Stochasten optellen

Antwoorden bij de opgaven

1. 1. Bijvoorbeeld P`(X + Y = 2) = text(P)(x = 2 text( en ) Y = 0) = 0,20 * 0,40 = 0,08`, enzovoorts.
   2. Dat `X` en `Y` voor alle gevallen onafhankelijk zijn. Anders geldt de productregel niet op de bij a beschreven manier.
2. 1. Doen, antwoorden in de uitleg.
   2. Doen.
   3. Omdat deze manier van optellen sterk lijkt op het toepassen van de stelling van Pythagoras.
3. 1. Doen, antwoorden in voorbeeld 1.
   2. Hier zie je de kansverdeling van `X + Y`:
      
      

      x + y	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
      P(X + Y = x + y)	0,0002	0,0006	0,0014	0,0030	0,0055	0,0091	0,0129	0,0192	0,0286	0,0341	0,0558	0,0658	0,0861	0,1015	0,1018	0,1058	0,1045	0,0705	0,0475	0,0528	0,0192

4. 1. Nu heeft `3X` de waarden 0, 1, 2, 3, 4, ..., 29, 30. Je moet de bijbehorende kansen uitrekenen, dat is weer flink wat werk. Bijvoorbeeld P`(3X = 2) = text(P)(X = 0 text( en ) Y = 2) + text(P)(X = 1 text( en ) Y = 1) + text(P)(X = 2 text( en ) Y = 1)`, etc.
   2. Dan moet je de kansverdeling van `3X` echt helemaal maken en E`(3X)` en `sigma(3X)` daarmee berekenen.
5. 1. `text(E)(X + 2) = text(E)(X) + text(E)(2) = text(E)(X) + 2`.
   2. `text(sigma)(X + 2) = sqrt((text(sigma)(X))^2 + (text(sigma)(2))^2) = text(sigma)(X)`, want `text(sigma)(2) = 0`.
6. Als `X` het aantal ogen op één dobbelsteen is, dan is `text(E)(X) = 3,5` en `sigma(X) ~~ 1,71`.
   Gooi je met 10 dobbelstenen, dan is `text(E)(10X) = 35` ogen en `sigma(10X) ~~ sqrt(10) * 1,71 ~~ 5,41`.
7. 1. Hier zie je de kansverdeling van `X + Y`:
      
      

      x + y	5	10	15	6	11	16
      P(X + Y = x + y)	0,0375	0,0600	0,0525	0,2125	0,3400	0,2975

      
      
      Nu is `text(E)(X) = 0,85`, `text(E)(Y) = 10,5` en `text(E)(X + Y) = 11,35`, en `0,85 + 10,5 = 11,35`.
   2. `sigma(X) ~~ 0,357`, `sigma(Y) ~~ 3,841` en `sigma(X + Y) ~~ 3,857` en `3,857 ~~ sqrt(0,357^2 + 3,841^2)`.
   3. Hier zie je de kansverdeling van `10X` (in vier decimalen nauwkeurig):
      
      

      k	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
      P(10X = k + y)	0,0000	0,0000	0,0000	0,0001	0,0013	0,0085	0,0401	0,1298	0,2759	0,3474	0,1969

      
      
      Nu is `text(E)(10X) = 8,5 = 10 * 0,85` en `sigma(10X) ~~ 1,13 ~~ sqrt(10) * 0,357`.
8. 1. Hier zie je de kansverdeling van `Y - X`:
      
      

      x + y	5	10	15	4	9	14
      P(X + Y = x + y)	0,0375	0,0600	0,0525	0,2125	0,3400	0,2975

      
      
   2. Nu is `text(E)(X) = 0,85`, `text(E)(Y) = 10,5` en `text(E)(X + Y) = 9,65`, en `10,5 - 0,85 = 9,65`.
   3. `sigma(X) ~~ 0,357`, `sigma(Y) ~~ 3,841` en `sigma(Y - X) ~~ 3,857` en `3,857 ~~ sqrt(0,357^2 + 3,841^2)`.
9. 1. De kansverdeling van `A` is:
      
      

      a	4	5	6	7	8
      P(A = a)	0,15	0,18	0,29	0,28	0,10

      
      De kansverdeling van `B` is:
      
      

      b	5	6	7
      P(B = b)	0,32	0,41	0,27

      
      
   2. `C` is het gemiddelde cijfer van de twee practicumtoetsen.
   3. `text(E)(C) = 1/2 * text(E)(A) + 1/2 * text(E)(B) = 1/2 * 6 + 1/2 * 5,95 = 5,975`
      `sigma(C) = sqrt((sigma(1/2 A))^2 + (sigma(1/2 B))^2) = sqrt(1/2) * sqrt((sigma(A))^2 + (sigma(B))^2) ~~ sqrt(1/2) * sqrt((1,208)^2 + (0,766)^2) ~~ 1,011`
10. Kennelijk mag je aannemen dat voor elk lot de kans op een prijs 0,14 is en dat de trekkingen onafhankelijk van elkaar zijn. De kansverdeling per lot is dan:
    
    

    l	0	1
    P(L = l)	0,86	0,14

    
    
    En dus is per lot `text(E)(L) = 0,14` en `sigma(L) = 0,1204`.
    Voor 10 loten is daarom de verwachting `10 * 0,14 = 1,4` prijzen met een standaarddeviatie van `sqrt(10) * 0,1204 ~~ 0,38`.
11. 1. Per geldstuk geldt deze kansverdeling voor het aantal keren munt `M` dat boven komt:
       
       

       m	0	1
       P(M = m)	2/3	1/3

       
       
       En dus is `text(E)(M) = 1/3` en `sigma(M) = 2/9`.
       Werp je 100 keer met dit geldstuk, dan mag je `100 * 1/3 ~~ 33` keer munt verwachten.
    2. Daarbij hoort een standaardafwijking van `sqrt(100) * 2/9 ~~ 2`.
12. 1. De kansverdeling van het aantal keer kruis `K` is
       
       

       k	0	1	2
       P(K = k)	0,25	0,50	0,25

       
       
    2. `text(E)(K) = 1`
    3. `sigma(K) = sqrt(1,5) ~~ 0,71`
    4. `text(E)(10K) = 10 * 1 = 10`
    5. `sigma(10K) = sqrt(10) * sqrt(1,5) = sqrt(15) ~~ 7,07`
13. `text(E)(X) = 3,5` en `sigma(X) ~~ 1,71`.
    `text(E)(Y) = 2,5` en `sigma(Y) ~~ 1,12`.
    En dus is `text(E)(X + Y) = 3,5 + 2,5 = 6` en `sigma(X + Y) = sqrt(1,71^2 + 1,12^2) ~~ 2,04`.