Toepassingen

Antwoorden bij de opgaven

1. De volgende variabelen spelen een rol:
   
   • `P` is de lichtsterkte in Watt van de lamp in elke straatlantaarn;
   • `h` is de hoogte in meter van de straatlantaarn (en dus van de lamp, neem je aan);
   • `a` is de (vaste) onderlinge afstand in meter van een rij straatlantaarns aan één kant van de weg;
   • `b` is de breedte in meter van de weg (en dus van de twee rijen straatlantaarns, neem je aan);
   • `B` is de brandtijd (uren per jaar) dat de lampen branden.
   De lichtsterkte `L` (Watt per m²) van elke afzonderlijke lamp is omgekeerd evenredig met het kwadraat van de afstand tot de lamp. Dit is in te zien door dimensieanalyse, maar ook door te bedenken dat een oppervlak dat 2 keer zover van de lamp is verwijderd de lichtsterkte moet verdelen over een 4 keer zo groot geworden oppervlakte. Het punt met de grootste lichtsterkte zit steeds recht onder de lamp en is dus

   `L = P/(h^2)`

   Het punt met de kleinste lichtsterkte zit op het midden van de weg, midden tussen vier lantaarns in en heeft dus een lichtsterkte van

   `L = 4 * P/(h^2 + (1/2a)^2 + (1/2b)^2)`

   Je neemt aan dat andere lantaarns dan de omliggende geen bijdrage leveren aan de lichtsterkte in dit punt.
   Dit levert twee voorwaarden op: `P/(h^2) <= 320` en `(16P)/(4h^2 + a^2 + b^2) >= 10`.
   Het inschakelen van een spreadsheet zoals Excel is nu handig om mogelijke waarden van `P`, `h`, `a` en `b` door te rekenen. Bijvoorbeeld `P = 1000, h = 5, b = 8` en `a = 30` voldoet aan de twee voorwaarden, maar er zijn veel meer mogelijkheden.
   Voor de kosten zijn aannames nodig op het gebied van afschrijving en onderhoud van de palen. Die kosten hangen af van de hoogte h en de onderlinge afstand a (want hogere palen zijn duurder en een kleinere onderlinge afstand betekent meer palen). Verder zijn er kosten voor de elektriciteit: bijvoorbeeld 0,15 euro per kWh. (Dit betekent dat een lamp van 1 kW die een uur brandt € 0,15 kost.)
   Neem nu bijvoorbeeld per jaar:
   • € 200,00 per lantaarnpaal voor schoonhouden, reparaties, schilderwerk, e.d.
   • € 50,00 per m lantaarnpaal voor vervanging, afschrijving, onderhoud
   • € 0,15 per kWh
   De jaarlijkse kosten per meter weg zijn dan `K = 2 * 1/a * (200 + 50 * h + B * 0,001P * 0,15)`,
   waarin `B` de brandtijd (het aantal uren per jaar dat de lampen branden) en `2 * 1/a` het aantal palen per meter weg is.
   Nu moeten de waarden voor `P, h, a, b` en `B` zo worden gekozen dat niet alleen aan de twee voorwaarden, maar ook aan `K` is minimaal is voldaan. Ook hier is werken met Excel erg handig.
   Opmerkingen:
   Het probleem kan worden vereenvoudigd door het aantal variabelen te verkleinen: bijvoorbeeld kunnen `P, h, b` en `B` worden gegeven en is alleen `a` variabel. Ook aan de kostenkant kunnen meerdere variabelen worden gebruikt, de elektriciteitsprijs kan variëren en hetzelfde geldt voor de andere kosten.
   
2. Kies `a` stoelen van soort A en `b` van soort B per week.
   Er zijn in totaal 44 thuiswerkavonden beschikbaar, dus `a + 2b <= 44`.
   Er kunnen 30 stoelen in het busje. Neem aan dat het elke week één keer stoelen aflevert en ingevlochten stoelen komt halen. Dan is `a + b <= 30`.
   De winst op deze stoelen is `W = 200a + 300b`.
   Met behulp van Excel is dit probleem snel op te lossen. Vervolgens kan het aantal thuiswerkers en/of het aantal te vervoeren stoelen variabel worden gemaakt.
   
3. Er zijn twee soorten schollen: larven en volwassen schollen. Noem het aantal larven `L` en het aantal volwassen schollen `V`. Er gelden dan de volgende modelformules:
   `L(t + 1) = 5`
   `V(t + 1) = 0,2 + 0,1 * L(t) + 0,67 * V(t) = 0,7 + 0,67 * V(t)`
   Dit is gemakkelijk te vertalen in een Excel rekenblad. Er ontstaat dan een soort geremde groei.
   Opmerkingen:
   Schollen paaien in de Noordzee en de larven bewegen met de waterstroming naar de kustzone (zoals het Grevelingenmeer). Door de gegeven waarden te variëren kan worden gekeken of de scholpopulatie onder bepaalde omstandigheden kan uitsterven.
   
4. Halve cirkel:
   straal is `50/(pi) ~~ 15,92` cm, de inhoud is dan ongeveer: `0,5 * pi * 15,92^2 * 250 ~~ 99.471,8` cm³ `~~ 0,995` m³.
   Rechthoek:
   Randhoogte `h` geeft een inhoud van `I = 250 * h * (50 - 2h)`.
   `I` maximaliseren geeft max.`I(12,5) = 78.125` cm³ en dus ongeveer 0,781 m³.
   Trapezium:
   Als `alpha` de hoek is die een opstaande rand met het verticale vlak maakt en `x` is de breedte van de opstaande rand, dan wordt de inhoud: `I = x cos(alpha) * (x sin(alpha) + 50 - 2x)`.
   Nu is het werken met Excel of GeoGebra aan te bevelen, dan kunnen zowel `x` als `alpha` worden gevarieerd.