(e)^(6 - 2x) + 12`
   3. `h(x) = 12text(e)^(-0,5x^2)`
   4. `k(x) = 40 - 6text(e)^(x^3-1)`


6. Bekijk Voorbeeld 2. Neem `f(x) = 1/x`.
   1. Schrijf het functievoorschrift als machtsfunctie (met een negatieve exponent).
   2. Laat zien, dat `f'(x) = - 1/(x^2)`.


7. Differentieer de volgende functies en schrijf de afgeleide zonder gebroken en/of negatieve exponenten:
   1. `f(x) = 3/(x^2)`
   2. `g(x) = x sqrt(x)`
   3. `h(x) = 4/(sqrt(x))`
   4. `k(x) = 5 sqrt(x) - 1/(2 sqrt(x))`


8. In Voorbeeld 3 zie je nog eens hoe je de vergelijking opstelt van de raaklijn aan de grafiek van een gegeven functie voor een bepaalde waarde van `x`.
   1. Bepaal zelf de afgeleide van de gegeven functie `f`.
   2. Laat zien hoe je de vergelijking van de raaklijn aan `f` voor `x = 1` opstelt.
   3. Voor `x = p` gaat de raaklijn aan de grafiek van `f` door de oorsprong van het assenstelsel. Bereken `p`.


9. Bepaal de afgeleide van de volgende functies en schrijf hem zonder gebroken en/of negatieve exponenten:
   1. `f(x) = text(e)^(2 sqrt(x))`
   2. `g(x) = 1/(2x) - text(e)^(2x)`
   3. `h(x) = 3sqrt(x) + text(e)^(2x)`
   4. `k(x) = text(e)^(x^2) - 3/(text(e)^(2x))`

Verwerken

10. Differentieer de volgende functies:
    1. `f(x) = text(e)^(2x) - 3sqrt(x)`
    2. `g(x) = 3/(5x^2) + text(e)^(sqrt(2x))`
    3. `h(x) = 50/(1 + 3text(e)^(-0,5x))`
    4. `k(x) = 20 + 60 * text(e)^(-0,8x)`


11. Gegeven is de functie `f` met `f(x) = 2x - text(e)^(3x)`.
    1. Bepaal de afgeleide van `f`.
    2. Bereken de exacte waarde van het maximum van `f` met behulp van de afgeleide.
    3. Stel een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van `f` voor `x = 1`.


12. Als een kabel tussen twee masten aan beide uiteinden op dezelfde hoogte wordt opgehangen, dan neemt hij de vorm aan van een zogenaamde "kettinglijn". Neem aan dat beide masten 60 m uit elkaar staan. Dan past bij die kettinglijn een formule als:

    `h(x) = 0,05(text(e)^(0,15x) + text(e)^(-0,15x)) + 10`

    waarin `h` de hoogte boven de grond is. `x` en `h` zijn beide in meter, de ophangpunten zitten bij `x = 30` en `x = –30`.
    
    
    
    
    1. Op hoeveel m boven de grond is deze kabel opgehangen?
    2. Hoeveel afstand zit er tussen twee punten van de kabel die 12 m boven de grond zitten?
    3. Toon met behulp van differentiëren aan dat het laagste punt van deze kabel bij `x = 0` zit.
    4. Er worden twee lijnen gespannen die de masten waaraan de kabel is opgehangen verticaal houden. Deze lijnen maken dezelfde hoek met de masten als de kabel in de ophangpunten. Welke hoek is dat? Geef je antwoord in tienden van graden nauwkeurig en maak gebruik van de afgeleide van `h`.

Testen

13. Differentieer de volgende functies en stel een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van `f` voor `x = 2`.
    1. `f(x) = 0,1text(e)^(sqrt(x))`
    2. `f(x) = 2/(text(e)^(0,5x))`
    3. `f(x) = -5 + text(e)^(x - 2)`


14. Gegeven is de functie `f` met `f(x) = 0,5 text(e)^(-x) - 2`.
    1. Welke asymptoot heeft de grafiek van deze functie?
    2. Bereken algebraïsch het snijpunt van de grafiek van `f` met de `x`-as. Geef een benadering in drie decimalen nauwkeurig.
    3. Stel een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van `f` in dit punt.
    4. Los algebraïsch op: `f(x) < 4`. Geef een benadering in drie decimalen nauwkeurig.