Noodzakelijke differentieerregels

Antwoorden bij de opgaven

    1. `f'(x) = 3 * text(e)^(3x)`
    2. Uit `f(u) = text(e)^u` en `u(x) = 3x`.
    3. `f'(x) = f'(u) * u'(x) = text(e)^u * 3 = 3 text(e)^(3x)`.
    1. `f'(x) = f'(u) * u'(x) = text(e)^u * 2x = 2x text(e)^(x^2)`.
    2. Voer in je rekenmachine in: Y1=e^(X^2) en Y2=nDeriv(Y1,X,X), neem bijvoorbeeld Xmin = –4, Xmax = 4, Ymin = –2000 en Ymax = 2000.
  3. Zie voorbeeld 2.
    1. In `(2,text(e))`.
    2. De helling wordt gehalveerd.
    3. `f'_(0,5)(x) = 0,5 text(e)^(0,5x)`
    4. Ja, want `f'_(0,5)(2) = 0,5 text(e)^(1) = 0,5 * f'_1(1)`.
    1. `f'(x) = 5 text(e)^(5x)`
    2. `g'(x) = 15text(e)^(6 - 2x) * -2 = -30text(e)^(6 - 2x)`
    3. `h'(x) = 12text(e)^(-0,5x^2) * -3x = -36x text(e)^(-0,5x^2)`
    4. `k'(x) = -6 text(e)^(x^3-1) * 3x^2 - -18x^2 text(e)^(x^3 - 1)`
    1. `f(x) = x^(-1)`
    2. `f'(x) = -1x^(-2) = -1 * 1/(x^2) = - 1/(x^2)`
    1. `f(x) = 3x^(-2)` dus `f'(x) = -6x^(-3) = - 6/(x^3)`.
    2. `g(x) = x^(1,5)` dus `g'(x) = 1,5 x^(0,5) = 1,5sqrt(x)`.
    3. `h(x) = 4x^(-0,5)` dus `h'(x) = -2x^(-1,5) = - 2/(xsqrt(x)).`
    4. `k(x) = 5x^(0,5) - 0,5x^(-0,5)` dus `k'(x) = 2,5x^(-0,5) + 0,25x^(-1,5) = 5/(2 sqrt(x)) + 1/(4xsqrt(x))`.
    1. Zie voorbeeld 3 voor de uitwerking.
    2. `f(1) = 3/(text(e)^4)` en `f'(1) = - 12/(text(e)^4)` dus `y = - 12/(text(e)^4) * x + 15/(text(e)^4)`.
    3. `f(p) = 3/(text(e)^(4p))` en `f'(p) = - 12/(text(e)^(4p))` moet `y = - 12/(text(e)^(4p)) * x` opleveren.
      Het punt `(p,3/(text(e)^(4p)))` invullen geeft `3/(text(e)^(4p)) = - 12/(text(e)^(4p)) * p` en dus `4p text(e)^(4p) = 1`.
      Deze vergelijking kun je alleen met de GR oplossen: `p ~~ 0,14`.
    1. `f(x) = text(e)^(2 x^(0,5))` dus `f'(x) = text(e)^(2 x^(0,5)) * x^(-0,5) = 1/(sqrt(x)) * text(e)^(2 sqrt(x))`.
    2. `g(x) = 0,5x^(-1) - text(e)^(2x)` dus `g'(x) = -0,5x^(-2) - 2 text(e)^(2x) = - 1/(2x^2) - 2 text(e)^(2x)`.
    3. `h(x) = 3x^(0,5) + text(e)^(2x)` dus `h'(x) = 1,5x^(-0,5) + 2 text(e)^(2x) = 3/(2 sqrt(x)) + 2 text(e)^(2x)`.
    4. `k(x) = text(e)^(x^2) - 3 text(e)^(-2x)` dus `k'(x) = 2xtext(e)^(x^2) + 6text(e)^(-2x) = 2xtext(e)^(x^2) + 6/(text(e)^(2x))`
    1. `f'(x) = 2text(e)^(2x) - 3/(2sqrt(x))`
    2. `g'(x) = - 6/(5x^3) + 1/(sqrt(2x)) * text(e)^(sqrt(2x))`
    3. `h(x) = (75text(e)^(-0,5x))/((1 + 3text(e)^(-0,5x))^2)`
    4. `k(x) = 20 + 60 * text(e)^(-0,8x)`
    1. `f'(x) = 2 - 3text(e)^(3x)`
    2. `f'(x) = 0` geeft `text(e)^(3x) = 2/3` en dus `x = 1/3 ln(2/3)`. Dus het maximum is `2/3 ln(2/3) - 2/3`.
    3. `f(1) = 2 - text(e)^3` en `f'(1) = 2 - 3text(e)^3` dus `y = (2 - 3text(e)^3)x + 2text(e)^3`.
    1. `h(30) = h(-30) = 0,05(text(e)^(2) + text(e)^(-2)) + 10 ~~ 13,76` m.
    2. `0,05(text(e)^(0,15x) + text(e)^(-0,15x)) + 10 = 12` geeft `text(e)^(0,15x) + text(e)^(-0,15x) = 24`.
      Dit kun je algebraïsch oplossen door vermenigvuldigen met `text(e)^(0,15x)` en de `abc`-formule te gebruiken. Maar voor wie dit te ver gaat: gebruik de GR. Je vindt ongeveer `17,56` m.
    3. `h'(x) = 0,05 * 0,15(text(e)^(0,15x) - text(e)^(-0,15x)) = 0` geeft `text(e)^(0,15x) = text(e)^(-0,15x)` en dus `x = 0`.
    4. `h'(30) = 0,075(text(e)^(2) - text(e)^(-2)) ~~ 0,544` en de gevraagde hoek is daarom `arctan(0,544) ~~ 29`°.
    1. `f'(x) = 1/(20sqrt(x)) * text(e)^(sqrt(x))`.
      Uit `f(2) = 0,1text(e)^(sqrt(2))` en `f'(2) = 1/(20sqrt(2)) * text(e)^(sqrt(2))` volgt `y = 1/(20sqrt(2)) * text(e)^(sqrt(2)) * x + (0,1 - 1/(10sqrt(2))) * text(e)^(sqrt(2))`.
    2. `f`(x) = - 1/(text(e)^(0,5x))`.
      Uit `f(2) = 2/(text(e))` en `f'(x) = - 1/(text(e))` volgt `y = - 1/(text(e)) x + 4/(text(e))`.
    3. `f'(x) = text(e)^(x - 2)`.
      Uit `f(2) = -4` en `f'(2) = 1` volgt `y = x - 6`.
    1. Horizontale asymptoot `y = -2`.
    2. `0,5 text(e)^(-x) - 2 = 0` geeft `x = - ln(4) ~~ -1,386`, dus `(-1,386; 0)`.
    3. `f'(x) = -0,5text(e)^(-x)` geeft `f'(-ln(4)) = -2` en dus als raaklijnvergelijking `y = -2x - 2 ln(4)`.
    4. `f(x) = 4` geeft `x = - ln(12)`. Met de grafiek vind je `x > - ln(12)`.