Logaritmische functies

Inleiding

Logaritmen ontstaan als inverse bewerking van exponentiële functies.
Ook met logaritmen kun je functievoorschriften maken.
Het prototype is de functie f(x) = ^glog(x).
Alle functies die hieruit door de bekende transformaties kunnen ontstaan noem je logaritmische functies. En die ga je nu bekijken...

Je leert nu:

• met logaritmische functies te werken;
• de karakteristieken van logaritmische functies te bepalen.

Je kunt al:

• werken met exponentiële functies;
• transformaties van functies toepassen;
• werken met logaritmen.

Verkennen

Op je grafische rekenmachine kun je de grafiek van f(x) = ²log(x) in beeld brengen. Je voert dan in: y₁ = log(x) / log(2).

> Breng de grafiek in beeld.
> Welk domein en welk bereik heeft f?
> Welke asymptoot heeft de grafiek van f?
> Bekijk de tabel. Bij welke waarden van x krijg je gehele functiewaarden?

Uitleg

Je ziet hier de grafiek van y = g^x.
Deze uitdrukking is gelijkwaardig met x = ^glog(y).
Verwissel je nu x en y, dan krijg je y = ^glog(x).
De grafiek van deze tweede logaritmische functie ontstaat dus door vanuit een exponentiële functie terug te rekenen (de inverse bewerking uit te voeren) en vervolgens x en y te verwisselen.
De grafiek wordt dan gespiegeld in de lijn y = x.

Bij elk punt P op de grafiek van y = g^x hoort een punt P' dat ontstaat door x en y te verwisselen op de grafiek van y = ^glog(x).

De karakteristieken van een logaritmische functie zijn daarom af te leiden uit die van een exponentiële functie (met hetzelfde grondtal) door x en y te verwisselen. Beide functies zijn elkaars inverse functie.

‡

Opgaven

1. In de Uitleg wordt het verband besproken tussen de grafieken van bijvoorbeeld `y_1 = 2^x` en `y_2 = `²`log(x)`.
   1. Maak beide grafieken op je grafische rekenmachine.
   2. Het punt `(4,2)` ligt op de grafiek van `y_2`. Welk punt op de grafiek van `y_1` is het spiegelbeeld van dit punt bij spiegeling in de lijn `y = x`?
   3. Noem nog twee punten op de grafiek van `y_2` en het bijbehorende spiegelbeeld op de grafiek van `y_1`.
   4. Welke verband bestaat er tussen het bereik van `y_1` en het domein van `y_2`?

Theorie

Een functie van de vorm f(x) = ^glog(x) heet een logaritmische functie. Hierin is g > 0 en g ≠ 1 een vast gekozen grondtal.

De grafieken van de functies y = g^x en y = ^glog(x) zijn elkaars spiegelbeeld t.o.v. de lijn y = x. Beide functies zijn elkaars inverse functie.

De karakteristieken van y = ^glog(x) zijn daarom af te leiden uit die van y = g^x:

• het domein is $\langle \mathrm{0,}\to \rangle$;
• het bereik is $ℝ$;
• als g > 1 is de grafiek stijgend, als 0 < g < 1 dalend;
• de y-as is de verticale asymptoot van de grafiek.

Alle functies die door transformatie uit y = ^glog(x) kunnen ontstaan heten logaritmische functies.

‡

Voorbeeld 1

Bepaal de karakteristieken van de logaritmische functie f(x) = 1 + ^0,5log(x) en bereken het nulpunt van de grafiek.
Leg uit waarom deze functie dezelfde grafiek heeft als g(x) = 1 – ²log(x).

Antwoord

De grafiek van f kan uit de grafiek van y = ^0,5log(x) ontstaan door deze 1 eenheid in de y-richting te verschuiven. Omdat het grondtal tussen 0 en 1 ligt is de grafiek dalend. Verder moet x > 0, dus D_f = $\langle \mathrm{0,}\to \rangle$ en B_f = $ℝ$.
De verticale asymptoot is x = 0, de grens van het domein.

