Totaalbeeld

Samenvatten

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-d > Meetkunde > Meetkunde met vectoren > Totaalbeeld > Samenvatten

Je hebt nu het onderwerp Meetkunde met vectoren doorgewerkt. Er moet een totaalbeeld van deze leerstof ontstaan...
Ga na, of je al de bij dit onderwerp horende begrippen kent en weet wat je er mee kunt doen. Ga ook na of je de activiteiten die staan genoemd kunt uitvoeren. Maak een eigen samenvatting!

Begrippenlijst:

somvector, resultante — scalair product — nulvector
richtingsvector, plaatsvector, vectorvoorstelling van een lijn
inproduct van twee vectoren
normaal en normaalvector van een lijn — hoek tussen twee lijnen

Activiteitenlijst:

vectoren meetkundig optellen, aftrekken, scalair vermenigvuldigen — vectoren optellen, aftrekken, scalair vermenigvuldigen vanuit kentallen
vectorvoorstelling van een lijn opstellen — vectorvoorstellingen omzetten in vergelijkingen en omgekeerd
het inproduct van twee vectoren berekenen, ook vanuit de kentallen — het inproduct gebruiken om hoeken tussen twee vectoren te berekenen — het inproduct gebruiken om loodrechte stand aan te tonen
het werken met vectoren en hun inproduct toepassen op het berekenen van hoeken in de vlakke meetkunde — werken met normaalvectoren om het rekenwerk te vereenvoudigen

Achtergronden

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-d > Meetkunde > Meetkunde met vectoren > Totaalbeeld > Achtergronden

Testen

Opgaven

Gegeven zijn de lijnen `l`: `((x),(y)) = p ((-1),(2))` en `m`: `((x),(y)) = ((1),(4)) + q ((-3),(2))`.
1. Bereken de hoek tussen beide lijnen.
2. Bereken de coördinaten van het snijpunt `S` van beide lijnen.
3. Bereken de afstand van punt `P(0,10)` tot lijn `m`.

De lijn `l` met vergelijking `x + y = 4` snijdt de cirkel `c`: `(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 10` in de punten `A` en `B`. Punt `A` heeft positieve coördinaten. De raaklijn in `A` en de raaklijn in `B` aan cirkel `c` snijden elkaar in punt `S`.
1. Bereken de coördinaten van `S`.
2. Bereken de grootte van de hoeken van vierhoek `ASBM`, waarin `M` het middelpunt van cirkel `c` is.
3. Een koordenvierhoek is een vierhoek waarvan de hoekpunten op één cirkel liggen. Toon aan dat vierhoek `ASBM` een koordenvierhoek is.

Gegeven zijn de punten `O(0,0)`, `A(5,1)` en `C(1,5)`. Vlieger `OABC` heeft een oppervlakte van 64 roostereenheden.
Bereken de coördinaten van punt `B`.

Schuurdeur
In een grote schuur wordt een schuurdeur gemaakt. De deur wordt 3 m breed en aan de zijkanten 2 m hoog. De bovenkant is een cirkelboog. In vooraanzicht van de schuur kun je onder andere zien, dat hij in het midden 5 m hoog is en aan de zijkanten 2 m hoog. De schuur is 10 m breed en de schuurdeur komt precies in het midden. Voor het gemak is een assenstelsel aangebracht. Op de twee plaatsen waar de cirkelboog op de rechtop staande balken links en rechts van de deur komt te rusten, zijn de raaklijnen (stippellijnen) aan de cirkelboog evenwijdig met de dakhelling.
1. Bereken de coördinaten van het middelpunt van de cirkel waar de cirkelboog een deel van is.
2. Bereken de lengte van de cirkelboog.
3. Bereken de totale oppervlakte van deze deur.

Toepassen

Lijnen die gegeven lijn onder bepaalde hoek snijden
Stel vergelijkingen op van de twee lijnen door `(0,2)` die de lijn `l`: `x + 3y = 6` snijden onder een hoek van 60°. Lees hierover in:
www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-d > Meetkunde > Meetkunde met vectoren > Totaalbeeld > Toepassen

De rechte van Euler
De beroemde wiskundige Leonhard Euler (1707 – 1783) toonde aan dat in elke driehoek het snijpunt H van de hoogtelijnen, het snijpunt Z van de zwaartelijnen en het snijpunt M van de middelloodlijnen op één lijn liggen. Die lijn heet de rechte van Euler. Lees hierover in:
www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-d > Meetkunde > Meetkunde met vectoren > Totaalbeeld > Toepassen

Neem de driehoek `ABC` met `A(-2,0)`, `B(4,0)` en `C(0,6)`.
Toon aan dat de drie genoemde punten inderdaad op één lijn liggen in deze driehoek en stel een vergelijking van die lijn op.
Je bewijst dit voor elke driehoek als je `A(-a,0)`, `B(b,0)` en `C(0,c)` (met `a, b, c > 0`) neemt. Durf je die uitdaging aan?

Examenopgaven

Ten opzichte van een cartesisch assenstelsel `Oxy` zijn gegeven de lijn `k` met vergelijking `x + 2y = 10` en voor elke reële waarde van `p` de lijn `l_p` met vectorvoorstelling `((x),(y)) = ((5),(-1)) + t ((3),(p))`.
1. Bereken de hoek die `k` en `l_1` met elkaar maken.
2. De lijn `l_4` raakt een cirkel `c` met middelpunt `(1,-3)`. Stel een vergelijking van `c` op.
3. De lijn `m` ontstaat uit `k` bij draaiing om `O` over 90°. Voor welke `p` geldt dat het snijpunt van `k` en `m` op `l_p` ligt?
(bron: examen wiskunde havo 1981, eerste tijdvak)

De lijn `m` raakt de cirkel `c`: `x^2 + y^2 = 8` in het punt `(2,2)`.
De cosinus van de hoek die de lijn `l_p`: `((x),(y)) = ((0),(3)) + t ((1),(p))` maakt met `m` is `1/(sqrt(5))`.
Bereken `p`.
(bron: examen wiskunde havo 1980, eerste tijdvak)

De punten `A(7,0)` en `B(4,3)` liggen in een cartesisch assenstelsel `Oxy`.
1. Stel een vergelijking op van de cirkel `c_1` met middelpunt `O` die lijn `AB` raakt.
2. De cirkel `c_2` gaat door `O`, `A` en `B`. Stel een vectorvoorstelling op van de raaklijn in `O` aan `c_2`.
3. Op het lijnstuk `AB` ligt het punt `P` zo, dat `/_AOP = /_POB`. Bereken de coördinaten van `P`.
(bron: examen wiskunde havo 1982, eerste tijdvak)

Gegeven zijn ten opzichte van een cartesisch assenstelsel de punten `A(2,-3)` en voor elke waarde van `p` de lijn `l_p` met vectorvoorstelling `((x),(y)) = ((3),(p)) + t ((2),(-1))`.
1. De punten `A` en `A'` zijn elkaars spiegelbeeld ten opzicht van `l_1`. Bereken de coördinaten van `A'`.
2. Lijn `l_p` snijdt de `x`-as in een punt `B` en de `y`-as in een punt `C` zo, dat de oppervlakte van driehoek `BCO` gelijk is aan 25. Bereken `p`.
3. Voor welke waarden van `p` ligt het snijpunt van `l_p` en de lijn met vergelijking `2x + 3y = 9` in het vierde kwadrant?
(bron: examen wiskunde havo 1986, eerste tijdvak)