Hoeken en lijnen

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-d > Meetkunde > Vectormeetkunde > Hoeken en lijnen > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-d > Meetkunde > Vectormeetkunde > Hoeken en lijnen > Uitleg

Lees eerst de beide pagina's van de Uitleg goed door.

  1. Lees in de Uitleg hoe je de hoek tussen twee lijnen berekent. Teken de lijnen `l`: `((x),(y)) = ((-2),(3)) + p ((2),(1))` en `m`: `((x),(y)) = ((0),(4)) + q ((3),(-1))` in een cartesisch assenstelsel.
    1. Welke vectoren bepalen de richting van deze lijnen?
    2. Bereken de hoek tussen de in a bedoelde vectoren met behulp van het inproduct.
    3. Is de hoek die beide lijnen met elkaar maken automatisch gelijk aan deze hoek?

  2. Teken de lijnen `k`: `((x),(y)) = ((-2),(1)) + p ((-3),(1))` en `m`: `((x),(y)) = ((0),(-1)) + q ((2),(-1))` in een cartesisch assenstelsel.
    1. Bereken met behulp van het inproduct de hoek tussen beide richtingsvectoren.
    2. Is deze hoek gelijk aan de hoek tussen `l` en `m`? Leg uit waarom.

  3. Lees nu in de Uitleg, pagina's 1 en 2 wat de normaalvector van een lijn is en hoe je die kunt gebruiken om snel een vergelijking van de lijn op te stellen. Gegeven is de lijn `k`: `((x),(y)) = ((-2),(1)) + p ((-3),(1))`
    1. Welke normaalvector heeft k?
    2. Laat zien dat dit inderdaad een vetor loodrecht op `k` is door het inproduct met de richtingsvector te berekenen.
    3. Stel een vectorvoorstelling op van de lijn door `O` en loodrecht op `k`.

  4. Neem de lijn `l`: `-x + 3y = 5`.
    1. Bepaal de richtingscoëfficiënt van de lijn.
    2. Bepaal een bijpassende richtingsvector.
    3. Stel een complete vectorvoorstelling van `l` op.
    4. Bepaal de normaalvector vanuit de richtingsvector van `l`. Komt je antwoord overeen met dat in de Uitleg, pagina 2?

  5. Gegeven lijn `m`: `((x),(y)) = ((0),(-1)) + q ((2),(-1))`.
    1. Bepaal de richtingsvector en de normaalvector van `m`.
    2. Leg uit hoe je nu gemakkelijk de vergelijking van `m` kunt maken.
    3. Maak nu ook zo handig mogelijk de vergelijking van de loodlijn `p` door `(2,3)` op `m`.

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-d > Meetkunde > Vectormeetkunde > Hoeken en lijnen > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

  1. Bekijk Voorbeeld 1. Bereken de hoek die de lijnen `p`: `x - 2y = 8` en `q`: `5x + 3y = 10` in graden nauwkeurig.

  2. Bereken de hoek die de lijn door `A(0,4)` en `B(5,0)` maakt met de lijn door `C(0,-2)` en `D(-10,0)`.

  3. Bestudeer in Voorbeeld 2 hoe je de afstand van een punt tot een lijn berekent met behulp van de normaalvector.
    Gegeven is de lijn `PQ` door `P(-5,3)` en `Q(1,1)` en punt `A(4,8)`.
    1. Stel een vectorvoorstelling op van de lijn `l` door `A` en loodrecht op `PQ`.
    2. Bereken de coördinaten van het snijpunt `S` van de lijnen `PQ` en `l`.
    3. Bereken nu de afstand van `A` tot lijn `l`.

  4. In Voorbeeld 3 zie je hoe je de raaklijn kunt opstellen aan een cirkel in een punt op die cirkel met behulp van de normaalvector.
    Stel een vergelijking op van de raaklijn `r` in het punt `P(4,3)` aan de cirkel `c` met vergelijking `x^2 + y^2 = 25`.

  5. Stel een vergelijking op van de raaklijn `r` in het punt `P(4,3)` op de cirkel `c` met middelpunt `M(2,1)`.

Verwerken

  1. De drie lijnen `l`: `x + 3y = 6`, `m`: `4x - y + 2 = 0` en `n`: `x + y = 6` sluiten een driehoek `ABC` in. Bereken de hoeken van deze driehoek in graden nauwkeurig.

  2. Driehoek `PQR` is gegeven door `P(-5,10)`, `Q(7,7)` en `R(0,12)`.
    1. Bereken de coördinaten van het zwaartepunt (het snijpunt van de drie zwaartelijnen) van deze driehoek.
    2. Bereken in graden nauwkeurig de hoek tussen de hoogtelijn door `P` en de zwaartelijn door `P`.

  3. Driehoek `KLM` is gegeven door `K(-3,5)`, `L(3,-4)` en `M(6,14)`.
    1. Het snijpunt van de drie middelloodlijnen van `Delta KLR` is het middelpunt van de omgeschreven cirkel. Stel een vergelijking van die cirkel op.
    2. Bereken de hoek waaronder die cirkel de `y`-as snijdt.

  4. Bereken de afstand tussen de lijnen `p`: `2x + 3y = 6` en `q`: `2x + 3y = 8`.

  5. Cirkel aan gegeven raaklijn (1)

    Een cirkel `c` met het middelpunt op de `y`-as raakt de lijn `l`: `x + 3y = 6` in het punt `P(3,1)`. Bereken het middelpunt en de straal van die cirkel.

Testen

  1. Gegeven zijn de lijnen `l`: `((x),(y)) = ((-2),(1)) + p ((3),(1))` en `m`: `((x),(y)) = ((0),(-1)) + q ((2),(-1))`.
    1. Bereken de hoek tussen beide richtingsvectoren.
    2. Is deze hoek gelijk aan de hoek tussen `l` en `m`? Licht je antwoord toe.

  2. Gegeven is de vlieger `PQRS` door `P(12,0)`, `Q(5,6)`, `R(0,6)` en `S(3,2)`.
    1. Onder welke hoek snijdt de cirkel door `Q`, `R` en `S` de lijn `QS`?
    2. Bereken de afstand van lijn `QS` tot de lijn door `O` evenwijdig aan `QS`.