Stochasten optellen

Inleiding

Bij het spel "darts" is het aantal punten dat je scoort bij het werpen met een pijltje een stochast. Met behulp van statistieken kun je voor een speler een bijpassende kansverdeling maken. Maar in het spel gooi je per beurt met drie darts. Hoe kun je de kansverdeling voor een beurt opstellen vanuit de kansverdeling voor één worp?
Op deze manier winstkansen berekenen is nog heel ingewikkeld, want het spel gaat om gewonnen "sets", waarbij elke "set" weer bestaat uit "legs" die elk uit een vooraf onbekend aantal beurten bestaan. Zoek de spelregels maar eens op.

Je leert nu:

• het begrip som van twee of meer stochasten;
• kansverdelingen opstellen voor de som van stochasten;
• regels voor de verwachting en de standaardafwijking van de som van stochasten.

Je kunt al:

• kansverdelingen opstellen bij een stochast;
• verwachting en standaardafwijking bij een kansverdeling berekenen.

Verkennen

Gooi je met een dobbelsteen dan is het aantal ogen dat bovenkomt een stochast X. Gooi je met twee dobbelstenen, dan heb je voor de som van het aantal ogen dat bovenkomt te maken met een stochast Y = X + X = 2X. Bij de voorbeelden 2 en 3 van 4.1: Stochasten vind je bijbehorende kansverdelingen.

> Laat zien dat in dit geval E(2X) = 2 · E(X).
> Laat zien dat in dit geval Var(2X) = 2 · Var(X).
> Laat zien dat in dit geval σ(2X) = $\sqrt{2}$ · σ(X).

Iemand ontwerpt een dobbelstenensimulator die je via internet kunt spelen. Alleen zorgt hij er (maar dat is niet zichtbaar) dat de tweede dobbelsteen altijd precies 1 oog meer aangeeft dan de eerste, behalve als de eerste 6 ogen heeft, dan heeft de tweede 1 oog. Noem nu X het aantal ogen op de eerste dobbelsteen en Y dat op de tweede.

> Stel een kansverdeling op voor X + Y.
> Onderzoek nu hoe het zit met E(X + Y) en σ(X + Y).

Uitleg

Iemand doet aan twee kansspelen mee. Bij het eerste spel kan hij 2, 4, of 6 punten verdienen, bij het tweede spel 0 of 10 punten. Op grond van voorgaande resultaten heeft hij deze kansverdelingen opgesteld.

Voor de wedstrijd moeten de scores van beide spelen worden opgeteld. Daarbij past deze kansverdeling:

Je kunt nu zelf nagaan dat: E(X) = 4,6 en E(Y) = 6 en E(X + Y) = 10,6. Hier geldt dus dat de verwachtingswaarde van X + Y gelijk is aan de som van de afzonderlijke verwachtingswaarden.
Ook kun je nagaan dat: Var(X) = 2,44 en Var(Y) = 24 en Var(X + Y) = 26,44. Ook de variantie van X + Y gelijk is aan de som van de afzonderlijke varianties.

Omdat (σ(X))² = Var(X) moet gelden (σ(X + Y))² = (σ(X))² + (σ(Y))².
Ga na, dat σ(X + Y) = $\sqrt{{(\sigma (X))}^2+{(\sigma (Y))}^2}$.

‡

Opgaven

1. Bekijk de kansverdelingen in de Uitleg.
   1. Beschrijf hoe de kansverdeling van `X + Y` tot stand is gekomen.
   2. Welke stilzwijgende aanname is daarbij gedaan?


2. In de Uitleg wordt het verband besproken tussen de verwachtingswaarden en de standaarddeviaties van `X`, `Y` en `X + Y`.
   1. Bereken zelf de verwachtingswaarden van `X`, `Y` en `X + Y` en ga na dat `text(E)(X + Y) = text(E)(X) + text(E)(Y)`.
   2. Bereken zelf de standaarddeviaties van `X`, `Y` en `X + Y` en ga na dat `text(sigma)(X + Y) = sqrt((text(sigma)(X))^2 + (text(sigma)(Y))^2)`.
   3. Waarom wordt deze manier van optellen van standaardafwijkingen wel "pythagorisch optellen" genoemd?

