Permutaties en combinaties

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-d > Statistiek en kansberekening > Permutaties en combinaties > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-d > Statistiek en kansberekening > Permutaties en combinaties > Uitleg

Opgaven

1. Bestudeer pagina 1 van de Uitleg. Bekijk goed wat je verstaat onder het aantal combinaties van 3 uit 8.
   1. Wat is het kenmerkende verschil tussen de finale en de voorrondes?
   2. Waarom werk je in de voorrondes met combinaties als je alle mogelijke eindresultaten wilt berekenen?
   3. Bereken zelf met de hand het aantal combinaties van 3 uit 8.
   4. Bekijk bij Practicum GR hoe je dit met de grafische rekenmachine kunt uitrekenen.
   5. Bereken eerst met de hand het aantal combinaties van 3 uit 100. Controleer het antwoord met de GR.


2. Ga nu naar pagina 2 van de Uitleg. Je ziet daar hoe je het aantal combinaties van 3 uit 8 kunt tellen in een rooster.
   1. Maak zelf een rooster voor het aantal combinaties van 4 uit 6.
   2. Bereken het aantal combinaties van 4 uit 6 op drie manieren: eerst in het rooster, dan met faculteiten en met de hand en tenslotte met de GR.

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-d > Statistiek en kansberekening > Permutaties en combinaties > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

3. Bekijk de Voorbeelden 1 en 2. Vergelijk de verschillen!
   Je hebt een groep van 20 personen, 8 mannen en 12 vrouwen.
   1. Uit de groep van 20 worden door loting vijf personen gehaald. Elk van hen krijgt een bepaalde opdracht. Op hoeveel manieren kan dat als ze de opdrachten na de loting onderling verdelen?
   2. Uit de groep van 20 worden door loting vijf personen gehaald. Elk van hen krijgt een bepaalde opdracht. Op hoeveel manieren kan dat als er per opdracht wordt geloot?


4. Bekijk nu Voorbeeld 3. Daarin wordt met een rooster gewerkt.
   1. Reken zelf de in het voorbeeld gevraagde kans nog eens na.
   2. Op hoeveel manieren kun je door loting uit een groep van 20 met 8 mannen en 12 vrouwen een groep van vijf samenstellen die bestaat uit 3 mannen en 2 vrouwen?
   3. Op hoeveel manieren kun je door loting uit een groep van 20 met 8 mannen en 12 vrouwen een groep van vijf samenstellen die bestaat uit hoogstens 3 mannen?


5. Ga uit van een systeem met 7 schakelaars die allemaal 'aan' of 'uit' kunnen staan.
   1. Geef in een roosterdiagram alle mogelijkheden weer.
   2. Zet bij elk punt van het rooster hoeveel kortste routes er naar toe leiden. Gebruik de driehoek van Pascal.
   3. Op hoeveel manieren kun je 0 van de 7 schakelaars aanzetten?
   4. Op hoeveel manieren kun je 1 van de 7 schakelaars aanzetten?
   5. Op hoeveel manieren kun je 2 van de 7 schakelaars aanzetten?
   6. Het aantal manieren om 3 van de 7 schakelaars aan te zetten is gelijk aan het aantal manieren om er 4 van de 7 aan te zetten. Leg uit waarom dat zo is.


6. Stel je voor dat er 30 schakelaars zijn (die 30 toneellampen bedienen), waarmee je de belichting op een podium kunt regelen. Voor een bepaalde scènemoeten er vier van de 30 worden aangezet. Neem eerst aan dat de volgorde waarin ze worden aangezet wel van belang is.
   1. Op hoeveel manieren kun je de eerste schakelaar kiezen?
   2. Op hoeveel manieren kun je vier schakelaars kiezen?
   Stel je nu voor dat het niet van belang is in welke volgorde de schakelaars worden aangezet, alleen maar welke vier er 'aan' staan.
   3. Je moet voor een bepaalde scène de schakelaars `S5`, `S7`, `S8` en `S9` gebruiken. Op hoeveel verschillende manieren kun je die schakelaars nog 'aan' zetten?
   4. Hoe kun je met behulp bam de antwoorden op de vragen bij b en c berekenen op hoeveel manieren je vier schakelaars uit de 30 kunt kiezen als de volgorde niet belangrijk is?
   5. Op hoeveel manieren kun je 6 schakelaars kiezen uit de 30 als de volgorde niet belangrijk is?