Het nulpunt bereken je zo: f(x) = 0 geeft ^0,5log(x) = –1.
Hieruit volgt: x = 0,5^–1 = 2.
Het nulpunt is daarom (2,0).

Deze functie f heeft dezelfde als functie g omdat ^0,5log(x) = ²log(x) / ²log(0,5) = –²log(x).

‡

Voorbeeld 2

Bekijk de applet over logaritmische functies via

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Logaritmische functies > Logaritmische functies > Voorbeeld 2

‡

Voorbeeld 3

Bepaal de karakteristieken van de logaritmische functie f(x) = 4 · log(100 – 2x) – 10 en bereken het nulpunt van de grafiek.

Antwoord

Door de nogal grote getallen is het verstandig om systematisch de karakteristieken te zoeken:

• 100 – 2x > 0 geeft: D_f = $\langle \leftarrow \mathrm{,50}\rangle$
  (Hiermee bepaal je de vensterinstellingen van de GR voor de x-as.)

• de verticale asymptoot is x = 50, de grens van het domein
• het bereik is $ℝ$ want deze functie kan ontstaan uit y = log(x), de standaard 10-logaritme.

Je kunt nu de grafiek op de GR maken.

Het nulpunt volgt uit: f(x) = 4 · log(100 – 2x) – 10 = 0.
Dit levert op: log(100 – 2x) = 2,5 en dus 100 – 2x = 10^2,5.
Ga na, dat daaruit volgt: x ≈ –108,11.
Het nulpunt van de grafiek is ongeveer (–108,11; 0).

‡

Opgaven

2. Teken de grafieken van `y_1 = (1/2)^x` en `y_2 = `^1/2`log(x)` op je grafische rekenmachine. De eigenschappen van `y_2` kun je afleiden uit die van `y_1`. Bekijk de Theorie.
   1. Schrijf het domein, het bereik en de asymptoot van de functie `y_2` op.
   2. Voor welke waarde van `x` is `y_2 = 2`?
   3. Voor welke waarden van `x` geldt `y_2 > 2`?


3. Maak de grafiek van de functie `f(x) = `³`log(x)`.
   1. Schrijf het domein, het bereik en de asymptoot van de functie `f` op.
   2. Voor welke waarde van `x` is `f(x) = 2`?
   3. Voor welke waarden van `x` geldt `f(x) > 2`?
   4. Voor welke waarden van `x` geldt `f(x) < 2`?


4. In Voorbeeld 1 zie je hoe de karakteristieken van een logaritmische functie kunnen worden berekend.
   Maak de grafiek van de functie `f(x) = -1 + 2 * `^0,3`log(x - 1)`.
   Gebruik eventueel de applet bij Voorbeeld 2.
   1. Schrijf het domein en het bereik van `f` op.
   2. Schrijf de vergelijking van de verticale asymptoot op.
   3. Door welke transformaties ontstaat de grafiek van `f` uit die van `y = `^0,3`log(x)`?
   4. Bereken algebraïsch het nulpunt van de grafiek van `f`.


5. Bekijk Voorbeeld 3.
   Maak de grafiek van de functie `f(x) = 2 + 3 * `²`log(x + 4)`.
   Gebruik eventueel de applet bij Voorbeeld 2.
   1. Schrijf het domein en het bereik van `f` op.
   2. Schrijf de vergelijking van de verticale asymptoot op.
   3. Door welke transformaties ontstaat de grafiek van `f` uit die van `y = `²`log(x)`?
   4. Bereken algebraïsch het nulpunt van de grafiek van `f`.

Verwerken

6. Maak de grafiek van de functie `f(x) = 1 - 3 * log(x + 4)`.
   1. Schrijf het domein en het bereik van `f` op.
   2. Schrijf de vergelijking van de verticale asymptoot op.
   3. Door welke transformaties ontstaat de grafiek van `f` uit die van `y = log(x)`?
   4. Bereken algebraïsch het nulpunt van de grafiek van `f`.


