Systematisch tellen

Inleiding

Bij het beredeneren van kansen speelt het tellen een belangrijke rol. Immers je deelt het aantal "gunstige" mogelijkheden door het totaal aantal mogelijkheden. Maar dan moet je wel weten hoeveel mogelijkheden er er zijn en vaak ook nog welke dat zijn. Om daar een goed overzicht over te krijgen moet je systematisch te werk gaan. Boomdiagrammen en tabellen helpen er bij.

Je leert nu:

Je kunt al:

Verkennen

Je werpt vier geldstukken op tafel.

> Hoe groot is de kans dat je twee keer kop en twee keer munt krijgt?

Uitleg

Bij tossen wordt er met een geldstuk geworpen. Het werpen met een geldstuk heeft de uitkomsten "kop" of "munt". Bij een zuivere munt zijn beide even waarschijnlijk en hebben ze een kans van `1/2`.

Gooi je met meerdere munten dan kun je kijken naar het aantal keren "kop". Dat aantal kun je aangeven met X. Gooi je met vier munten dan heeft X de waarden 0, 1, 2, 3 of 4.
Om de bijbehorende kansen te kunnen berekenen moet je het aantal gunstige en het totaal aantal mogelijkheden overzichtelijk bijhouden. Dat kun je doen met een boomdiagram zoals dit.
Alle 16 mogelijkheden hebben dezelfde kans.
Ga na, dat P(X = 2) = `6/16=3/8`.

Je kunt een boomdiagram wat compacter maken door de takken in één punt te laten samenkomen. Dan krijg je een wegendiagram. Daarin zie je snel dat er 2 × 2 × 2 × 2 = 16 mogelijkheden in totaal zijn. Alleen zijn de gunstige mogelijkheden nu moeilijker te tellen.

‡

Opgaven

  1. Bestudeer de Uitleg.
    1. Wat is het verschil tussen een boomdiagram en een wegendiagram?
    2. Waarom is bij het berekenen van kansen een boomdiagram handiger?

  2. Je hebt in een hoge hoed vier kaartjes met daarop de letters A, B, C, D. Je haalt die kaartjes er aselect één voor één uit. Bereken de kans dat je dit in de volgorde A-B-C-D doet. (Maak een boomdiagram!)

Theorie

Het berekenen van kansen is meestal een kwestie van systematisch tellen van mogelijkheden die even waarschijnlijk zijn. Daarvoor bestaan een aantal grafische hulpmiddelen:

‡

Voorbeeld 1

Iemand gooit tegelijkertijd met een munt en met een dobbelsteen.

Hoeveel mogelijke even waarschijnlijke uitkomsten zijn er in totaal?
En bij hoeveel daarvan heb je hoogstens 5 ogen en "kop"?

Antwoord

De mogelijke uitkomsten kun je in een wegendiagram weergeven.
Er zijn totaal 2 × 6 = 12 verschillende uitkomsten mogelijk, want je kunt totaal op twaalf verschillende manieren van het beginpunt naar het eindpunt gaan.

Hier zie je hoe je de mogelijke uitkomsten van het gelijktijdig gooien van een munt en een dobbelsteen in een boomdiagram kunt weergeven. Alle 12 mogelijkheden zijn afzonderlijk zichtbaar. Er zijn 5 mogelijkheden met hoogstens (niet meer dan) 5 ogen en kop.

‡

Voorbeeld 2

Iemand gooit tegelijkertijd met twee dobbelstenen. Als je van te voren het totaal aantal ogen goed raadt, win je het spelletje.

Waarom kun je beter gokken op 7 ogen dan op 2 ogen?

Antwoord

Omdat je met twee dobbelstenen werpt, is een rooster een handige manier om alle mogelijkheden in beeld te krijgen.
Je ziet er in totaal 36 even waarschijnlijke mogelijkheden zijn.

En 7 ogen komt veel vaker voor dat 2 ogen.
Je ziet dat 7 ogen het vaakst voorkomt, dus daar moet je op gokken...

