Hoeken en afstanden in 3D

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-d > Meetkunde > Meetkundige berekeningen > Hoeken en afstanden in 3D > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-d > Meetkunde > Meetkundige berekeningen > Hoeken en afstanden in 3D > Uitleg

Lees eerst de Uitleg goed door.

1. Bestudeer in de Uitleg het berekenen van de hoek tussen ${\displaystyle EH}$ en ${\displaystyle HG}$. De aanpak wordt in de uitleg geschetst.
   1. Bereken de drie zijden van ${\displaystyle \Delta EHG}$.
   2. Bereken ${\displaystyle \angle EHG}$ met behulp van de cosinusregel.
   3. Bereken nu zelf ${\displaystyle \angle ABH}$.


2. Bekijk nu hoe in de Uitleg de afstand van ${\displaystyle G}$ tot lijn ${\displaystyle EH}$ wordt bepaald.
   1. Maak zelf de tekening van ruit ${\displaystyle EFGH}$ op ware grootte.
   2. Geef de gevraagde afstand in je figuur aan.
   3. Bereken die afstand.

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-d > Meetkunde > Meetkundige berekeningen > Hoeken en afstanden in 3D > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

3. Bekijk Voorbeeld 1. Je gaat nu zelf de gevraagde afstand berekenen.
   1. Laat zien dat ${\displaystyle BP=\sqrt{\mathrm{33,75}}}$.
   2. Teken vierhoek ${\displaystyle ABPQ}$ op schaal 1 : 100.
   3. Laat vervolgens zien dat ${\displaystyle QS=\sqrt{\mathrm{31,5}}}$.
   4. Bereken nu de gevraagde afstand in cm nauwkeurig.


4. Bekijk de betonnen zuil uit Voorbeeld 1 nog eens. Er zitten allerlei afstanden in. Soms is het handig om bij het berekenen ervan goniometrie, of zelfs de sinusregel of de cosinusregel te gebruiken.
   1. Bereken de afstand tussen de punten ${\displaystyle B}$ en ${\displaystyle G}$.
   2. Bereken de afstand tussen de punten ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle G}$.


5. Bekijk de betonnen zuil uit Voorbeeld 1 nog eens. Er zitten allerlei hoeken in. Nu is het gebruik van goniometrie onvermijdelijk.
   1. Bereken ${\displaystyle \angle BAE}$.
   2. Bereken ${\displaystyle \angle AGC}$.


6. De betonnen zuil heeft nog een bijzondere eigenschap. Als je op hoogte ${\displaystyle x}$ boven het grondvlak een horizontale doorsnede maakt, dan heeft zo’n doorsnede altijd dezelfde omtrek. Toon dit aan.
   


7. In Voorbeeld 2 wordt de hoogte van een opslagruimte berekend.
   1. Bepaal de vergelijking van de middelloodlijn van ${\displaystyle BC}$.
   2. Laat met behulp van het antwoord bij a zien, dat de opslagruimte 5 m hoog is.


8. Bekijk Voorbeeld 2 nog eens.
   1. Bij het grootste deel van de vloeroppervlakte hoort een hoogte van 4 meter of meer. Hoe groot is die vloeroppervlakte?
   2. In punt ${\displaystyle C}$ komen twee cirkels bij elkaar. Welke hoek maken die cirkels in ${\displaystyle C}$ met elkaar?

Verwerken

9. Lichaam

   In de kubus ${\displaystyle ABCD.EFGH}$ met ribbe 6 cm past een lichaam ${\displaystyle L}$ met hoekpunten ${\displaystyle A,B,C,D,P,Q,G}$ en ${\displaystyle H}$. ${\displaystyle P}$ is het snijpunt van ${\displaystyle AF}$ en ${\displaystyle BE}$, ${\displaystyle Q}$ is het snijpunt van ${\displaystyle EG}$ en ${\displaystyle FH}$. In de rechter figuur is ${\displaystyle L}$ apart getekend.
   