Theorie

Vaak heb je met de som van een aantal stochasten te maken. Zo kun je vanuit een kansverdeling voor stochast X met waarden x₁, x₂, ..., x_n en een kansverdeling voor stochast Y met waarden y₁, y₂, ..., y_m ook een kansverdeling maken voor X + Y door kansen te berekenen bij alle waarden x_i + y_j.
Beide stochasten heten onafhankelijk als P(X = x_i en Y = y_i) = P(X = x_j) · P(Y = y_j) voor elke x_i en elke y_j.

Nu geldt: E(X + Y) = E(X) + E(Y) en als X en Y onafhankelijk zijn E(X · Y) = E(X) · E(Y).

Ook geldt als X en Y onafhankelijk zijn: Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y).

Omdat (σ(X))² = Var(X) geldt voor onafhankelijke stochasten X en Y:
(σ(X + Y))² = (σ(X))² + (σ(Y))².

En dus is voor onafhankelijke stochasten X en Y: σ(X + Y) = $\sqrt{{(\sigma (X))}^2+{(\sigma (Y))}^2}$.

‡

Voorbeeld 1

Voor boogschutter A is stochast X het aantal punten dat hij bij elk schot behaalt.

Voor boogschutter B is stochast Y het aantal punten dat hij bij elk schot behaalt.

Beide boogschutters vormen een team en hun scores worden opgeteld.
Bereken de verwachting en de standaarddeviatie van X + Y.

Antwoord

Beide stochasten zijn onafhankelijk.
Ga na, dat E(X) = 6,22 en Var(X) = (σ(X))² = 6,5316.
En verder, dat E(Y) = 7,59 en Var(Y) = (σ(Y))² = 5,9419.

Dan is E(X + Y) = 6,22 + 7,59 = 13,81.
En σ(X + Y) = $\sqrt{\mathrm{6,5316}+\mathrm{5,9419}}=\sqrt{\mathrm{12,4735}}$ ≈ 3,53.

‡

Voorbeeld 2

Voor boogschutter A is stochast X het aantal punten dat hij bij elk schot behaalt.

Bij elke schotbeurt worden 3 pijlen op het doel afgevuurd en de scores opgeteld.
Bereken de verwachting en de standaarddeviatie voor elke schotbeurt.

Antwoord

Elke afgeschoten pijl beweegt onafhankelijk van de andere twee, dus bij elke schotbeurt hoort de stochast S = X + X + X = 3X.

De verwachting per schotbeurt is daarom
E(3X) = E(X + X + X) = E(X) + E(X) + E(X) = 3 · E(X).
De standaarddeviatie per schotbeurt is
σ(3X) = $\sqrt{{(\sigma (X))}^2+{(\sigma (X))}^2+{(\sigma (X))}^2}=\sqrt{3{(\sigma (x))}^2}=\sqrt{3}\cdot \sigma (X)$.

Dit betekent (zie ook voorbeeld 1) dat voor elke schotbeurt geldt:
E(3X) = 3 · 6,22 = 18,66 en σ(3X) = $\sqrt{3}\cdot \sigma (X)$ ≈ 4,43 punten.

‡

Voorbeeld 3

Iemand gooit met 20 geldstukken. Hoeveel maal "kop" verwacht je en hoe groot is de standaardafwijking van de kansverdeling van het aantal keren "kop"?

Antwoord

Per geldstuk is het aantal keren "kop" 0 of 1. Daarbij hoort deze kansverdeling:

En daarbij hoort: E(X) = 0,5 en σ(X)  = 0,5.

De 20 geldstukken stuiteren onafhankelijk van elkaar over tafel.
Je verwacht dus E(20X) = 20 · 0,5 = 10 geldstukken
en een standaarddeviatie van σ(20X) ≈ $\sqrt{20\cdot {\mathrm{0,5}}^2}=\sqrt{20}\cdot \mathrm{0,5}$ ≈ 2,24 geldstukken.

‡

Opgaven

3. Bekijk in Voorbeeld 1 de kansverdelingen van de twee boogschutters.
   1. Controleer de berekende verwachtingswaarden en standaarddeviaties.
   2. Maak zelf een kansverdeling van `X + Y` (een behoorlijk tijdrovende bezigheid). Bereken hiermee `text(E)(X + Y)` en `text(sigma)(X + Y)` en ga na, dat je hetzelfde vindt als in het voorbeeld.


4. In Voorbeeld 2 worden de kansverdelingen van `X` en `3X` vergeleken.
   1. Hoe ziet de kansverdeling van `3X` er uit (ga hem niet helemaal maken!)?
   2. Hoe kun je nagaan dat `text(E)(3X) = 3 * text(E)(X)` en `text(sigma)(3X) = sqrt(3) * text(sigma)(X)` zonder van de optelregels gebruik te maken?


