Cirkels en hun middelpunt

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-d > Analytische Meetkunde > Middelpunten > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-d > Analytische Meetkunde > Middelpunten > Uitleg

Lees eerst de Uitleg goed door.

  1. Bekijk in de Uitleg, pagina 1 hoe je een cirkel construeert door drie gegeven punten.
    1. Verplaats de punten `A, B`, en `C`. Op welke lijnen ligt het middelpunt van de cirkel steeds?
    2. Teken zo maar drie punten op een blaadje papier. Teken nu de cirkel door die drie punten.

  2. Hier zie je een driehoekig grasveld. In tijden van droogte sproei je water over het gras. Je hebt een vaste sproeier die een cirkelvormig gebied kan besproeien. Waar plaats je de sproeier en hoe groot moet de straal van het gebied dat hij kan bestrijken minstens zijn?

  3. Neem in een cartesisch assenstelsel de punten `O(0,0), A(4,0)` en `B(3,5)`.
    1. Stel vergelijkingen op van de middelloodlijnen van `OA, AB` en `OB`.
    2. Laat met berekeningen zien dat die middelloodlijnen door één punt gaan.
    3. Teken een cirkel door die drie punten en stel er een vergelijking van op.
    4. Laat met berekeningen zien dat zowel `O` als `A` en `B` ook echt op de cirkel liggen.

  4. Er zijn computerprogramma’s die bij (een deel) van een geconstrueerde kromme lijn een vergelijking kunnen geven. Stel je vindt `x^2 + y^2 + 6x = 0`. Is dit dan een vergelijking van een cirkel? Licht je antwoord toe.

  5. Bekijk in de Uitleg, pagina 2 wat je moet verstaan onder kwadraat afsplitsen. Splits een kwadraat af van de volgende uitdrukkingen:
    1. `x^2 + 8x`
    2. `x^2 + 12x`
    3. `x^2 + 5x`
    4. `x^2 - 6x`
    5. `x^2 - 8x`
    6. `x^2 - x`

  6. Ga op dezelfde wijze als in de Uitleg, pagina 2 na of de volgende vergelijkingen bij cirkels horen. Bepaal dan ook het middelpunt en de straal van die cirkel.
    1. `x^2 + y^2 + 8x + 4y = 0`
    2. `x^2 + y^2 - 8x + 4y = 25`
    3. `2x^2 + y^2 + 8x = x^2 + 4y`

  7. Niet elke vergelijking van de vorm `x^2 + y^2 + ax + by + c = 0` is de vergelijking van een cirkel. Neem bijvoorbeeld `x^2 + y^2 - 8x + 4y = -25`. Laat met behulp van kwadraat afsplitsen zien, dat hier van een cirkel geen sprake is.

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-d > Analytische Meetkunde > Middelpunten > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

  1. In Voorbeeld 1 zie je hoe je de vergelijking opstelt van de cirkel door de punten `A(0,2), B(2,6)` en `C(5,4)`. Voer de berekeningen in dit voorbeeld zelf uit. In de applet kun je de punten `A, B` en `C` verplaatsen en zo in nieuwe situaties het opstellen van de vergelijking van de cirkel oefenen. Doe dit zo vaak als nodig. Het uiteindelijke antwoord vind je in de applet.

  2. In Voorbeeld 2 zie je hoe je kunt onderzoeken of een vergelijking van de vorm `x^2 + y^2 + ax + by + c = 0` bij een cirkel hoort. Bereken (indien mogelijk) de straal en de coördinaten van het middelpunt van deze cirkels.
    1. `x^2 + y^2 = 6x - 4y - 5`
    2. `x^2 + y^2 = 6x - 4y - 50`
    3. `x(x + 4) = 3 - y(y + 2)`
    4. `2x^2 + 2y^2 - 12x + 4y = 0`
    5. `5 - x^2 - y^2 = 4x + 2y`
    6. `x^2 + y^2 = 4x + 2y - 5`