       
   
   
   1. Bereken de afstand van punt ${\displaystyle P}$ tot punt ${\displaystyle G}$ in één decimaal nauwkeurig.
   2. Bereken de grootte van ${\displaystyle \angle BPQ}$ in graden nauwkeurig.
   Punt ${\displaystyle R}$ is het midden van ${\displaystyle GH}$. In het vlak door de punten ${\displaystyle P,Q}$ en ${\displaystyle R}$ wordt een ${\displaystyle Oxy}$-assenstelsel aangebracht zo, dat de oorsprong ${\displaystyle O}$ het midden is van ${\displaystyle AB}$, de ${\displaystyle x}$-as evenwijdig is met ${\displaystyle BC}$ en de ${\displaystyle y}$-as door de punten ${\displaystyle O}$ en ${\displaystyle P}$ gaat.
   3. De afstand tussen de lijnen ${\displaystyle PQ}$ en ${\displaystyle CD}$ is de lengte van het kortste verbindingslijnstuk tussen beide. Teken dit lijnstuk in het beschreven assenstelsel.
   4. Bereken de lengte van het in c bedoelde lijnstuk.
   5. Door ${\displaystyle P,Q}$ en ${\displaystyle R}$ gaat een cirkel ${\displaystyle c}$. Stel van deze cirkel een vergelijking op.
   6. Bereken de lengte van het deel van de cirkel tussen de punten ${\displaystyle P}$ en ${\displaystyle Q}$.



10. Kaasdoos

    In een kaaswinkel is het mogelijk om Leerdammer kaas te laten verpakken in een cadeauverpakking van karton. Zie de foto hiernaast. Bij de volgende vragen gaan we steeds uit van een model van deze kaasdoos. Dit model is ontstaan uit een recht driezijdig prisma door daaruit twee gelijke stukken weg te halen. Zie de figuren hieronder.
    De lijnen ${\displaystyle CK}$, ${\displaystyle BH}$, ${\displaystyle AG}$ en ${\displaystyle FL}$ zijn evenwijdig.
    De afmetingen in de figuren zijn gegeven in cm.
    
        
    
    Hieronder is een punt van een Leerdammer kaas getekend, met daarnaast de gehele kaas. De hoogte van deze kaas is gelijk aan ${\displaystyle DE}$ uit de figuur hierboven en de straal is gelijk aan de afstand van ${\displaystyle DE}$ tot het vlak ${\displaystyle BHGA}$.
    
    
    
    
    1. Bereken de straal van de Leerdammer kaas.
    De Leerdammer kaas wordt in een aantal gelijke punten gesneden, zoals in de figuur hierboven. Elke punt wordt verpakt in een kaasdoos. Hoe kleiner de punten, hoe meer kaasdozen er nodig zijn.
    2. Bereken het minimale aantal kaasdozen dat nodig is om al deze punten te verpakken.
    3. Teken op schaal ${\displaystyle 1:2}$ een dwarsdoorsnede van de kaasdoos door de punten ${\displaystyle D}$ en ${\displaystyle E}$ en het midden van ${\displaystyle AG}$. Teken daarin ook de dwarsdoorsnede van de kaaspunt en onderzoek of die kaaspunt ook echt in de kaasdoos past.
    4. Eén van de zijvlakken van de kaasdoos is vlak ${\displaystyle BHKC}$. Teken dit vlak op ware grootte en bereken de grootte van de hoeken van dit vlak.

Testen

11. Keplerster

    De figuur die je hiernaast ziet heet een Keplerster, genoemd naar de astronoom Johannes Kepler (1571 - 1630). Je kunt de figuur opvatten als twee regelmatige viervlakken door elkaar, namelijk de viervlakken ${\displaystyle ABCD}$ en ${\displaystyle EFGH}$. Van die viervlakken zijn alle ribben 8 cm. Viervlak ${\displaystyle ABCD}$ en viervlak ${\displaystyle EFGH}$ doordringen elkaar zo, dat de ribben middendoor gedeeld worden. ${\displaystyle P,Q,R,S,T}$ en ${\displaystyle U}$ zijn de middens van de ribben van de twee viervlakken.
    1. Bereken de afstand tussen de punten ${\displaystyle T}$ en ${\displaystyle U}$.
    2. Punt ${\displaystyle M}$ is het midden van ${\displaystyle PS}$. Bereken de grootte van ${\displaystyle \angle AMF}$.
    3. De kleinste bol waar de Keplerster nog precies in past gaat door de punten ${\displaystyle A,B,E}$ en ${\displaystyle F}$. De doorsnede van vlak ${\displaystyle ABEF}$ en die bol is een cirkel ${\displaystyle c}$. Bereken de straal van ${\displaystyle c}$.
    4. Bereken ook de lengte van de cirkelboog tussen de punten ${\displaystyle E}$ en ${\displaystyle F}$.