De warmtewet van Newton

Als een kop thee of een kop koffie een tijdje in de kamer op tafel blijft staan koelt de inhoud langzaam af. Maar ze wordt nooit kouder dan de temperatuur in de kamer. Hoe verloopt die afkoeling precies?

  1. Zorg voor een waterkoker en een digitale thermometer die temperaturen van 10°C - 100°C aankan. Breng water aan de kook en schenk dit in een glas waar de thermometer in staat. Lees vervolgens om de twee minuten de temperatuur van het water af in één decimaal nauwkeurig. Maak een tabel en een grafiek. Meet ook de omgevingstemperatuur!

  2. Probeer in woorden te beschrijven hoe de afkoeling van het water verloopt. Let daarbij vooral op het verschil tussen de gemeten temperaturen en de omgevingstemperatuur. Beschrijf ook de eenheden die je bij dit afkoelingsproces gebruikt. Welke eenheid gebruik je voor de temperatuur, voor het temperatuursverschil met de omgeving en voor de tijd?

De grote natuurkundige Isaac Newton (1643 – 1727) heeft het afkoelingsproces beschreven door vast te stellen dat de snelheid van afkoelen recht evenredig is met het temperatuursverschil van de vloeistof met de omgevingstemperatuur.

De snelheid van afkoelen is dan een constante maal het temperatuursverschil met de omgeving.
Noem je de temperatuur `T` en de tijd `t` dan betekent dit: `(Delta T)/(Delta t) = c * (T - T_(text(omg)))`.
De constante `c` noem je de evenredigheidsconstante.
Dit heet de warmtewet van Newton.

Op grond hiervan kun je een formule afleiden waarmee de temperatuur van een afkoelende vloeistof van minuut tot minuut kan worden berekend. Dat ga je proberen te doen...

Je gebruikt er het Excel-bestand AfkoelingVloeistof.xls bij. In dit Excel bestand is de warmtewet van Newton verwerkt. Dat is terug te vinden in de formules. Je ziet hieronder een afdruk van het Excel-bestand.


  1. Bekijk het Excel-bestand.
    1. Wat stellen T, Tomg, Tverschil, Δt en ΔT voor?
    2. Leg uit dat de modelformule ΔT := factor * Tverschil * Δt een vertaling is van de warmtewet van Newton.
    3. Welke waarde heeft de evenredigheidsconstante in het gegeven model? Waarom is hij negatief?
    4. Verander dit getal in het Excel-werkblad in `-0,15`. Verloopt de afkoeling nu sneller of langzamer?

  2. Bekijk het Excel-werkblad van opgave 3.
    1. Vul in kolom E je eigen meetwaarden in.
    2. Stel de juiste omgevingstemperatuur in.
    3. Pas nu de factor aan totdat je eigen meetwaarden zo goed mogelijk worden benaderd. Je hebt dan een passend afkoelingsmodel gevonden. Schrijf de bijbehorende evenredigheidsconstante op.

  3. Gebruik weer je Excel-werkblad. Het temperatuursverschil met de omgeving is `T_(text(verschil))`. Gebruik als evenredigheidsconstante `c = -0,2`.
    1. Maak zelf in het Excel-bestand een grafiek van `T_(text(verschil))(t)`.
    2. Neem steeds een stapgrootte van `Deltat = 1` en laat zien dat `(Delta T_(text(verschil)))/(Delta t) = c * T_(text(verschil))(t)`.
    Je wilt nu een formule vinden voor `T_(text(verschil))(t)`. Daartoe bekijk je de eigenschappen van de grafiek van `T_(text(verschil))(t)`.
    1. Bekijk de tabel van `T_(text(verschil))(t)`. Neemt `T_(text(verschil))(t)` per minuut met een vaste waarde af?
    2. Bekijk grafiek en tabel van `T_(text(verschil))(t)`. Hoe lang duurt het vanaf `t = 0` totdat `T_(text(verschil))(t)` is gehalveerd? En hoe lang duurt het vanaf t = 2 totdat Tverschil(t) is gehalveerd? Is er een constante halveringstijd?
    3. Bekijk nog eens de tabel van `T_(text(verschil))(t)`. Neemt `T_(text(verschil))(t)` per minuut met een vast percentage af? Zo ja, hoe groot is dat percentage ongeveer?
    4. Hoe ziet de formule voor `T_(text(verschil))(t)` er vermoedelijk bij deze evenredigheidsconstante?
    5. Hoe ziet de formule voor de temperatuur `T(t)` er dan uit?
    6. Doe ditzelfde nu voor de evenredigheidsconstante die past bij jouw meetgegevens.

  4. Bekijk je afkoelingsmodel nog eens.
    Voor de gemiddelde afkoelingssnelheid geldt: `(Delta T_(text(verschil)))/(Deltat) = c * T_(text(verschil))(t)`.
    1. Deze formule blijft gelden ook als je `Delta t` steeds dichter naar 0 laat gaan. Leg uit dat dit betekent: `T'_(text(verschil))(t) = c * T_(text(verschil))(t)`. Hierin is `T'_(text(verschil))(t)` de afgeleide van `T_(text(verschil))(t)`.
    2. Om een formule te kunnen vinden voor `T_(text(verschil))` als functie van `t` moet je dus op zoek naar een functie waarvan de afgeleide een veelvoud is van de functie zelf. Beschrijf op grond van het voorgaande welk type functie daarbij past.