7. De grafieken van de functies `f(x) = (1/2)^x` en `g(x) = 2^x` zijn elkaars spiegelbeeld ten opzichte van de `y`-as.
   De grafieken van de functies `h(x) = `^1/2`log(x)` en `k(x) = `²`log(x)` moeten dan elkaar spiegelbeeld zijn ten opzichte van de `x`-as. Dat wil zeggen dat `h(x) = -k(x)`.
   1. Voor welke waarde van `x` is `h(x) = 3`?
   2. Voor welke waarde van `x` is `k(x) = -3`?
   3. Het punt `(1/8, 3)` op de grafiek van `h` heeft een spiegelbeeld op de grafiek van `k`. Wat zijn de coördinaten van dit spiegelbeeld?
   4. Geef nog een punt op de grafiek van `h` en het bijbehorende spiegelbeeld op de grafiek van `k`.
   5. Teken de grafieken van `h` en `k` in één figuur en los op: `h(x) = k(x)`.
   6. Om de vergelijking ^1/2`log(x) = -`²`log(x)` voor willekeurige `x > 0` te controleren schrijf je beide functievoorschriften in de vorm waarin je ze in de grafische rekenmachine kunt invoeren. Toon nu aan dat `h(x) = -k(x)` voor willekeurige `x > 0`.


8. Lichtgevoeligheid van fotografisch opnamemateriaal wordt uitgedrukt in een gevoeligheidsgetal. Het meest gebruikte systeem hiervoor is het ASA-systeem (American Standards Association). Op filmrolletjes staat meestal ook een ander gevoeligheidsgetal vermeld, de DIN-waarde. Het verband tussen ASA en DIN wordt gegeven door de formule

   `y = 1 + a * log x`

   Hierin geeft `x` de lichtgevoeligheid in ASA aan en `y` de lichtgevoeligheid in DIN. Een film van 100 ASA heeft een DIN-waarde 21.
   1. Bereken `a`.
   2. Maak de grafiek. De meest gangbare films hebben een ASA-waarde tussen 50 en 1000.
   3. Hoeveel ASA heeft een film met een gevoeligheid van 31 DIN?


9. Gegeven zijn de functies `f(x) = `²`log(x)` en `g(x) = `²`log(2 - x)`.
   1. Bepaal het domein, het bereik en de asymptoot van de functies `f` en `g`.
   2. De grafiek van de functie `g` ontstaat door transformatie uit die van `f`. Beschrijf de transformaties in de juiste volgorde.
   3. Teken de grafiek van de functies `f` en `g` en los op: `f(x) = g(x)`.
   4. In welke lijn zijn de grafieken van `f` en `g` elkaars spiegelbeeld?

Testen

10. Het verband tussen de (gemiddelde) lengte `L` in cm en het (gemiddelde) gewicht `G` in kg voor kinderen tussen 6 en 13 jaar wordt gegeven door de formule

    `L = k * log(G/G_0)`

    De constanten `G_0` en `k` hangen af van de leefomstandigheden. Voor de westerse wereld geldt `G_0 = 2,4` (in één decimaal nauwkeurig).
    1. Mark (8 jaar) woont in Nederland en heeft een lengte van 1,30 m en weegt 26,3 kg. Bereken `k` in gehelen nauwkeurig. Neem aan dat Mark wat lengte en gewicht betreft een gemiddeld Nederlands kind is.
    2. Helen is 1,40 m lang. Schat haar gewicht in kg.
    3. Schrijf de formule in de vorm `G = b * g^L`, voor `k = 120`. Geef daarbij `g` in vier decimalen nauwkeurig.


11. Gegeven zijn de functies `f` en `g` met voorschriften `f(x) = `^1/3`log(2x)` en `g(x) = `³`log(3x - 6)`.
    1. Bepaal domein, bereik en asymptoot van `f` en teken de grafiek van `f`.
    2. Door middel van welke transformaties kan de grafiek van `f` ontstaan uit die van `y = `^1/3`log(x)`?
    3. Bepaal domein, bereik en asymptoot van `g` en teken de grafiek van `g`.
    4. Door middel van welke transformaties kan de grafiek van `g` ontstaan uit die van `y = `³`log(x)`?
    5. Los op in drie decimalen nauwkeurig: `f(x) = g(x)`.