Het getal e

Antwoorden bij de opgaven

    1. -
    2. `c ~~ 0,92`
    3. Nu vind je achtereenvolgens `c ~~ 0,99` en `c ~~ 1,03`.
    4. Ja, dat lijkt er inderdaad te zijn. Dit getal is ongeveer 2,72 (als je voor niet meer dan twee decimalen gaat).
    1. Het mooiste is het maken van een applet in GeoGebra waarin je `h` steeds dichter naar 0 laat komen bij verschillende waarden van `g` (en `x`?).
    2. Je kunt in de formule bij a een factor `g^x` buiten haakjes halen.
    3. `(g^(h) - 1)/(h)` hangt niet van `x` af en zal dus voor elke `x` dezelfde waarde hebben.
    4. Als `h rarr 0` (neem bijvoorbeeld `h = 0,0000001`) dan moet `(text(e)^(h) - 1)/(h) rarr 1`. Dit lukt steeds beter als je voor e de juiste waarde invult: `text(e) ~~ 2,7218`.
    1. Als Y1=e^(X), of iets dergelijks.
    2. Horizontale asymptoot `y = 0`.
    3. Dat is de `y`-waarde bij `x = 1`.
    4. `x ~~ 2,30` (los `f(x) = 10` op met de GR door de twee grafieken te snijden).
    5. `x = ^text(e) log(10) ~~ 2,30259`
    6. `x = ln(20) ~~ 2,996`
    7. `-3,912 <= x <= 3,912`
    8. `(text(d)y)/(text(d)x) = text(e)`
    9. `y = text(e)x - text(e)`
    1. `f'(3) = text(e)^3` en `f(3) = text(e)^3` dus `y = text(e)^3 x - text(e)^3`.
    2. Doen.
    3. `-20 <= x <= ln(20)`
    1. `2^x = 1/(8 sqrt(2)) = 2^(-3,5)` dus `x = -3,5`.
    2. `text(e)^x = 1/(text(e)^3 sqrt(text(e))) = text(e)^(-3,5)` dus `x = -3,5`.
    3. `5text(e)^x = 125` geeft `text(e)^x = 25` dus `x = ln(25) ~~ 3,219`.
    4. `8text(e)^x = (2text(e) sqrt(text(e)))^3 = 8text(e)^(4,5)` geeft `x = 4,5`.
    1. `f'(x) = 10 * text(e)^x`.
      `f(0) = 15` en `f'(0) = 10` geeft `y = 10x + 15`.
    2. `g'(x) = -2 * text(e)^x`.
      `g(0) = 98` en `g'(0) = -2` geeft `y = -2x + 98`.
    3. `T'(t) = 80 * text(e)^t`.
      `T(0) = 100` en `T'(0) = 80` geeft `y = 80x + 100`.
    1. `V'(t) = text(e)^t` en als `c = 1` krijg je dan een vergelijking die voor elke waarde van `t` klopt.
    2. Het verschil `V` wordt niet kleiner, maar juist groter als `t` toeneemt.
    3. `c ~~ -0,69`
    4. `V'(t) = 80 * -0,69 * (0,5)^t` dus ook nu is `V'` recht evenredig met `V`.
    5. Nu wordt `V` wel kleiner met toenemende `t`.
    1. Bij `y = 1` hoort `x = text(e)`.
    2. Het domein van `f` kunt is het bereik van `g(x) = text(e)^x` en het bereik van `f` is het domein van `g`.
    3. `x = text(e)^5 ~~ 148,4`.
    4. `0,007 <= x <= 148,413`
    1. `2x = ln(0,05)` geeft `x = 1/2 ln(0,05) ~~ 1,50`.
    2. `x = text(e)^(2,06) ~~ 7,85`.
    3. `4x = ln(10/3)` geeft `x = 1/4 ln(10/3) ~~ 0,30`.
    1. `y = ln(2 text(e)^x) = ln(2) + ln(text(e)^x) = ln(2) + x`.
    2. `text(e)^(2y) = 0,5x^3` geeft `2y = ln(0,5) + 3 ln(x)` dus `y = 0,5 ln(0,5) + 1,5 ln(x)`.
    3. `2 ln(y) = x - 3` geeft `ln(y) = 0,5x - 1,5` dus `y = text(e)^(0,5x - 1,5)`.
    4. `text(e)^(0,5x) = y + 3` geeft `y = text(e)^(0,5x) - 3`.
    5. `ln(y) = 1 - 2 ln(x) = ln(text(e)) - ln(x^2) = ln((text(e))/(x^2))` geeft `y = (text(e))/(x^2)`.
    6. `ln(y) + 2 = 1/(ln(x))` geeft `ln(y) = 1/(ln(x)) - 2` en dus `y = text(e)^(1/(ln(x)) - 2)`.