‡

Voorbeeld 3

Op een school kiezen 26 leerlingen in 4VWO het NT-profiel. In de vrije ruimte kunnen ze één, twee of drie vakken kiezen uit: "wiskunde D", "informatica" en "natuur, leven en technologie".
16 leerlingen kiezen wiskunde D, 12 kiezen informatica en 14 kiezen voor NLT.
Er zijn 13 leerlingen die maar één van deze drie vakken kiezen.
6 leerlingen kiezen wiD en NLT, 8 leerlingen kiezen wiD en informatica, waarbij de 3 leerlingen zitten die alle drie de vakken kiezen.

Hoeveel leerlingen kiezen alleen NLT en informatica?

Antwoord

Een venndiagram kan helpen. Het gevraagde aantal leerlingen dat alleen NLT en informatica kiest stel je voor door x. Daarmee kun je het venndiagram invullen.

Nu zijn er 13 leerlingen die maar één van deze drie vakken hebben, dus: 5 + 8 – x + 4 – x = 13.
Dit levert op: x = 2.

Ter controle kun je nog even het hele diagram invullen...

‡

Opgaven

  1. Iemand heeft dobbelstenen in de vorm van een regelmatig viervlak. Op de grensvlakken staan de cijfers 1, 2, 3 en 4. Elk vlak heeft een gelijke kans om 'onder' te komen als je met zo’n dobbelsteen gooit. Er wordt geworpen met drie van die dobbelstenen, een rode, een groene en een witte. We letten op de vlakken die 'onder' komen na het werpen. Kijk ook bij Voorbeeld 1.
    1. Geef in een wegendiagram alle mogelijke uitkomsten weer. Hoeveel mogelijkheden zijn er in totaal?
    2. Je wilt het aantal uitkomsten tellen waarbij precies één keer het cijfer 3 onder ligt.
    3. Waarom zijn er 9 mogelijkheden waarbij alleen bij de rode dobbelsteen de 3 onder ligt?
    4. Hoeveel mogelijkheden zijn er waarbij precies één keer de 3 onder ligt?
    5. Hoe groot is de kans dat er precies één 3 onder ligt?

  2. Bij het werpen met twee dobbelstenen kun je de mogelijkheden overzichtelijk weergeven in een rooster. Zie Voorbeeld 2.
    1. Waarom gaat dat bij het werpen met drie dobbelstenen niet?
    2. Je werpt met twee dobbelstenen. Hoe groot is de kans dat er minstens 9 ogen boven komen?

  3. Je hebt vier uiterlijk gelijke briefjes met daarop de namen Paul, Anja, Frits en Elly. De briefjes worden in een vaas gedaan, je moet er twee kiezen. Zie ook Voorbeeld 2.
    1. Teken bij deze situatie een rooster.
    2. Laat zien dat een boomdiagram dezelfde mogelijkheden geeft.
    3. Bepaal de kans dat je zowel Paul als Anja kiest.

  4. Bekijk het Venndiagram bij Voorbeeld 3. Je komt een jou onbekende leerling uit de groep van 26 leerlingen in 4VWO in het NT-profiel.
    1. Hoe groot is de kans dat deze leerling wiskunde D heeft gekozen?
    2. Hoe groot is de kans dat deze leerling alleen maar informatica heeft gekozen?
    3. Hoe groot is de kans dat deze leerling alle drie de vakken heeft gekozen?
    4. Hoe groot is de kans dat deze leerling wiskunde D en nlt heeft gekozen?
    5. Hoe groot is de kans dat deze leerling wiskunde D of nlt (of beide) heeft gekozen?

Verwerken

  1. Een toets bestaat uit 6 meerkeuzevragen. Op elke meerkeuzevraag kun je uit vier antwoorden kiezen; er is telkens maar één antwoord goed.
    1. Geef in een wegendiagram alle mogelijkheden weer.
    2. Hoeveel mogelijke series antwoorden zijn er?
    3. Je hebt de toets goed voorbereid en je weet 4 antwoorden zeker. Hoeveel mogelijke series antwoorden zijn er nu nog?
    4. Als je alleen let op 'goed' of 'fout', hoveel series antwoorden zijn dan mogelijk?

