Coördinaten in het vlak

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-d > Analytische Meetkunde > Coördinaten in het vlak > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-d > Analytische Meetkunde > Coördinaten in het vlak > Uitleg

Lees eerst de Uitleg goed door.

Bekijk de Uitleg. Het begrip cartesisch coördinatenstelsel wordt daar ingevoerd.
1. Waarom is het in de meetkunde van belang dat beide assen loodrecht op elkaar staan en dezelfde schaalverdeling hebben?
2. Maak in de applet `A(1,3)` en `B(4,1)`.
3. Bereken de lengte van `AB`.
4. Bereken de coördinaten van `M`.

Neem in de applet `A(-1,3)` en `B(1,4)`. Bereken de lengte van lijnstuk `AB` en de coördinaten van het midden `M` van `AB`.

Neem `A(-10,33)` en `B(20,45)`. Bereken de lengte van lijnstuk `AB` en de coördinaten van het midden `M` van `AB`.

Ga uit van `A(x_A , y_A)` en `B(x_B, y_B)`.
1. Bereken de lengte van lijnstuk `AB`. Laat zien hoe je de coördinaten van `A` en `B` daarbij gebruikt.
2. Bereken de coördinaten van het midden `M` van lijnstuk `AB`. Laat ook nu zien hoe je daarbij de coördinaten van `A` en `B` gebruikt.

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-d > Analytische Meetkunde > Coördinaten in het vlak > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

In Voorbeeld 1 vind je voor het midden van `AB` het punt `M = (25 1/2, 15 1/2)`. Je hebt met behulp van de figuur laten zien dat `x_M = 25 1/2`.
1. Teken zelf een figuur om `y_M` mee uit te rekenen.
2. Laat met behulp van de figuur zien dat `y_M = 15 1/2.
3. Neem nu `C(-15, 32)` en `D(47, -13)`. Bereken het midden `N` van `CD`.

In Voorbeeld 2 is `A(11, 19)` en `B(40, 12)`.
1. Laat zien dat de formule voor de lengte van `AB` klopt in dit geval.
2. Neem nu `C(-15, 32)` en `D(47, -13)`. Bereken `|CD|` met de formule voor de lengte en laat met een tekening zien dat dit inderdaad de juiste lengte oplevert.

Teken in een cartesisch assenstelsel `Oxy` de punten `A(-3, 6), B(6, 0)` en `C(18, 18)`.
1. Bereken de lengtes van `AB`, `BC` en `AC`.
2. Hoe kun je met behulp hiervan bewijzen dat driehoek `ABC` rechthoekig is?
3. `D, E`, en `F` zijn de middens van de zijden van driehoek `ABC`.Bereken de coördinaten van de hoekpunten van driehoek `DEF`.
4. Bewijs dat ook driehoek `DEF` rechthoekig is.

Terug naar de schat. Je ziet in de applet van het schatgravers probleem in Voorbeeld 3 dat het bewegen van punt `E` geen invloed heeft op de plaats van de schat, punt `S`.
1. Neem voor de oude eik het punt `E(-2,3)` en toon door berekening aan dat de schat – het punt `S` – niet verandert.
2. Neem voor de oude eik het punt `E(-x,y)` en toon zelf door berekening aan dat de schat – het punt `S` – niet verandert.

Practicum

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-d > Analytische Meetkunde > Coördinaten in het vlak > GeoGebra I

Download nu het gratis programma GeoGebra. Hiermee zijn de applets waarmee je hebt gewerkt gemaakt. Je kunt met GeoGebra ook zelf vrij gemakkelijk constructies maken. Construeer het schatgravers probleem met behulp van de tweede pagina van het practicum. Je leert zo constructies in GeoGebra maken.

Verwerken

Gegeven zijn de punten `A(-11, 23)` en `B(106, 133)`.
1. Bereken `|AB|` en het midden `M` van `AB`.
2. `B` is het midden van lijnstuk `AC`. Bereken de coördinaten van `C`.

De vierhoek `ABCD` met hoekpunten `A(6, 0), B(10, 8), C(6, 10)` en `D(2, 2)` is een rechthoek. Construeer deze vierhoek ook in GeoGebra, bepaal vervolgens eerst de antwoorden op de volgende vragen met GeoGebra en doe daarna de handmatige berekeningen.
1. Toon dit door berekening aan.
2. Bepaal de coördinaten van het snijpunt `S` van de diagonalen van rechthoek `ABCD`.
3. Bereken de oppervlakte van driehoek `ABS`.

Ga uit van de vlieger `PQRS` in de figuur hiernaast. De middens van de zijden van deze vlieger `PQRS` vormen een rechthoek (zoals trouwens voor elke vlieger het geval is). Dat kun je met behulp van analytische meetkunde aantonen.
1. Doe eerst zelf eens een poging. De rest van de opgave kun je dan overslaan als dit lukt. Je kunt ook even nagaan of je het op dezelfde manier hebt gedaan.
2. Bedenk eerst even wat een vlieger ook alweer precies is.
3. Teken in GeoGebra een cartesisch assenstelsel met `O` op het snijpunt van de diagonalen van de vlieger. De assen kies je precies langs de diagonalen, waarom kan dat eigenlijk?
4. Nu zijn de hoekpunten `P(-3, 0), Q(0, -4), R(3, 0)` en `S(0, 2)`. Bereken de middens `A, B, C` en `D` van de zijden.
5. Hoe toon je nu aan dat `ABCD` een rechthoek is?

Twee schepen op zee varen een onderling loodrechte koers. Die twee koersen kun je aangeven met lijnen die zich in `S` snijden. Het éne schip vaart met een snelheid van 20 km per uur en is nog 80 km van `S` verwijderd. Het andere schip vaart met 10 km per uur en is nog 60 km van `S` af. Hoe dicht zullen de schepen bij elkaar komen?
1. Kies `t = 0` op het moment van de situatie zoals hierboven beschreven en maak een passende tekening. Zet de afstand tussen beide schepen er in.
2. Kies nu `t = 1` en teken de onderlinge afstand van beide schepen. Doe dit ook voor `t = 2`, `t = 3`, enz.
3. Hoe groot is op `t = 0` de onderlinge afstand van de schepen?
4. Hoe groot is die afstand op `t = 1` (`t` in uren)?
5. Kun je de onderlinge afstand in `t` uitdrukken?
6. Hoe groot is de kleinste onderlinge afstand van beide schepen?

Testen

Gegeven zijn de punten `P(-120, -35)` en `Q(0, 12)`.
1. Bereken de lengte van `PQ` in twee decimalen nauwkeurig.
2. Bereken de afstand van het midden van `PQ` tot de oorsprong van assenstelsel.

Als je in een gelijkbenige driehoek `ABC` met twee benen `AC` en `BC` van 5 cm en `AB = 6` cm het midden `P` van `AC` met `B` en het midden `Q` van `BC` met `A` verbindt, krijg je twee lijnstukken die elkaar snijden in punt `S`. Nu geldt `AS : SQ = BS : BP = 2 : 1`. Toon dit aan met behulp van een goed gekozen assenstelsel.