Snijden en raken

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-d > Analytische Meetkunde > Snijden en raken > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-d > Analytische Meetkunde > Snijden en raken > Uitleg

Lees eerst de Uitleg goed door.

1. Bekijk de Uitleg.
   1. Bereken de snijpunten van `l: y = - 3/4 x + 2` en de gegeven cirkel in twee decimalen nauwkeurig.
   2. Toon aan dat `m: y = - 3/4 x + 6 1/4` raakt aan de cirkel `c: x^2 + y^2 = 25`.
   3. Bereken het raakpunt.
   4. Er is nog een lijn met dezelfde richtingscoëfficiënt die aan cirkel `c` raakt. Welke vergelijking heeft die lijn?


2. Gegeven is de cirkel met vergelijking `x^2 + y^2 = 5`. Welke van deze lijnen raakt cirkel `c`? Bereken telkens de snijpunten of het raakpunt van lijn en cirkel.
   1. `y = 2x`
   2. `y = 2x + 2,5`
   3. `y = -0,5x + 2,5`
   4. `y = -0,5x - 2,5`

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-d > Analytische Meetkunde > Snijden en raken > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

3. Bekijk Voorbeeld 1. Er zijn ook twee lijnen van de familie `m: y = 1/3 x + b` die aan cirkel `c` raken. Stel van deze twee lijnen de vergelijkingen op.
   


4. Stel vergelijkingen op van de raaklijnen met richtingscoëfficiënt `1/2` die raken aan de cirkel met vergelijking `x^2 + (y - 3)^2 = 20`.
   


5. Gegeven is de lijn k met vergelijking `x + 2y = 6`. Er is een cirkel met middelpunt `O` die deze lijn raakt. Stel van deze cirkel een vergelijking op.
   


6. De lijnen die door het punt `P(0,5)` gaan hebben een vergelijking van de vorm `y = ax + 5`. Twee van die lijnen raken de cirkel `c` met vergelijking `x^2 + y^2 = 10`. Welke twee lijnen zijn dat?
   


7. Bekijk Voorbeeld 2. Het punt `Q(0,2)` ligt buiten de cirkel `c: (x - 5)^2 + (y - 2)^2 = 5`. Stel de vergelijkingen op van de twee raaklijnen aan `c` die door `Q` gaan.
   


8. Gegeven het punt `R(0,4)` en de cirkel `c: (x - 3)^2 + y^2 = 25`. Stel de vergelijkingen op van alle lijnen die door `R` gaan en de cirkel `c` raken.
   


9. Hoeveel lijnen door `A(0,2)` raken de cirkel met middelpunt `M(1,2)` en straal 3?
   


10. Vanuit `O(0,0)` kun je twee raaklijnen tekenen aan de cirkel `c` met middelpunt `(25,0)` en diameter 10. Deze raaklijnen raken de cirkel in de punten `A` en `B`. Bereken de lengte van `AB` door de vergelijkingen van beide raaklijnen op te stellen.
    

Verwerken

11. Gegeven is de cirkel `c: x^2 + y^2 = 25`. Stel vergelijkingen op van alle lijnen `l` die voldoen aan:
    1. `l` heeft een richtingscoëfficiënt van 1 en raakt cirkel `c`;
    2. `l` gaat door `P(6,0)` en raakt cirkel `c` (twee decimalen nauwkeurig);
    3. `l` gaat door `Q(4,3)` en raakt cirkel `c`;
    4. `l` staat loodrecht op de lijn `y = 0,75x` en raakt cirkel `c`.


12. Er is een cirkel met middelpunt `O(0,0)` die de lijn met vergelijking `l: y = 6 - x` raakt. Stel van deze cirkel een vergelijking op en bereken de coördinaten van het raakpunt.
    


13. Stel een vergelijking op van de cirkel met middelpunt `M(1,2)` die de lijn `l` met vergelijking `x - 2y = 6` raakt.
    


14. De cirkel `c` heeft middelpunt `O(0,0)` en straal 1. De verticale lijn `l: x = a` snijdt deze cirkel als `-1 < a < 1` in twee punten `A` en `B`. De raaklijnen in die twee punten aan de cirkel snijden elkaar in het punt `C`.
    1. Neem `a = 1/2` en toon aan, dat `C = (2,0)`.
    2. Toon aan dat voor elke `a!=0` geldt: `C = (1/a ,0)`.

Testen

15. Gegeven is de cirkel `c: (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 17`. Stel vergelijkingen op van alle lijnen `l` die voldoen aan:
    1. `l` heeft een richtingscoëfficiënt van 4 en raakt cirkel `c`;
    2. `l` gaat door `P(-1,2)` en raakt cirkel `c`;


16. Stel een vergelijking op van de cirkel met straal `sqrt(10)` en middelpunt op de `x`-as die de lijn met vergelijking `6x + 4y = 41` raakt.