Raaklijnen

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-d > Analytische Meetkunde > Raaklijnen > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-d > Analytische Meetkunde > Raaklijnen > Uitleg

Lees eerst de Uitleg goed door.

  1. Bekijk de Uitleg.
    1. Wat is de vergelijking van cirkel `c`?
      2. Zet `P` op het punt `(-4,3)`.
    2. Welke richtingscoëfficiënt heeft lijn `OP` nu?
    3. Welke richtingscoëfficiënt heeft de raaklijn in `P` aan cirkel `c` nu?
    4. Welke vergelijking heeft die raaklijn?
    5. Welke vergelijking heeft de raaklijn in `P(5,0)` aan de cirkel?

  2. Op de cirkel `c` met vergelijking `x^2 + y^2 = 10` ligt het punt `P(3,1)`. Stel een vergelijking op van de raaklijn door `P` aan cirkel `c`.

  3. De lijn `l: x + y = 7` snijdt de cirkel `c: x^2 + y^2 = 25` in twee punten `P` en `Q`.
    1. Bereken deze punten en stel in beide punten de vergelijking op van de raaklijn aan de cirkel door dat punt.
    2. Bereken in beide gevallen de hoek tussen de raaklijn en `l`.

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-d > Analytische Meetkunde > Raaklijnen > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

  1. Bekijk Voorbeeld 1.
    1. Stel een vergelijking op van de raaklijn in punt `B` aan de cirkel.
    2. Waarom heb je in het voorbeeld die vergelijking niet nodig?
    3. Laat zien dat de hoek tussen `l` en `c` in het punt `A(-4,3)` hetzelfde is.
    4. Bereken zo ook de hoek tussen `l: y = -2` en cirkel `c`.

  2. Gegeven de cirkel `c: (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5`.
    1. Bereken de snijpunten van `c` met de beide assen.
    2. Stel de vergelijkingen op van de raaklijnen aan de cirkel `c` in de snijpunten met de assen.
    3. Bereken de hoek waaronder `c` de `x`-as snijdt in graden nauwkeurig.
    4. Bereken de hoek waaronder `c` de `y`-as snijdt in graden nauwkeurig.

  3. De lijn `l` met vergelijking `y = x` en de cirkel `c` met middelpunt `M(3,0)` en door het punt `P(4,2)` snijden elkaar in `A` en `B`. Bereken de hoek waaronder `l` en `c` elkaar snijden in graden nauwkeurig.

  4. Bekijk Voorbeeld 2. De twee cirkels `c_1: x^2 + y^2 = 10` en `c_2: x^2 + y^2 = 8y - 14` snijden elkaar in de punten `A` en `B`. Bereken de hoek waaronder ze elkaar snijden.

  5. De cirkel `c_1` met middelpunt `M_1(1,2)` en straal `sqrt(5)` en de cirkel `c_2` met middelpunt `M_2(0,2)` en straal `sqrt(2)` snijden elkaar in de punten `P` en `Q`. Bereken de hoek waaronder ze elkaar snijden.

Verwerken

  1. Nu je weet dat een raaklijn aan een cirkel loodrecht staat op de straal naar het raakpunt, is het werken met de discriminant niet meer nodig. Het punt `Q(1,4)` ligt buiten de cirkel `c: (x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 5`. Er zijn twee raaklijnen te tekenen vanuit `Q` aan cirkel `c`. De bijbehorende raakpunten zijn `A` en `B`.
    1. `M` is het middelpunt van `c`. Bereken `|QM|`.
    2. De lengtes van de stralen `MA` en `MB` zijn bekend. Bereken `|QA|` en `|QB|`.
    3. De punten `A` en `B` liggen op een cirkel met middelpunt `Q` en straal `|QA|`. Stel een vergelijking van die cirkel `c_2` op.
    4. Bereken nu de coördinaten van `A` en `B` als snijpunten van `c` en `c_2`.
    5. Stel de vergelijkingen op van de twee raaklijnen aan `c` die door `Q` gaan.

  2. Cirkels en hoeken.
    1. Bereken de hoek waaronder een cirkel met een straal van `sqrt(13)` en middelpunt `(2,4)` de `y`-as snijdt.
    2. Bereken de hoek waaronder een cirkel met straal `sqrt(13)` en middelpunt `(2,4)` een andere cirkel met middelpunt `(-2,0)` en straal `2sqrt(3)` snijdt.

