Modelleren

Antwoorden, maar niet zomaar bij de opgaven

Veel van de vragen die in de opgaven worden gesteld zijn bedoeld om je aan het denken te zetten of op weg te helpen. Daarbij gaat het in meerdere opgaven over hetzelfde probleem. De oplossing en de aanpak van deze problemen is per groep opgaven bijeen gevoegd.

Uitwerking “Kijkafstand” (opgaven 1 t/m 4)

• Aanpak
  Je moet bedenken dat de aarde een bol is (eerste aanname) waarvan je de straal vanuit de bekende omtrek kunnen berekenen. Als je dan aan de kustlijn staat (alweer een aanname) is de zee eigenlijk een bolsegment. De kijkafstand wordt bepaald door een raaklijn vanuit je oog aan de grootcirkel die de dwarsdoorsnede van de aarde voorstelt. Een belangrijke keuze is of die afstand wordt voorgesteld door de lengte van het lijnstuk vanuit je oog tot het raakpunt dan wel door de lengte van de cirkelboog vanaf je voeten tot aan het raakpunt. Beide zullen niet veel van elkaar verschillen, maar geven een iets andere uitwerking.
  Voorkennis: de omtrek van de aarde is 40.000 km. (Vroeger was de meter gedefinieerd als het 1/40.000.000ste deel van de aardomtrek. Tegenwoordig is er een andere definitie van de meter. De aardomtrek is afhankelijk van waarlangs je meet. Langs de evenaar is die omtrek ongeveer 40.075 km.)
• Uitwerking
  Stap 1:
  Je wilt berekenen hoe ver je kunt kijken op een volkomen kale vlakte zonder oneffenheden op het aardoppervlak. Je vraagt je eerst af wat die kijkafstand nu precies is. Die kijkafstand is:
  - mogelijkheid A: de afstand van het oog van de kijker tot de horizon;
  - mogelijkheid B: de vanaf de voeten van de kijker tot de horizon, gerekend over het aardoppervlak.
  Aannames:
  - de aarde is een zuivere bol;
  - de horizon bevindt zich in het raakpunt van de lijn vanuit je oog die raakt aan de aardbol;
  - je kunt kijken tot aan het raakpunt.
  Stap 2:
  Je vraagt je af welke variabelen er zijn. Je komt tot twee variabelen: `h` is de hoogte van je oog boven de grond en `a` is de gevraagde kijkafstand. (Afhankelijk van mogelijkheid A of B is dat de lengte van `PR` of de lengte van de cirkelboog `QR`.) Vervolgens vraag je je af welke afmetingen de aarde heeft en hoe we die in de figuur kunnen aangeven. De omtrek van de aarde is 40.000 km, dus de straal is `40000/(2pi)` km. Die is vanuit het middelpunt gerekend, dus dat middelpunt speelt een rol in de oplossing. Dan stel je je de vraag welke eenheden bruikbaar zijn: m (menselijke maat) of km (maat geschikt voor de aarde)? Je kiest voor het werken in m, omdat de vraag gaat over een menselijke maat.
  Stap 3:
  Welke wiskunde ga je gebruiken?
  De driehoek `MPR` heeft een rechte hoek bij `R` (het raakpunt), dus de stelling van Pythagoras en/of goniometrie is bruikbaar. Bij mogelijkheid A gebruik je de stelling van Pythagoras in `MPR`, met: `MP = text(aardstraal) + h`, `PR = a` en `RM = `aardstraal.
  Dit geeft `a = sqrt((40000000/(2pi) + h)^2 - (40000000/(2pi))^2)`.
  Een mooie formule waarmee `a` is te berekenen vanuit elke waarde van `h`.
  Bij mogelijkheid B werk je met goniometrie. De kijkafstand is nu de lengte van boog `QR` die is te berekenen vanuit hoek `RMP`.
  De cosinus van deze hoek is `cos(/_RMP) = (40000000)/(40000000 + 2pi h)`.
  Daarmee is die hoek (`alpha`) te berekenen en dus ook de kijkafstand, want de lengte van de boog is het `alpha/360` deel van 40000000 m.
  Nu vraag je je af of er hanteerbare uitkomsten uitkomen, bijvoorbeeld voor een ooghoogte van 1,70 m. Dit blijkt het geval te zijn...
  Stap 4:
  Het model lijkt goed, je hebt een bruikbare methode gevonden om de kijkafstand te berekenen. Kun je de formule nog compacter maken? Of kunnen we hem algemener maken (bijvoorbeeld zodat hij ook opgaat voor andere planeten en de maan)?
• Uitbreiding, achtergronden, extra info
  Er is een eenvoudige formule voor de kijkafstand bij mogelijkheid A als er wordt gebruik gemaakt van haakjes uitwerken het feit dat `h^2` heel erg klein is ten opzichte van de andere term onder het wortelteken. Dan vind je `a ~~ 3568 * sqrt(h)`. Het is leuk om deze kijkafstand eens te vergelijken met die op de maan.

