Toepassingen

Antwoorden, maar niet zomaar bij de opgaven

Veel van de vragen die in de opgaven worden gesteld zijn bedoeld om je aan het denken te zetten of op weg te helpen. Daarbij gaat het in meerdere opgaven over hetzelfde probleem. De oplossing en de aanpak van deze problemen is per groep opgaven bijeen gevoegd.

Uitwerking "Fabriekshal" (opgaven 1 t/m 4)

• Stap 1:
  Je moet ontdekken hoe de oppervlakte van het terrein afhangen van lengte en breedte. Daarbij kun je als variabelen kiezen voor de lengte en de breedte van het terrein, maar ook voor de lengte en de breedte van de fabriekshal. Van die oppervlakte moet een maximum worden berekend, dus er moet een verband tussen de lengte en de breedte zijn dat kan worden gebruikt om de oppervlakte in ofwel de lengte ofwel de breedte uit te drukken. Gebruik de applet. Een paar getallenvoorbeelden doorrekenen kan helpen om dit te ontdekken.
• Stap 2:
  Aannames: de fabriekshal en het terrein zijn zuivere rechthoeken. Variabelen zijn ofwel `L` en `B` (lengte en breedte van het terrein) ofwel `l` en `b` (lengte en breedte van de fabriekshal) en de oppervlakte van het terrein. De constante is de oppervlakte van de fabriekshal.
• Stap 3:
  Mogelijkheid A: opp(terrein)` = L * B` en `(L - 20)(B - 30) = 2400`. Dit geeft opp(terrein)` = A(L) = (2400L)/(L - 20) + 30L`.
  Deze functie kan worden geplot op de grafische rekenmachine (of bijvoorbeeld GeoGebra) en het minimum is: min.`A(60) = 5400`.
  Mogelijkheid B: `l * b = 2400` en opp(terrein)` = A = (l + 20)(b + 30) = (l + 20)(2400/l + 30)`.
  Deze functie plotten met de grafische rekenmachine (of bijvoorbeeld GeoGebra) en het minimum is: min.`A(40) = 5400`.
• Stap 4:
  De afmetingen van het terrein moeten worden opgegeven, dus behalve de lengte moet ook de breedte worden bepaald. Bij mogelijkheid A is de controle dat de fabriekshal nu inderdaad 2400 m² wordt. Bij mogelijkheid B is de controle dat het terrein nu groter dan 2400 m² wordt, maar wel van dezelfde orde van grootte is.
• Uitbreiding, achtergronden, extra info
  De grootte van de fabriekshal kan variabel worden genomen, evenals de breedte van de groenstroken. Zo is een zeer algemeen model te maken met een aantal parameters. In dat geval is het maken van een Excel-rekenblad een mooie uitbreiding.

Uitwerking "Benzine of diesel" (opgave 5)

• Stap 1:
  Brainstormen of even spelen met de genoemde websites. Verzinnen welke variabelen een rol spelen en welke constanten je moet opzoeken.
• Stap 2:
  Aannames: je gebruikt (gemiddeld) steeds hetzelfde aantal liters per 100 km. Je doet aannames betreffende de literprijs van benzine, diesel en het verbruik per 100 km. Bijvoorbeeld zijn de startwaarden € 1,30 per liter voor benzine met een verbruik van 10 L per 100 km, € 0,98 per liter voor diesel met een verbruik van 8 L per 100 km. Het prijsverschil is: de dieselauto is € 1500,00 per jaar duurder (hogere wegenbelasting, hoger jaarlijkse afschrijving omdat een dieselauto duurder is). Variabelen zijn het aantal gereden km per jaar en de kosten per jaar.
• Stap 3:
  Model: `x` is het aantal gereden km per jaar en `a` zijn de vaste kosten per jaar van de benzineauto.
  Benzineauto: kosten per jaar `K_B = 0,1 * 1,30 * x + a`.
  Dieselauto: kosten per jaar `K_D = 0,08 * 0,98 * x + a + 1500.
  De kosten zijn gelijk als `0,1 * 1,30 * x + a = 0,08 * 0,98 * x + a + 1500`. Dit geeft `x ~~ 14.167` km per jaar.
• Stap 4:
  Goede conclusie formuleren. Test bedenken.
• Uitbreiding, achtergronden, extra info
  De verschillende prijzen en kostenposten kunnen variabel worden gemaakt in een XL-bestand. Ook is het leuk om bijvoorbeeld een auto op gas mee te vergelijken.

Uitwerking "Migratie" (opgave 6)

• Stap 1:
  Verzinnen welke variabelen een rol spelen en welke constanten je moet kiezen om de zaak realistisch te laten zijn.
• Stap 2:
  Aannames: 6 mln plattelanders, 4 mln stadjers, jaarlijks verhuist 15% van de plattelanders naar de stad en 5% van de stadjers naar het platteland. Maak hier een graaf van waarin ook de resp. 85% en 95% blijvers voorkomen.
• Stap 3:
  Als `t` de tijd in jaren is, dan is `P(t + 1) = 0,85 * P(t) + 0,05 * S(t)` en `S(t + 1) = 0,15 * P(t) + 0,95 * S(t)` met `P(0) = 6` mln en `S(0) = 4` mln. Dit kan worden doorgerekend met een rekenmachine, tabel maken. Je kunt ook Excel inzetten.
• Stap 4:
  Het formuleren van de uitkomsten van het model en nagaan of ze overeenstemmen met een trek van stad naar platteland. Eventueel kunnen de migratiepercentages worden bijgesteld.
• Uitbreiding, achtergronden, extra info
  Eventueel is het wellicht mogelijk om via www.cbs.nl gegevens betreffende bijvoorbeeld Nederland of een regio in Nederland te vinden.

Uitwerking "Slinger" (opgave 7)

• Stap 1:
  Welke variabelen en constanten spelen een rol? En welke eenheden horen daar bij? `L =` lengte in m, `T =` periode in seconden, `M =` massa in kg, `g =` gravitatieconstante in m/s². Bepaal eventueel experimenteel welke invloed een veranderende `L` en `M` op `T` hebben.
• Stap 2:
  Lettend op de eenheden: `L =` lengte in m, `T =` periode in seconden, `M =` massa in kg, `g =` gravitatieconstante in m/s², moeten we `M` niet meenemen in de te vinden formule. `T` hangt alleen af van `L` en `g`.
• Stap 3:
  Controle van de dimensies bij bijvoorbeeld `T = L * g` of `T = L / g` laat zien dat dergelijke verbanden niet kunnen. Het past wel als we kiezen `T = sqrt(L/g)`, dus ook `T = c * sqrt(L/g)`, waarin `c` de evenredigheidsconstante is.
• Stap 4:
  Experimenten voortzetten om te kijken of er inderdaad zo’n constante factor ontstaat en hoe groot die is.
• Uitbreiding, achtergronden, extra info
  Inderdaad blijkt onder ideale omstandigheden (geen wrijving) de periode onafhankelijk te zijn van de massa, en is de constante `2pi`.