  3. Een cirkel snijdt de `x`-as onder een hoek van 45° in de punten `(1,0)` en `(5,0)`. Bereken het middelpunt en de straal van deze cirkel.

  4. Lijn `m` raakt de cirkel `c: x^2 + y^2 = 6 1/4` in het punt `A(-2; 1.5)`. De punten `B(2 1/2; 0)` en `C(1 1/2; -2)` liggen op cirkel `c`. Toon aan dat de hoek tussen `m` en lijn `AB` even groot is als `/_C` van `Delta ABC`.

  5. Ingeschreven cirkel (1)

    De driehoek `ABC` heeft hoekpunten `A(-2,0), B(2,0)` en `C(0,2sqrt(3))`.
    1. Toon aan dat driehoek `ABC` gelijkzijdig is.
    2. De ingeschreven cirkel van deze driehoek is de cirkel die alle drie de zijden raakt. Stel een vergelijking van deze cirkel op.

  6. Ingeschreven cirkel (2)

    De punten `A(-2,0), B(0,-4), C(2,0)` en `D(0,4)` zijn hoekpunten van een ruit `ABCD`. De ingeschreven cirkel van deze ruit is de cirkel die alle vier de zijden raakt. Stel een vergelijking van deze cirkel op.

  7. Eerlijk delen

    Er bestaat een truc om snel de vergelijking van de raaklijn aan een cirkel in een punt op de cirkel op te stellen. Je noemt die truc "eerlijk delen" en hij gaat zo:

    Voorbeeld 1: Stel de vergelijking van cirkel `c` is `x^2 + y^2 + 4x = 21` en je wilt de raaklijn weten in `P(-6,3)` aan `c`. Je gaat dan eerst na, dat `P` op de cirkel ligt. Daarna schrijf je de cirkelvergelijking zo: `bar(x)*x+bar(y)*y+2bar(x)+2x = 21`. Voor de `barx` en `bary` vul je de waarden van punt `P` in: `-6*x+3*y+2*-6+2*x = 21`. En de vergelijking van de raaklijn is: `-4x + 3y = 33`.

    Voorbeeld 2: Stel de vergelijking van cirkel `c` is `(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25` en je wilt de raaklijn aan `c` opstellen in het punt `P(6,8)` op de cirkel. Dan schrijf je de cirkelvergelijking zo: `(barx - 3)(x - 3) + (bary - 4)(y - 4) = 25`. Weer vul je voor de `barx` en `bary` de waarden van `P` in: `(6 - 3)(x - 3) + (8 - 4)(y - 4) = 25`. De vergelijking van de raaklijn wordt: `3(x - 3) + 4(y - 4) = 25`. Dit kun je schrijven als `3x + 4y = 50`.

    Maar waarom kan dit zomaar? Bekijk eerst cirkel `c: x^2 + y^2 = r^2` met daarop punt `P(p,q)`. De raaklijn in `P` aan `c` krijgt dan volgens het "eerlijk delen" de vergelijking `px + qy = r^2`.
    1. Bewijs dat dit zo is door te laten zien dat de lijn `l: px + qy = r^2` door `P` gaat en loodrecht staat op `OP`.
      2. Bekijk vervolgens de cirkel `c` met vergelijking `(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2`. Nu heeft de raaklijn aan deze cirkel in een punt `P(p,q)` op de cirkel volgens de “eerlijk delen” truc de vergelijking `l: (p - a)(x - a) + (q - b)(y - b) = r^2`.
    2. Ga na dat `P` inderdaad op `c` ligt.
    3. Laat zien dat `l` en de straal naar het raakpunt loodrecht op elkaar staan.

Testen

  1. Gegeven is de cirkel `c: (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 13`.
    1. Toon aan dat deze cirkel door `O(0,0)` gaat en stel een vergelijking op van de raaklijn aan `c` in dit punt.
    2. Bereken de hoek waaronder `c` de `x`-as snijdt.
    3. Er zijn twee lijnen met richtingscoëfficiënt 1.5 die deze cirkel raken. Welke twee lijnen zijn dat?

  2. Een cirkel raakt de lijn `l: y = 0,5x` in het punt `P(4,2)`. Het middelpunt van deze cirkel ligt op de lijn `m: y = 2x + 2`. Onder welke hoek snijdt deze cirkel de `y`-as?