  2. Om het cijferslot van een koffer open te krijgen moet je een code van vier cijfers onthouden.
    1. Je weet alleen het eerste cijfer nog. Hoe groot is de kans dat je de koffer open krijgt?
    2. Je weet alle vier de cijfers nog, maar de volgorde niet meer. Hoe groot is de kans dat je de koffer open krijgt?

  3. Je werpt met drie gewone dobbelstenen.
    1. Geef in een wegendiagram alle mogelijke uitkomsten weer.
    2. Waarom is een boomdiagram niet zo geschikt in dit geval?
    3. Hoe groot is de kans op precies één zes?
    4. Hoe groot is de kans op twee zessen?
    5. Hoe groot is de kans op drie zessen?
    6. Hoe groot is de kans op minstens twee zessen?
    7. Hoe groot is de kans op hoogstens twee zessen?

  4. Een fabrikant van consumptie-ijs probeert drie smaken uit. Het gaat om de smaken ’aardbeien’, ’banaan’ en ’citroen’. Hij laat een onderzoek instellen onder 1000 willekeurig gekozen mensen. 10% van de ondervraagden waardeert alle drie de smaken positief. 8% waardeert geen enkele smaak positief. De andere positieve oordelen zijn als volgt:
    1. Maak een venndiagram van deze gegevens.
    2. Hoeveel procent van de ondervraagden had een positief oordeel over zowel banaan als citroen?
    3. Hoeveel procent had een negatief oordeel over zowel aardbeien als banaan?
    4. Hoe groot is de kans dat een willekeurige ondervraagde niet van aardbeienijs houdt?

  5. Een fruitautomaat heeft drie vensters waarachter banden met plaatjes draaien. Op elke band staan 20 plaatjes en je brengt ze in beweging door aan een hendel te trekken. Eén druk op de knop en de banden stoppen. Zie je nu drie dezelfde plaatjes dan win je een bepaald bedrag. Van de plaatjes is per band het aantal op die band als volgt aangegeven:
    1. Hoeveel mogelijkheden zijn er in totaal?
    2. Op hoeveel manieren kun je drie keer BAR krijgen?
    3. Op hoeveel manieren kun je drie keer ’sinaasappel’ krijgen?
    4. Op hoeveek manieren kun je drie keer ’twee kersen’ krijgen?
    5. Hoe groot is de kans dat je iets wint?

Testen

  1. Op vakantie naar de zon neem je vooral luchtige kleding mee. Bijvoorbeeld: 2 paar schoenen, 6 paar sokken, 4 korte broeken en 5 shirts.
    1. Teken een wegendiagram van alle mogelijke combinaties van schoenen, sokken, broek en shirt.
    2. Op hoeveel verschillende manieren kun je je zomers kleden?
    3. Op het strand heb je geen sokken en schoenen aan. Op hoeveel verschillende manieren kun je daar luchtig gekleed vertoeven?

  2. Voor cilindersloten worden verschillende soorten sleutels gemaakt. De sleutel die je hier ziet bestaat uit zes gedeelten. Voor elk gedeelte wordt één van de patronen A, B of C gekozen.
    Hoe groot is de kans dat een willekeurige sleutel voor zo’n slot ook echt past?

  3. Een deelnemer aan een tv-quiz krijgt vier kaarten met op ieder een naam van een populaire zangeres. Zijn opdracht is om deze kaarten onder de foto’s van deze zangeressen te hangen, de juiste naam bij elke foto. Deze deelnemer kent geen van de vier zangeressen en besluit op goed geluk de kaarten neer de hangen.
    1. Geef in een boomdiagram alle mogelijkheden weer.
    2. Hoe groot is de kans dat hij één kaart goed hangt?
    3. Hoe groot is de kans dat hij alle kaarten goed hangt?