Evenredigheid

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-d > Toegepaste analyse > Modelleren > Evenredigheid > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-d > Toegepaste analyse > Modelleren > Evenredigheid > Uitleg

Opgaven

1. Bestudeer in het Uitleg de formule voor de inhoud van de bol.
   1. Bereken de inhoud van een bol waarvan de straal `4` cm is.
   2. Maak de straal twee keer zo groot. Wat gebeurt er met de inhoud?
   3. Bereken hoe groot je de straal moet nemen om een bol te krijgen met een inhoud van `500` cm³.


2. Ook het verband tussen de straal `r` en de oppervlakte `A` van een bol is een machtsverband. De bijbehorende formule is: `A=4pi r^2`.
   1. Is de oppervlakte recht evenredig met de tweede macht van de straal, of is de straal recht evenredig met de tweede macht van de oppervlakte?
   2. Bereken de oppervlakte van een bol met een straal van `6` cm.
   3. Hoe groot moet de straal worden om een bol te krijgen met een 4 maal zo grote oppervlakte?
   4. Leid de formule af die de straal uitdrukt in de oppervlakte.

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-d > Toegepaste analyse > Modelleren > Evenredigheid > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

3. In Voorbeeld 1 kom je de formule voor de inhoud van een bol weer tegen.
   1. `I` is recht evenredig met `r^3`. Wat is de evenredigheidsconstante?
   2. `r` is recht evenredig met `I^(1/3)`. Wat is dan de evenredigheidsconstante?


4. Bij welke van de volgende formules is `y` recht evenredig met een macht van `x`? Geef in dat geval de evenredigheidsconstante.
   1. `y=2x`
   2. `y=2x^4+5`
   3. `y=5x^4`
   4. `x=5y^4`


5. Bekijk in Voorbeeld 2 de formule voor de kijkafstand.
   1. Bereken hoe ver je kunt kijken vanaf een toren van `50` m hoog.
   2. Op een eiland wordt een vuurtoren gebouwd. De toren wordt zo hoog gemaakt dat je bij helder weer `25` km ver kunt kijken. Bepaal de hoogte van de toren op de volgende manieren:
      • aflezen uit de grafiek van `a=3572h^(1/2)`;
      • in de formule `a=3572h^(1/2)` de variabele `a` vervangen door `25000`; de vergelijking die je dan krijgt oplossen door hem stapsgewijs te vereenvoudigen;
      • berekenen met de formule `h=(a/3572)^2`.


6. Bestudeer de Voorbeelden 3 en 4 waarin een verband tussen huidoppervlakte en lichaamsgewicht wordt beschreven. Meeh vond hiervoor de formule: `H=c*G^(2/3)`.
   1. Voor elke diersoort is er een constante `c`. Hoe wordt deze constante genoemd?
   2. Laat door berekening zien dat voor de Schotse Hooglander geldt: `c ~~ 8,9`.
   3. De huid van een bepaalde Schotse Hooglander heeft een oppervlakte van ongeveer `510` dm². Hoe zwaar was die koe?
   4. Als je deze formule omrekent zodat het lichaamsgewicht uitgedrukt wordt in de huidoppervlakte, wat wordt dan de evenredigheidsconstante?
   5. Als het lichaamsgewicht twee keer zo groot wordt, wordt de huidoppervlakte dan meer of minder dan twee keer zo groot?


7. Ook voor een massieve bol beschrijft de formule van Meeh het verband tussen de oppervlakte `A` en het gewicht `G`. Ga uit van een massieve ijzeren bol, de soortelijke massa van ijzer is 7,9 g/cm³.
   1. Zoek de formules voor de inhoud van een bol met straal `r` en de oppervlakte van zo'n bol op.
   2. Welke formule geldt voor het gewicht `G` als functie van de straal `r` van de bol? Neem `r` in cm en `G` in gram.
   3. Door de formules voor het gewicht en de oppervlakte van een bol met straal `r` te combineren vind je `A = c * G^(2/3)`. Bepaal de waarde van `c`.