Uitwerking “Zwemmer in nood” (opgaven 5 t/m 7)

• Aanpak
  Je moet eerst op het idee komen dat je over het strand sneller kunt lopen (zeg 10 km/h) dan je kunt zwemmen (zeg 3 km/h). Vervolgens is het verstandig om eerst een tekening te maken van de situatie. Jij staat aan de kust bij `A` en de zwemmer zit in nood bij `Z`. De kustlijn is idealiter een rechte lijn, en het punt `P` waar je te water gaat ligt op de kustlijn. Enkele mogelijke punten `P` aan de kust tekenen, er zijn twee uiterste gevallen. Probeer een paar tijden te berekenen voor verschillende waarden van `P`. Kennis van de stelling van Pythagoras is essentieel.
• Uitwerking
  Stap 1:
  Je loopt een stuk sneller dan je zwemt, dus een stuk lopen verminderd de noodzakelijke zwemafstand. Dat lijkt gunstig voor de totale tijd die je onderweg bent. Aannames:
  - de zwemmer (punt Z) is 200 m uit de kust loodrecht gerekend vanaf een punt B dat 400 m van je (punt A) af is;
  - je loopt met bijvoorbeeld 10 km/uur en zwemt met 2 km/uur.
  Stap 2:
  Je maakt een schets van de situatie: rechthoekige driehoek `ABZ` met `AB = 400` m en `BZ = 200` m. Het is daarom handig om de snelheden om te rekenen naar m/s. (Tip voor de leerlingen: Misschien de getallen aanpassen zodat dit wat mooier uitkomt: loopsnelheid 9 km/uur en zwemsnelheid 1,8 km/uur.)
  Dit is het moment om de twee extreme situaties (I: Je gaat meteen het water in en zwemt `AZ`, hoeveel tijd kost dat? II: Je loopt `AB` en zwemt dan `BZ`, hoeveel tijd kost dat?) door te rekenen. Hopelijk ontdek je nu dat je een stuk langs het strand moet lopen, maar niet het hele stuk `AB`.
  Welke variabelen zijn er? Bijvoorbeeld de afstand die je vanuit `A` langs de kust loopt noem je `x` en de totale tijd die je onderweg bent is `t(x)`.
  Stap 3:
  Welke wiskunde ga je gebruiken?
  Bij de extreme situaties kwam de stelling van Pythagoras al voorbij, dus die zul je opnieuw moeten gebruiken. Verder moet je omrekenen van afstand naar de tijd die je er over doet. Stel je loopt tot punt `P` een punt op lijnstuk `AB`. Neem je `AP = x`, dan is `PB = 400 - x`.
  Met behulp van de stelling van Pythagoras vind je `PZ = sqrt(200^2 + (400 - x)^2)`.
  Dan wordt met een loopsnelheid van 9 km/uur en een zwemsnelheid van 1,8 km/uur
  `t(x) = 0,4x + 2 sqrt(200^2 + (400 - x)^2)`
  Deze functie kun je in je GR invoeren en een minimum zoeken.
  Stap 4:
  Controle van je uitkomst (ligt de tijdsduur tussen de extremen in?). Algemener maken door de verschillende snelheden variabel te maken.
• Uitbreiding, achtergronden, extra info
  Redelijke loopsnelheden liggen tussen de 5 tot 15 km/uur (bij 15 km/uur ben je al aan het rennen). De zwemsnelheden zijn in ieder geval een stuk lager. Een mooie uitbreiding zit in het variabel maken van snelheden en afstanden. Dit worden dan parameters van je model.

