Vectorvoorstelling van een lijn

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-d > Meetkunde > Vectormeetkunde > Vectorvoorstelling van een lijn > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-d > Meetkunde > Vectormeetkunde > Vectorvoorstelling van een lijn > Uitleg

Lees eerst de Uitleg goed door.

1. Bekijk de Uitleg.
   1. Geef de coördinaten van de punten van de getekende lijn waarvoor `t = 4`, `t = -2`, `t = 0` en `t = 1,5`. Gebruik eventueel de applet.
   2. Welke waarde heeft `t` in het punt `(22,13)`?


2. Gegeven is de lijn `l` door de punten `(-3,5)` en `(7,0)`.
   Punt `P` beweegt over lijn `l`. Op `t = 0` zit `P` in `(-3,5)` en op `t = 5` zit `P` in `(7,0)`.
   1. Teken `l` in een cartesisch assenstelsel.
   2. Geef een richtingsvector van deze lijn.
   3. Welke vectorvoorstelling past bij de beschreven situatie?
   Een ander punt `Q` beweegt ook over lijn `l`. Op `t = 0` zit dit punt in `(-1,4)` en op `t = 5` zit `Q` in `(4;1,5)`.
   4. Bewegen beide punten even snel?
   5. Op welk tijdstip vallen beide punten samen?


3. Gegeven is de lijn `l` door de vectorvoorstelling `((x),(y)) = ((0),(4)) + t ((3),(-1))`.
   1. Wat is de richtingsvector van deze lijn?
   2. Teken l in een cartesisch assenstelsel.
   3. Waarom is `((x),(y)) = ((3),(3)) + p ((6),(-2))` ook een goede vectorvoorstelling voor deze lijn?
   4. Je weet dat elke rechte lijn kan worden beschreven door een vergelijking. Welke vergelijking hoort bij deze rechte lijn?
   5. Hoe kun je de richtingscoëfficiënt van de lijn uit de richtingsvector afleiden?


4. Bekijk de Uitleg nog eens.
   1. Leg uit hoe je de vergelijking van de lijn maakt.
   2. Controleer dat de punten die horen bij `t = 0`, `t = 1`, `t = 2,5` en `t = -2` ook inderdaad aan de vergelijking van de lijn voldoen.
   3. Laat zien dat `A(2t,2 + t)` voor elke `t` aan de vergelijking voldoet.


5. Gegeven is de lijn `m` door de vectorvoorstelling `((x),(y)) = ((1),(4)) + t ((-2),(5))`.
   1. Stel bij deze lijn een vergelijking op.
   2. Stel bij deze lijn een andere vectorvoorstelling op en laat zien dat ook uit deze vectorvoorstelling dezelfde vergelijking voor de lijn volgt.

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-d > Meetkunde > Vectormeetkunde > Vectorvoorstelling van een lijn > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

6. Bekijk Voorbeeld 1. Stel een vectorvoorstelling op van de lijn door `P(-3,0)` en `Q(2,5)`.
   


7. Gegeven is de lijn `l` door `A(-2,5)` en `B(1,-1)`.
   1. Stel een vectorvoorstelling van `l` op.
   2. Bereken de richtingscoëfficiënt van `l`.
   3. Stel een vergelijking op van `l`.


8. Gegeven is de lijn `l` met vergelijking `4x + 3y = 6`.
   1. Bepaal twee punten op deze lijn en stel met behulp daarvan een bijpassende vectorvoorstelling op.
   2. Bepaal vanuit de gegeven vergelijking de richtingscoëfficiënt en laat zien dat die past bij de in a) gevonden richtingsvector.


9. Teken de lijn `l` met vectorvoorstelling `((x),(y)) = ((-2),(3)) + t ((2),(1))` en de lijn `m` door `(0,6)` die loodrecht staat op `l`. Welke richtingsvector heeft `m`? Stel een bijpassende vectorvoorstelling voor `m` op.
   


10. Bekijk Voorbeeld 2.
    1. Los zelf het stelsel vergelijkingen op.
    2. Wat doe je met de gevonden waarden van `p` en `q` om het snijpunt te vinden?