Verwerken

8. Gegeven is de machtsfunctie `f(x)=120x^5`.
   1. Bereken `f(4)`.
   2. Voor welke waarde van `x` is `f(x)=20000`?
   3. Als de waarde van `x` vier keer zo groot wordt, met hoeveel wordt de bijbehorende functiewaarde dan vermenigvuldigd?


9. Er is een verband tussen de snelheid s van een auto en de bijbehorende remweg r. De remweg is de afstand die de auto nog aflegt als je zo hard mogelijk remt. Een vuistregel voor dit verband is: `r=(s^2)/100`.
   1. `r` is recht evenredig met een macht van `s`. Wat is de evenredigheidsconstante?
   2. In een weg zit een scherpe bocht waarin je maar 10 meter vooruit kunt kijken. Een eis voor veilig rijden is dat je moet kunnen stoppen binnen de afstand die je kunt overzien. Wat is volgens deze vuistregel de maximumsnelheid in deze bocht?
   3. Geef de formule waarmee de snelheid wordt uitgedrukt in de remweg. Beschrijf in woorden wat voor verband dit is.
   4. Geef commentaar op de volgende uitspraak: "Bij een zicht van 100 meter kun je twee maal zo hard rijden als bij een zicht van 50 meter."


10. Deze opgave gaat over de inhoud `I` van een kubus met ribben `r` in centimeter.
    1. Bereken de inhoud van een kubus met `r=2`. En ook van een kubus met `r=6`.
    2. De ribbe van de tweede kubus uit a is drie keer zo groot als de ribbe van de eerste. Wat betekent dit voor de inhoud van de kubus?
    3. Een kubus heeft een inhoud van `50` cm. Bereken `r`.
    4. Geef de formule waarmee je de inhoud `I` uitdrukt in `r`.
    5. Geef de formule waarmee je de lengte `r` van de ribbe uitdrukt in inhoud `I`.


11. Een formule voor de totale oppervlakte `A` van een kubus met ribbe `r` is: `A=6r^2`.
    1. Licht toe hoe je deze formule kunt afleiden.
    2. Bereken de totale oppervlakte van een kubus met ribben van `3` cm en van een kubus met ribben van `6` cm.
    3. Wat gebeurt er met de totale oppervlakte als je de ribben twee keer zo groot maakt?
    4. Van een kubus is de totale oppervlakte `500` cm². Bereken de lengte van de ribben.
    5. Geef een formule waarmee je de ribbe `r` uitdrukt in de totale oppervlakte `A`.


12. Ga uit van een massieve ijzeren kubus met straal `r` in cm. De soortelijke massa van ijzer is 7,9 g/cm³.
    1. Stel een formule op voor het gewicht `G` van de kubus als functie van `r`.
    2. Stel een formule op voor de oppervlakte `A` van de kubus als functie van `r`.
    3. Leid een formule af van de vorm `A = c * G^(2/3)`. Bepaal de evenredigheidsconstante `c`.
    4. Bereken het gewicht van zo'n kubus als de totale buitenoppervlakte `150` cm² is.

Toetsen

13. Gegeven is de machtsfunctie `f` met formule `y=5*(3x)^4`.
    1. `y` is recht evenredig met een macht van `x`. Wat is de evenredigheidsconstante?
    2. Voor welke waarden van `x` is `f(x)=120000`?
    3. Als de waarde van `x` vier keer zo groot wordt, met hoeveel wordt de bijbehorende functiewaarde dan vermenigvuldigd?


14. Het volume van een cilinder kun je berekenen met de formule `V = pi r^2 h`.
    Hierin is `r` de straal van het grondvlak en `h` de hoogte van de cilinder, beide in cm. Je wilt blikken maken die even hoog als breed zijn, dus waarvan `h=2r`.
    1. Welke formule geldt bij deze blikken voor `V` als functie van `r`?
    2. Herschrijf deze formule tot een formule waarin `r` recht evenredig is met een macht van `V`. Bepaal de evenredigheidsconstante.
    3. De oppervlakte van zo'n blik bestaat uit een rechthoek en twee cirkels. Leid een formule af voor de oppervlakte `A` als functie van `r`.
    4. Laat zien dat tussen `A` en `V` een machtsverband bestaat van de vorm `A = c * V^(2/3)`. Bepaal de waarde van `c`.