Uitwerking “Griepepidemie” (opgaven 8 t/m 11)

• Aanpak
  In eerste instantie discussie met de groep, na verloop van tijd werken de leerlingen de opgave met hulpvragen uit. De leerlingen die met deze startmodule gaan werken hebben waarschijnlijk nog nooit van rijen en recursie gehoord. Nodig lijkt dat ook niet, maar wellicht is daardoor wel wat hulp van de docent nodig. Bij dergelijke opgaven is het werken met Excel handig, maar eventueel kunnen de berekeningen ook met een grafische rekenmachine worden gedaan. De stand van zaken m.b.t. de epidemie wordt gegeven door telling van de aantallen gezonde `G(t)`, zieke `Z(t)` en herstelde, immune personen `I(t)` op de `t`-de dag.
  Waarom is `G(t)+Z(t)+I(t)` constant? Neemt `G(t)` af? En `Z(t)`? En `I(t)`?
  Van belang is hoeveel dagen iemand, gemiddeld gesproken, ziek is. Bij een keuze van 4 dagen is de conclusie, dagelijks herstelt 25% van de zieke mensen. Ook belangrijk is de besmettingskans voor een gezond persoon. Dagelijks steekt (zeg) 20% van de zieken een gezond iemand aan. Probeer met de startgegevens `G(0)=85000`, `Z(0)=5000`, `I(0)=10000` hoe de ziekte zich de volgende twee dagen ontwikkelt.
• Uitwerking
  De modelformules in termen van rijen zijn bijvoorbeeld in eerste instantie `G(t+1) = G(t) – 0,2Z(t)`
  `Z(t +1) = Z(t) – 0,25Z(t) + 0,2Z(t)`
  `I(t +1) = I(t) + 0,25Z(t)`
  Erg realistisch is dit niet, altijd neemt het aantal zieken af en bij een epidemie is dat raar.
  Het model wordt dan bijgesteld naar
  `G(t+1) = G(t) – 0,02 * 0,5 * G(t)`
  `Z(t +1) = Z(t) – 0,25Z(t) + 0,02 * 0,5 * G(t)`
  `I(t +1) = I(t) + 0,25Z(t)`
  Hierin is 0,5 de kans dat een zieke de griep overdraagt op een gezond iemand en 0,02 de kans dat hij met een gezond iemand in contact komt.
• Uitbreiding, achtergronden, extra info
  In werkelijkheid blijft iemand niet immuun, dus na verloop van een bepaalde tijd moeten de mensen die in de categorie “immuun” zitten weer terug vloeien naar de categorie “gezond”. Dat betekent een bijstelling van de modelformules. Ook kan natuurlijk worden gespeeld met de gekozen kansen. Je kunt dan (zeker met behulp van Excel) snel kijken welke invloed dit heeft op het verloop van het aantal zieken.

