Normale toetsen

Inleiding

Beantwoord de vragen bij Verkennen.


Uitleg

Opgaven

  1. In de Uitleg zie je hoe de consumentenbond het gewicht van kilopakken suiker controleert.
    1. Er is hier sprake van een enkelzijdige normale toets. Kun je die naam verklaren?
    2. Waarom voert de consumentenbond een enkelzijdige toets uit? Hoe zou dat met de fabrikant zelf zijn?
    3. Wat moet de conclusie zijn als de consumentenbond vooraf een significantieniveau van 5% wilde hanteren?
    4. Bij welk gewicht zou er dan sprake zijn van een significant verschil?

  2. Gebruik de gegevens in de Uitleg. Nu neemt de consumentenbond een steekproef van 100 pakken.
    1. Wat betekent dit voor de toets?
    2. Als in die steekproef het gemiddelde gewicht 998 gram zou zijn, zou de consumentenbond dan met een betrouwbaarheid van 95% gelijk krijgen?

Theorie

Bekijk eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

  1. Je ziet in Voorbeeld 1 hoe de consumentenbond met een steekproef van 10 pakken het gewicht van kilopakken suiker controleert.
    1. Voer de beschreven toets zelf uit.
    2. Voer de toets nog eens uit, maar nu met een betrouwbaarheid van 99,5%. Is er nog steeds sprake van een significante afwijking?
    3. In plaats van een steekproef van 10 pakken wordt een steekproef van 50 pakken suiker genomen. Bij welke gewichten krijgt de consumentenbond nu met 99% betrouwbaarheid gelijk?

  2. In Voorbeeld 2 zie je hoe je bij een tweezijdige toets te werk kunt gaan.
    1. Waarom is dit een tweezijdige toets? Wat gebeurt er met de onbetrouwbaarheidsdrempel `alpha`?
    2. Voer de beschreven toets zelf uit, maar nu met een significantieniveau van 5%.

  3. In een fabriek heeft men het vermoeden dat het koolstofgehalte van een bepaalde staalsoort groter is dan 0,200%. Uit een steekproef van 80 metingen wordt een gemiddelde gevonden van 0,213%.
    De standaardafwijking van het koolstofgehalte is bekend en bedraagt `alpha = 0,041`%.
    1. Formuleer een geschikte nulhypothese en een alternatieve hypothese.
    2. Toets de hypothese met een onbetrouwbaarheidsdrempel van 0,01. Wat is je conclusie?

  4. In een medisch laboratorium worden voortdurend cholesterolgehaltes in bloedmonsters bepaald. De gebruikte apperatuur wordt elk uur gecontroleerd met behulp van een ijkmonster. Hiervan is bekend dat het gemiddelde 175 mg per 100 mL zou moeten zijn. De controlemetingen aan het ijkmonster leveren op: 168, 170, 188, 170, 174, 190, 188, 171.
    Is er met een significantie van `alpha = 0,01` reden om aan te nemen dat de meetapperatuur niet goed meer werkt?


Verwerken

  1. Een firma die batterijen levert voor rekenmachines, beweert dat die batterijtjes geschikt zijn om gemiddeld zon apparaat 3600 uur te laten werken. Ze gaan er van uit dat die levensduur normaal is verdeeld met een standaarddeviatie van 600 uur.
    In een aselect gekozen groep van 60 rekenmachines stop je de batterijen van deze firma. De gemiddelde levensduur blijkt 3300 uur te zijn. Kun je op grond van dit resultaat met een betrouwbaarheid van 97% de bewering van de firma verwerpen?

  2. Volgens een wetenschappelijk tijdschrift is het gewicht van zeventienjarigen normaal verdeeld met een gemiddelde van 54,2 kg en een standaarddeviatie van 4,7 kg. Om deze bewering te toetsen wordt van 200 aselect gekozen zeventienjarigen het gewicht bepaald.
    1. Als het gemiddelde gewicht in de steekproef 53,3 kg is, heeft het tijdschrift dan met een significantie van 2,5% gelijk?
    2. Bij welk significantieniveau verwerp je de mening van het tijdschrift?
    3. Bij welk significantieniveau had je de mening van het tijdschrift verworpen als je in een veel kleinere steekproef van 10 zeventienjarigen hetzelfde gemiddelde gewicht had aangetroffen? Kun je een verklaring geven voor het verschil met het antwoord bij c?

  3. Vacum verpakte vleeswaren mogen maximaal 0,022% natriumnitriet bevatten. Bij de keuringsdienst van waren controleren ze dit percentage.
    1. Formuleer de hypothese die getoetst wordt. Je mag aannemen dat het natriumnitrietpercentage normaal verdeeld is.
    2. Is de toets eenzijdig of tweezijdig? Formuleer ook de alternatieve hypothese.
    Bij de nulhypothese zijn er nog meer mogelijkheden voor `mu`. Omdat zelfs 0,022 toegestaan is, wordt er uitgegaan van `text(H)_0: mu = 0,022`. Hieronder zie je 25 meetresultaten:

    0,02190,02260,02250,02250,0216
    0,02190,02200,02160,02290,0226
    0,02140,02190,02260,02200,0212
    0,02250,02230,02150,02210,0223
    0,02240,02150,02280,02230,0223

    1. Toets met behulp van deze steekproef of er reden is tot bezorgdheid. Neem een significantieniveau van 5%.

  4. percentagefreq.
    3,445 –< 3,4551
    3,455 –< 3,4650
    3,465 –< 3,4754
    3,475 –< 3,4853
    3,485 –< 3,4953
    3,495 –< 3,5054
    3,505 –< 3,5152
    3,515 –< 3,5252
    3,525 –< 3,5351
  5. Op een pak melk staat: "Het natuurlijk vetgehalte van melk - zoals die van de koe komt - varieert van 3,7% tot 4,3%".
    Volle melk wordt in de fabriek altijd afgeroomd tot 3,5%. Een consumentenorganisatie besluit na te gaan of volle melk 3,5% vet bevat. In een aselecte steekproef van 20 pakken volle melk vindt ze de percentages die je in de tabel ziet.
    Men veronderstelt dat het vetgehalte van pakken melk normaal verdeeld is.
    1. Onderzoek met normaal waarschijnlijkheidspapier of de resultaten van deze proef reden geven om deze veronderstelling in twijfel te trekken.
    2. Schat met behulp van deze steekproef de parameter `sigma` van de normale verdeling.
    3. Toets met significantieniveau 0,05 of de consumentenorganisatie op grond van de steekproef de bewering op het pak kan verwerpen.


Testen

  1. In een melkfabriek worden flessen machinaal gevuld. De gedoseerde hoeveelheid per fles is normaal verdeeld. Bij juiste instelling is de verwachte hoeveelheid 250 g per fles. Een kwaliteitsinspecteur neemt een steekproef van 9 flessen en vindt voor het gemiddelde 252 g. De standaardafwijking is 2 g.
    Toets, met significantieniveau `alpha = 0,05`, `text(H)_0: mu = 250` g tegen `text(H)_1: mu != 250` g.

  2. Een partij kobaltchloride wordt bij levering door de ontvanger gekeurd op het gehalte kobalt. Volgens de leverancier is het gehalte 16,4%. Hieronder zie je de resultaten van de metingen.

    16,215,816,115,815,9
    15,916,216,116,216,0
    15,815,916,115,816,0
    16,016,015,916,216,2
    16,016,116,015,916,3


    Toets met behulp van deze resultaten of de leverancier gelijk heeft. Je mag aannemen dat het gehalte kobalt normaal verdeeld is. Neem als significantieniveau 0,02.