Binomiale toetsen

Antwoorden bij de opgaven

1. 1. Het significantieniveau is de kans dat je ten onrechte `text(H)_0: p = 0,5` verwerpt. Dus de kans dat je toevallig veel meer meisjes dan jongens in je steekproef aantreft, terwijl toch de kans 50% is.
   2. `text(H)_1: p > 0,5`, dus je kijkt alleen naar veel meer meisjes dan jongens, niet naar veel minder meisjes aan jongens.
   3. Doen, gebruik je GR.
   4. Bij een onbetrouwbaarheid van 5% hoort een betrouwbaarheid van 95%.
2. 1. Nu moet `text(P)(M <= g | n = 650 text( en ) p = 0,5) > 0,99` en dus `g = 355`.
      Bij meer dan 355 meisjes in de steekproef verwerp je de nulhypothese.
   2. De grens van het kritieke gebied verschuift dan verder van de verwachte 325 meisjes af.
   3. Dan schuift de grens van het kritieke gebied nog verder naar rechts (naar 364 meisjes).
      Je kunt dan alleen uitspraken doen bij zeer grote afwijkingen van de verwachting. In dit geval is dat misschien niet zo'n ramp, maar vaak leveren zelfs kleinere afwijkingen van de verwachting al grote problemen op.
3. 1. Doen, gebruik je GR.
   2. Nu wordt het kritieke gebied `X <= 16` en dus wijkt een resultaat van 16 nog steeds significant af.
4. 1. `text(H)_1: p != 1/6` betekent dat `p` zowel kleiner als groter dan `1/6` kan zijn.
   2. Nu wordt het kritieke gebied `X <= 3` of `X >= 14`.
5. 1. Je hebt al een steekproefresultaat, dus je controleert alleen of dit resultaat voldoet aan het significantieniveau.
   2. Dan moet je `text(H)_0` verwerpen.
   3. Dan moet je `text(H)_1` verwerpen.
6. 1. `X = 44,45,..,100`
   2. `X = 376,377,..,1000`
   3. `X = 3580,3581,..,10.000`
   4. De grenzen worden nauwkeuriger, komen dichter bij de verwachtingswaarde te liggen. De standaardafwijking van de kansverdeling wordt naar verhouding kleiner.
   5. Het trekken van een hele grote steekproef brengt in de praktijk vaak heel hoge kosten met zich mee of heel erg veel werk. Als je bijvoorbeeld wilt weten hoe de gemiddelde Nederlander ergens over denkt, kun je natuurlijk het beste elke Nederlander op hetzelfde moment zijn mening kenbaar laten maken. Maar hoe zou je dat ooit kunnen regelen?
7. 1. `X = 0,1,..,65` of `X = 84,85,..,100`.
   2. `text(P)(X >= 80 | n = 100 text( en ) p = 0,75) ~~ 0,1488 >= 0,025` dus niet kleiner dan de (gehalveerde) onbetrouwbaarheisdrempel. Je mag `text(H)_0` niet verwerpen.
8. 1. Je toetst `text(H)_0: p = 0,96` tegen `text(H)_1: p < 0,96` met een steekproefgrootte `n = 107`.
   2. `text(P)(X <= 92 | n = 107 text( en ) p = 0,96) ~~ 0,000025`.
   3. Bij een significantieniveau van 0,01 mag `text(H)_0` worden verworpen en dus krijgt de geslaagde leerling geen gelijk.
9. 1. `288 // 5 ~~ 58`.
   2. `text(H)_1: p > 0,2`, je toetst enkelzijdig.
   3. `text(P)(X > g | n = 288 text( en ) p = 0,2) <= 0,05` geeft `g = 69`. Het kritieke gebied is `X = 70,71,...,288`.
      De bedrijfsleider krijgt gelijk.
10. 1. `3/19 * 2/18 * 16/17 * 3 + 3/19 * 2/18 * 1/17 ~~ 0,050568 ~~ 0,05`
    2. `text(P)(X > g | n = 100 text( en ) p = 0,05) <= 0,01` geeft `g = 11`. Hij moet dus minstens 12 prijzen hebben gewonnen.
11. Het kritieke gebied wordt `K = 0,1,...,231` of `K = 270,271,...,500`.
12. 1. `n = 179568` en `p = 0,5`.
    2. Je toetst `text(H)_0: p = 0,5` tegen `text(H)_1: p > 0,5` met `alpha = 0,05`.
       `text(P)(M > g | n = 179568 text( en ) p = 0,5) <= 0,05` geeft `g = 90132`. Het kritieke gebied is `M = 90133,90134,...,179568`.
       De nulhypothese mag niet worden verworpen, de kans dat een pasverwekte een meisjes is blijft 50%.
    3. Dat hoef je niet na te rekenen, een verkleining van `alpha` betekent dat de grens van het kritieke gebied nog verder van de verwachtingswaarde af komt te liggen. Dus dan wordt de alternatieve hypothese helemaal verworpen.
13. 1. `n = 40` en `p = 1/3`.
    2. `~~ 0,061`
    3. `~~ 0,0096`
    4. `text(P)(X >= 18 | n = 40 text( en ) p = 1/3) ~~ 0,0832 > 0,05` dus de "helderziende" wordt niet helderziend verklaard.
       
14. 1. `N = 0,1,...,6` of `N = 20,21,...,50`.
    2. `N = 0,1,...,12310` of `N = 12690,12691,...,50000`.