5. Bekijk de kansverdeling van boogschutter A in Voorbeeld 2 nog eens. Stel je voor dat het aantal punten van elke ring 2 hoger is. De stochast wordt dan `X + 2`.
   1. Waarom is `text(E)(X + 2) = text(E)(X) + 2`?
   2. Waarom is `text(sigma)(X + 2) = text(sigma)(X)`?


6. Iemand gooit met 10 dobbelstenen. Hoeveel ogen verwacht hij in totaal? Met welke standaardafwijking?
   Bestudeer eventueel eerst even Voorbeeld 3.
   

Verwerken

7. Hier zie je twee kansverdelingen. De stochasten `X` en `Y` zijn onafhankelijk van elkaar.
   
   

   xi	0	1		yj	5	10	15
   P(X = xi)	0,15	0,85		P(Y = yj)	0,25	0,40	0,35

   
   
   1. Laat zien, dat `text(E)(X + Y) = text(E)(X) + text(E)(Y)`.
   2. Laat ook zien, dat `text(sigma)(X + Y) = sqrt((text(sigma)(X))^2 + (text(sigma)(Y))^2)`.
   3. Laat zien, dat `text(E)(10X) = 10 * text(E)(X)` en `text(sigma)(10X) = sqrt(10) * text(sigma)(X)`.


8. Gebruik de twee kansverdelingen van de voorgaande opgaven nog eens.
   1. Maak een kansverdeling van `Y - X`.
   2. Laat zien, dat `text(E)(Y - X) = text(E)(Y) - text(E)(X)`.
   3. Laat ook zien, dat `text(sigma)(Y - X) = sqrt((text(sigma)(X))^2 + (text(sigma)(Y))^2)`.



	2e toets
1e toets	5	6	7
4	10	5	0
5	11	5	2
6	8	14	7
7	3	13	12
8	0	4	6

9. Voor een bepaald onderdeel uit het schoolexamen moeten twee practicumtoetsen gemaakt worden. De toetsen zijn op die school door de jaren heen zodanig met elkaar te vergelijken, dat de school van het cijferbeeld betrouwbaar statistisch materiaal heeft verkregen.
   De tabel laat zien dat bijvoorbeeld 13% van alle deelnemers aan beide toetsen voor de eerste toets een 7 haalden en voor de tweede een 6.
   Stochast `A` is het cijfer dat een willekeurige leerling op grond van deze statistiek voor de eerste toets behaalt. Stochast `B` is het cijfer dat diezelfde leerling voor de tweede toets behaalt. Stochast `C = 1/2(A + B)`.
   1. Stel de kansverdelingen voor `A` en `B` op.
   2. Welke betekenis heeft stochast `C`?
   3. Leid de verwachtingswaarde en de standaardafwijking van stochast `C` af uit die van `A` en `B`.


10. Als je een lot koopt in de staatsloterij is de kans dat er op dat lot een prijs valt 0,14. Stel je voor dat je met een grote groep medeleerlingen tien staatsloten hebt gekocht.
    Op hoeveel loten verwacht je een prijs? Met welke standaardafwijking?
    


11. Stel dat je aan de kruiszijde van een geldstuk iets hebt afgeslepen. De kans op munt is daardoor p geworden. Er wordt met deze munt geworpen. Op de lange duur blijft in ongeveer één op de drie keer gooien munt boven komt.
    1. Je werpt nu 100 keer met dit geldstuk. Hoeveel keer kruis mag je verwachten?
    2. Welke standaardafwijking hoort daar bij?

Testen

12. Als je met twee geldstukken gooit dan kun je 0, 1 of 2 maal kruis gooien.
    1. Bereken de kans op elk aantal. Je mag aannemen dat de munten zuiver zijn.
    2. Bereken met deze kansen de verwachting van het aantal keer kruis.
    3. Bereken met deze kansen de standaardafwijking van het aantal keer kruis.
    4. Bereken het verwachte aantal kruis als je 10 keer gooit met twee geldstukken.
    5. Bereken de standaardafwijking van het verwachte aantal kruis als je 10 keer gooit met twee geldstukken.


13. Je werpt met een zuivere dobbelsteen en een zuivere viervlaksdobbelsteen. `X` is het aantal ogen op de gewone dobbelsteen, `Y` dat op de viervlaksdobbelsteen.
    Bereken de verwachtingswaarde en de standaardafwijking van `X + Y`.