  3. Stel een vergelijking op van een cirkel door:
    1. `A(-2,3), B(4,3)` en `C(2,4)`
    2. `A(-4,6), B(8,6)` en `C(4,8)`

  4. Onderzoek of de volgende vier punten op een cirkel liggen: `A(0,0), B(9,12), C(25,0)` en `D(12,-13)`.

  5. Gegeven zijn de vergelijkingen `c_1: x^2 + y^2 - 4y = 0` en `c_2: x^2 + y^2 - 4x - 2y = 20`. Probeer je van `c_1` en `c_2` de snijpunten uit te rekenen, dan merk je dat ze geen gemeenschappelijke punten hebben. Welke van beide cirkels ligt geheel binnen de andere?

Verwerken

  1. Stel bij de volgende gegevens de vergelijking(en) van de cirkel(s) `c` op.
    1. `c` gaat door de punten `P(20,5), Q(28,9)` en `R(25,15)`.
    2. `c` heeft middelpunt `(-5,10)` en gaat door `O(0,0)`.
    3. `c` gaat door `A(2 1/2 ;5)` en `B(5 1/2,1)` en heeft straal 5.

  2. Bereken de straal van de cirkel die door de hoekpunten van een gelijkbenige driehoek met zijden van 12, 10 en 10 cm gaat. (Kies een handig assenstelsel.)

  3. Gegeven is de cirkel `c: x^2 + y^2 - 2x + 4y = 0`.
    1. Stel een vergelijking op van de middelloodlijn m van lijnstuk `OM` waarin `M` het middelpunt van `c` is.
    2. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de lengte van het lijnstuk `PQ` als `P` en `Q` de snijpunten van `m` met cirkel `c` zijn.
    3. Toon aan dat vierhoek `MQOP` (of `MPOQ`, afhankelijk van wat je `P` en wat je `Q` hebt genoemd) een ruit is.

  4. Je ziet hier allerlei kwadratische vergelijkingen. Een kwadratische vergelijking stelt vaak een kromme lijn in het platte vlak voor. Onderzoek in welke gevallen het om een cirkel gaat en bereken dan het middelpunt en de straal. Bereken in alle gevallen de snijpunten met de `x`-as.
    1. `x^2 + y^2 = 3x`
    2. `x^2 - y^2 = 3x`
    3. `x^2 - y = 3x`
    4. `x^2 + y^2 + 2xy = 16`
    5. `x(x - 4) = y(6 - y)`
    6. `(x - y)^2 = 2x(6 - y)`

  5. De kromme `k` met vergelijking `4x^2 + 9y^2 = 36` is geen cirkel, maar een ellips.
    1. Bereken van deze ellips de snijpunten met de assen.
      2. Cirkel `c` is de grootste cirkel die nog precies in de ellips past. `B` is het snijpunt van `k` met de `x`-as dat een positieve `x`-coördinaat heeft. `A` is het snijpunt van `c` met de `x`-as dat een positieve `x`-coördinaat heeft. Door `A` en `B` gaat een cirkel `c_2` met middelpunt op de `x`-as. Iemand beweert dat deze cirkel geheel binnen de ellips `k` ligt. Of dit waar is mag je niet zomaar uit de figuur afleiden.
    2. Stel een vergelijking op van de cirkel `c_2`.
    3. Onderzoek door berekening of `c_2` binnen `k` ligt.

Testen

  1. Stel bij de volgende gegevens de vergelijking van de cirkel `c` op.
    1. c gaat door de punten `P(0,4), Q(8,0)` en `R(5,9)`.
    2. Het middelpunt van `c` ligt op de `x`-as en `c` snijdt de lijn `l` in de punten `A(6,6)` en `B(10,-2)`.

  2. Gegeven is de cirkel `c: x^2 + 4x = 5y - y^2`. Laat zien dat het middelpunt van cirkel `c` ligt op de lijn `l: 2x + 2y = 1`.