7. Gebruik de driehoek van Pascal in dit roosterdiagram.
   1. Hoeveel kortste routes zijn er van `P` naar `M`?
   2. Hoeveel kortste routes zijn er van `M` naar `S`?
   3. Hoeveel kortste routes zijn er van `P` naar `S` via `M`?

Verwerken

8. Iemand moet 10 vragen met 'ja' of 'nee' beantwoorden. In de figuur is een mogelijke lijst antwoorden in een rooster weergegeven.
   
   
   
   1. Wat is bij die lijst het antwoord op vraag 6?
   2. Hoeveel lijsten met antwoorden zijn er mogelijk met precies drie keer 'ja'?
   3. Hoeveel lijsten met antwoorden zijn er in totaal mogelijk?
   4. Hoe groot is de kans dat je alle vragen goed beantwoordt als je dat volledig op de gok doet?


9. Je gooit met vijf verschillende geldstukken en je let op het aantal keren 'kruis'.
   1. Hoeveel uitkomsten zijn er mogelijk?
   2. Hoeveel mogelijke antwoorden met precies twee keer 'kruis' zijn er?
   3. Hoe groot is de kans op precies twee keer 'kruis'?
   4. Je gooit nu met 50 geldstukken. Hoe groot is de kans op 20 keer 'kruis'? Geef je antwoord in vier decimalen nauwkeurig.


10. Voor een schaaktoernooi hebben zich 24 deelnemers gemeld. Ze spelen een halve competitie, dus elke deelnemer speelt precies één maal tegen iedere andere deelnemer. Het aantal wedstrijden kan nu worden berekend met behulp van combinaties.
    Leg uit waarom dat zo is en bereken het aantal te spelen wedstrijden.


11. Een groep bestaat uit 14 meisjes en 12 jongens. Er wordt een groepje van vier door loting uitgekozen.
    1. Als het groepje uitsluitend uit meisjes moet bestaan, hoeveel verschillende groepjes zijn er dan mogelijk?
    2. Beantwoord dezelfde vraag als het groepje uit twee jongens en twee meisjes moet bestaan.


12. Hoeveel kortste routes zijn er in deze roosters van punt `A` naar punt `B`?
    
    I -     II -


13. Op hoeveel manieren kunnen 8 verschillende boeken op een rij op een boekenplank worden geplaatst als
    1. iedere volgorde is toegestaan?
    2. de drie wiskundeboeken bij elkaar moeten staan?
    3. de twee woordenboeken op het eind van de rij naast elkaar moeten staan?
    4. er drie boeken worden uitgekozen om te worden gekaft en dan aan het eind te worden gezet?


14. Je werpt met drie dobbelstenen en let op het aantal ogen dat boven komt.
    1. Hoeveel verschillende uitkomsten zijn er mogelijk?
    2. Je kunt op verschillende manieren 12 ogen gooien. Bijvoorbeeld door driemaal 4 te gooien, maar ook door een 6 en tweemaal 3 te gooien.
       Bereken bij elke mogelijkheid de bijbehorende kans.

Testen

15. Een volleybalteam bestaat uit 12 spelers. De coach bepaalt welke spelers worden opgesteld en op welke van de zes posities in het veld.
    1. Als alle spelers even sterk zijn en op elke positie kunnen spelen, op hoeveel manieren kan de coach dan een team van zes samenstellen?
    2. Als hij dat team heeft samengesteld, hoeveel verschillende beginopstellingen kan hij dan nog maken?


16. Een klas bestaat uit 26 leerlingen.
    1. Op hoeveel manieren kun je al die leerlingen op een rij zetten?
    2. Op hoeveel manieren kun je 5 van de 26 leerlingen op een rij zetten?
    3. Op hoeveel manieren kun je een groepje van 5 uit de 26 kiezen?
    4. Er zitten 10 meisjes in deze klas. Op hoeveel manieren kun je een groepje van 5 leerlingen kiezen als daar precies twee meisjes in moeten voorkomen?