Overige opgaven

12. 1. Constante windsnelheid `v`. Het opgewekte vermogen is recht evenredig met de kinetische energie van de luchtstroom die per uur voorbij komt. De hoeveelheid lucht die per seconde voorbij komt is een cilinder met een grondvlak van `1/4 pi D^2` en een lengte van `v`.
    2. De formule `P = c * m * v^2` en de formule voor de inhoud van een cilinder.
    3. Stap 1: Vanuit natuurkundige voorkennis wordt het model bepaald.
       Stap 2: Vanuit de aannames wordt het model opgesteld.
       Stap 3: Door de modelformules te combineren wordt er één formule opgesteld voor alle windmolens. Door metingen is die formule passend te maken bij een bepaalde windmolen.
       Stap 4: Voor verschillende windsnelheden kan worden gemeten of de vermogens die uit de formule rollen ook overeen komen met de werkelijkheid.
    4. Zie stap 4.
13. Stap 1:
    Je beweegt als gevolg van de draaiing van de aarde, ook als je stilstaat op het aardoppervlak. (Trouwens ook als gevolg van de beweging van de aarde om de zon, de zon om het centrum van het sterrenstelsel en het sterrenstelsel t.o.v. ???)
    Waar je op aarde zit bepaalt de snelheid, op de Noordpool is die snelheid 0. Je hebt dus de breedtegraad van Amsterdam nodig. De breedtegraad kan een variabele zijn. Er is dan een verband tussen de plek op aarde, de breedtegraad en de snelheid waarmee je beweegt.
    Stap 2:
    Aannames zijn bijvoorbeeld dat de aarde zuiver rond is en de aardas (Noordpool naar Zuidpool) een middellijn van een bol is. De omtrek van de aarde is 40.000 km.
    Stap 3:
    Je kunt dan aantonen dat je elke dag (24 uur) een cirkel aflegt met een straal van `40000/(2pi) * cos(alpha)` km waarin `alpha` de breedtegraad is van de plek waar je staat. Teken daartoe een dwarsdoorsnede van de aarde (een cirkel) en geef er de breedtegraad (de draaihoek vanaf het vlak door de evenaar) in. Voor Amsterdam (52,3634 graden) betekent dit een straal van ongeveer 3887,526 km en daarom een afstand van 24.426,046 km per 24 uur, dat is ongeveer 1017 km/uur.
    In het algemeen is de snelheid waarmee je beweegt:
    `40000/(2pi) * cos(alpha) * (2pi)/24 ~~ 1667 cos(alpha)` km/uur.
    Stap 4:
    Het controleren hiervan is natuurlijk niet eenvoudig. Maar je zou kunnen kijken naar de zon (die in dit model in feite stilstaat). In een uur tijd lijkt de zon een zekere afstand langs de hemel af te leggen als gevolg van de draaiing van de aarde (als je het bewegen van de aarde om de zon even verwaarloost). Door die afgelegde afstand te meten en de (gemiddelde) afstand van de aarde tot de zon te gebruiken zou je de draaisnelheid van de aarde op jouw plek moeten kunnen benaderen.
14. Stap 1:
    Afstanden worden geschaald, de tijd echter niet.
    Stap 2:
    Doe eerst een aanname v.w.b. de schaal, probeer hem door meten in de foto te schatten, of zoek op wat HO-spoor voor schaal heeft. De schaal van het treintje is ongeveer 1:87.
    Stap 3:
    Een snelheid van 60 km/uur betekent dat een echte trein in een uur 60 km aflegt. Het model moet dan in een uur `60/87 * 0,69` kilometer afleggen. Dat is ongeveer 0,69 km/uur.
    Stap 4:
    Probeer te meten hoe snel een trein van een modelspoorbaan beweegt. En vraag je af of je die beweging natuurlijk lijkt.
15. 1. Als `B(t)` het aantal bomen is met `t` de tijd in jaren, dan geldt `B(0) = 5000` en `B(t + 1) = 0,85 * B(t) + 500`.
       Met behulp van Excel kun je hier een grafiek bij maken.
    2. Maak een tabel en je zult merken dat het aantal bomen een bovengrens benadert. Er komen maximaal 6666 bomen.