11. Bereken de snijpunten van de lijnen `l` en `m` als:
    1. `l`: `((x),(y)) = ((-1),(5)) + p ((2),(-3))` en `m`: `((x),(y)) = ((0),(-2)) + q ((3),(1))`
    2. `l`: `2x + y = 6` en `m`: `((x),(y)) = ((4),(1)) + q ((-1),(4))`
    3. `l`: `((x),(y)) = ((-1),(5)) + p ((2),(-3))` en `m` is de `x`-as


12. Schrijf de berekening in Voorbeeld 3 zelf uitgebreid uit.
    


13. Bereken de snijpunten van de lijn `l` met vectorvoorstelling `((x),(y)) = ((2),(7)) + p ((10),(3))` en de cirkel `c` met middelpunt `M(12,10)` door `P(9,6)`.
    


14. Lijn `l` gaat door `A(-12,17)` en `B(5,0)` en lijn `m` gaat door `C(-3,5)` en `D(9,11)`.
    1. Bereken het snijpunt van `l` en `m` door vectorvoorstellingen van beide lijnen te gebruiken.
    2. Bereken het snijpunt van `l` en `m` door vergelijkingen van beide lijnen te gebruiken.
    3. Bereken het snijpunt van `l` en `m` door van `l` een vergelijking en van `m` een vectorvoorstelling te gebruiken.

Verwerken

15. Maak bij de volgende lijnen een passende vectorvoorstelling:
    1. de lijn `l` door `P(-20,45)` en `Q(30,15)`
    2. de lijn `m` met vergelijking `2x - 5y = 10`
    3. de lijn `n` door `P(-20,45)` en loodrecht op `m`
    4. de `x`-as
    5. de lijn `p` met vergelijking `x = 2`


16. Bereken de snijpunten van
    1. de lijn `l` door `P(-20,45)` en `Q(30,15)` en de lijn `m`: `2x - 5y = 10`
    2. de lijn `n` die bestaat uit alle punten `A(4 - 2t,3t)` en de lijn `m`
    3. de lijn `n` en de `x`-as
    4. de lijn `l` en de cirkel `c` met als middelpunt het midden van `PQ` en straal `5sqrt(13)`


17. De punten `O(0,0)`, `A(8,2)` en `B(4,10)` zijn de hoekpunten van `Delta OAB`.
    1. Stel een vectorvoorstelling op van de zwaartelijn door `O`.
    2. Stel een vectorvoorstelling op van de middelloodlijn van `OA`.
    3. Bereken het snijpunt van deze twee lijnen.
    4. Toon aan dat de zwaartelijnen in deze driehoek door één punt gaan.



18. Raaklijn aan een cirkel (1)

    Gegeven is de cirkel `c`: `x^2 + y^2 = 13` met daarop het punt `P(2,3)`.
    De raaklijn in `P` aan deze cirkel staat loodrecht op de staal `OP`.
    1. Welke vector hoort bij deze straal?
    2. De richtingsvector van de lijn staat loodrecht op die vector. Welke richtingsvector heeft de raaklijn in `P` dus?
    3. Stel een vectorvoorstelling van de raaklijn in `P` aan `c` op.



19. Raaklijn aan een cirkel (2)

    Gegeven zijn de lijn `l_p` met vectorvoorstelling `((x),(y)) = ((0),(3)) + t ((1),(p))` en de cirkel `c` met vergelijking `x^2 + y^2 = 8`. De lijn `l_p` raakt cirkel `c`. Bereken de mogelijke waarden van `p`.
    



20. Botsing?

    Twee punten `A` en `B` bewegen in een cartesisch assenstelsel volgens een rechte lijn.
    Op `t = 0` zit punt `A` in `(0,4)` en punt `B` in `(6,0)`.
    Op `t = 5` zit punt `A` in `(10,6)` en punt `B` in `(11,4)`.
    1. Bereken het snijpunt `S` van de banen die deze punten doorlopen.
    2. Botsen deze punten in `S`?

Testen

21. Maak bij de volgende lijnen een passende vectorvoorstelling:
    1. de lijn `l` door `P(10,-25)` en `Q(40,15)`
    2. de lijn `m` door `P(-5,3)` en loodrecht op `n`: `2x + 3y = 5`
    3. de lijn `p` met vergelijking `y = -2`


22. Bereken de snijpunten van
    1. de lijn `l` door `P(10,-25)` en `Q(40,15)` en de lijn `n`: `2x + 3y = 5`
    2. de lijn `n` en de lijn `k` met vectorvoorstelling `((x),(y)) = ((-1),(3)) + t ((2),(5))`
    3. de lijn `k` en de cirkel `c` met als middelpunt `M(0,3)` en straal `sqrt(13)`


23. Het punt `P(3,3)` ligt op de cirkel `c`: `(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5`.
    Ga dit na en stel een vergelijking op van de raaklijn in `P` aan die cirkel `c`.