    7. `text(e)^(0,5y) = 4x` geeft `0,5y = ln(4x)` en dus `y = 2 ln(4x)`.
    8. `text(e)^(-y) = 4 text(e)^x` geeft `-y = ln(4 text(e)^x) = ln(4) + x` en dus `y = -ln(4) - x`.
    1. De e-macht is altijd groter dan nul. De asymptoot is `y = -2`.
    2. `4text(e)^(-0,5x) - 2 = 0` geeft `text(e)^(-0,5x) = 0,5` en dus `x = -2 ln(0,5) = 2 ln(2)`.
      Het nulpunt is `(2 ln(2), 0)`.
    3. `f'(x) = -2text(e)^(-0,5x)` en dus `f'(2 ln(2)) = -1`.
      De vergelijking van de raaklijn is `y = -x + 2 ln(2)`.
    4. `4text(e)^(-0,5x) - 2 = -1` geeft `text(e)^(-0,5x) = 0,25` en dus `x = -2 ln(0,25) = ln(16)`.
      De grafiek geeft `x > ln(16)`.
    1. `x = ln(3) ~~ 1,099`
    2. `x = root[text(e)](3) ~~ 1,498`
    3. `x = text(e)^3 ~~ 20,086`
    4. `x = 10^3 = 1000`
    5. `text(e)^(0,1x - 5) = 20` geeft `0,1x - 5 = ln(2)` en dus `x = 10 ln(2) + 50 ~~ 79,957`.
    6. `ln(0,1x - 5) = 20` geeft `0,1x - 5 = text(e)^(20)` en dus `x = 10 text(e)^20 + 50 ~~ 4,852 * 10^9`.
    1. `ln(N) = ln(t^2) - ln(text(e)^3)` dus `N = (t^2)/(text(e)^3)`.
    2. `ln(N) = ln(t^2) - ln(10^3)` dus `N = (t^2)/(1000)`.
    3. `2N = ln(t + 2)` geeft `N = 0,5ln(t + 2)`.
    4. `2N = log(t + 2)` geeft `N = 0,5log(t + 2)`.
    5. `N = text(e)^(2t - 3)`.
    6. `N = 0,5text(e)^t + 1,5`.
    1. `T(0) = 80`
    2. `t rarr oo` betekent `T rarr 20`. Dus 20°C.
    3. `c ~~ -0,22`
    4. `V(t) = T(t) - 20 = 60 * 0,8^t` en `V'(t) = 60 * -0,22 * 0,8^t` en dus is `V'` een veelvoud van `V`.
    5. `V'(t) < 0` voor elke waarde van `t`.
    1. Horizontale asymptoot `y = 8`.
    2. `8 - 4 text(e)^x = 0` geeft `text(e)^x = 2` en `x = ln(2)`. Nulpunt `(ln(2),0)`.
    3. `f'(x) = - 4 text(e)^x` geeft `f'(ln(2)) = -8` dus de raaklijn is `y = -8x + 8ln(2)`.
    4. `8 - 4 text(e)^x = 2` geeft `text(e)^x = 1,5` en `x = ln(1,5)`.
      De grafiek geeft `x <= ln(1,5)`.
    1. De verticale asymptoot is `x = 0`.
    2. `text(D)_f = (:larr, 0:)` en `text(B)_f = RR`.
    3. `4 ln(-0,5x) - 2 = 0` geeft `ln(-0,5x) = 0,5` en dus `-0,5x = text(e)^(0,5)` zodat `x = -2sqrt(text(e))`.
      Het nulpunt is `(-2 sqrt(text(e)),0)`.
    4. `4 ln(-0,5x) - 2 = -1` geeft `ln(-0,5x) = 0,25` en dus `-0,5x = text(e)^(0,25)` zodat `x = -2root[4](text(e))`.
      De grafiek geeft `-2 root[4](text(e)) < x < 0`.
    1. `text(e)^N = 0,4t + 2` dus `N = ln(0,4t + 2)`.
    2. `ln(N) = 0,4t + 2` dus `N = text(e)^(0,4t + 2)`.
    3. `N = text(e)^(0,01 ln(t) + 1,15) = text(e)^(1,25) * t^(0,01)`.
    1. `text(e)^(3x - 6) = 1` geeft `3x - 6 = ln(1) = 0` en dus `x = 2`.
    2. `text(e)^(2x) = text(e)^(x - 6)` geeft `2x = x - 6` en dus `x = -6`.
    3. `ln((2x)/(x - 6)) = 1` geeft `(2x)/(x - 6) = text(e)` en dan `2x = text(e)x - 6text(e)` zodat `x = (6text(e))/(text(e) - 2)`.
    4. `ln(2x) = 0 vv ln(x - 6) = 0` geeft `x = 0,5 vv x = 7`.