Stelsels vergelijkingen

Inleiding

Een muziekvoorstelling trekt 300 bezoekers. Een kinderkaartje kostte € 2,50 en een kaartje voor volwassenen kostte € 4,50. In totaal is er voor € 1110,00 aan inkomsten door de kaartverkoop.
Wil je nu weten hoeveel volwassenen en hoeveel kinderen er in de zaal zaten, kun je met twee variabelen werken. Je krijgt dan twee vergelijkingen met twee onbekenden en die kun je op verschillende manieren oplossen.
Over het oplossen van dergelijke stelsels vergelijkingen gaat dit onderdeel.

Je leert nu:

systematisch een stelsel vergelijkingen met twee variabelen oplossen;
gebruik maken van substitutie.

Je kunt al:

werken met variabelen (met 'letters');
eenvoudige algebraïsche technieken zoals terugrekenen, de balansmethode bij vergelijkingen en werken met haakjes.

Verkennen

Bekijk het verhaal van de muziekvoorstelling uit de inleiding.

> Bereken hoeveel kinderen er in de zaal zaten.

Uitleg

Dit probleem kun je bijvoorbeeld aanpakken door twee variabelen in te voeren:

het aantal kinderen in de zaal is x;
het aantal volwassenen in de zaal is y.

Natuurlijk kun je ook letters als k en v nemen, maar het voordeel van deze keuze is dat je meteen weet wat je op de x-as en wat op de y-as uitzet.
Er zijn twee gegevens:

het totaal aantal bezoekers is 300, dus x + y = 300
de totale inkomsten zijn 1110 euro, dus 2,5x + 4,5y = 1110

Je hebt nu een stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden.
En dit wil je oplossen, d.w.z. een combinatie van waarden voor x en y zoeken die aan beide vergelijkingen tegelijk voldoen.

‡

Opgaven

Bekijk het stelsel vergelijkingen in de Uitleg.
1. Schrijf beide vergelijkingen in een zodanige vorm dat ze in de grafische rekenmachine kunnen worden ingevoerd.
2. Kies geschikte vensterinstellingen en bepaal het snijpunt van beide grafieken.
3. Beantwoord nu de gestelde vraag.

Theorie

Bij het oplossen van een stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden zoek je in feite naar de snijpunten van twee bijpassende grafieken.
Die snijpunten kun je vaak vinden door:

door beide vergelijkingen met elkaar te combineren en er zo één vergelijking met één onbekende van te maken;
door beide vergelijkingen zo te herschrijven dat je ze in de grafische rekenmachine kunt invoeren en dan de gevraagde snijpunten door de machine te laten berekenen.

Bij het combineren van beide vergelijkingen maak je gebruik van:

substitutie:
Je drukt bij één van beide vergelijkingen de éne variabele in de andere uit en je vervangt dan in de andere vergelijking die variabele door de gevonden uitdrukking, zie Voorbeeld 1.
de balansmethode:
Je telt dan de linkerzijden en de rechterzijden van beide vergelijkingen bij elkaar. Je zorgt er wel eerst voor dat dan één van beide variabelen wegvalt (door een slimme vermenigvuldiging toe te passen). Zie Voorbeeld 2.

‡

Voorbeeld 1

Antwoord

Noem het aantal kinderen x en het aantal volwassenen y, dan is x + y = 300.
De totale inkomsten zijn 2,5x + 4,5y en dat is samen 1110 euro: 2,5x + 4,5y = 1110.

De vergelijking x + y = 300 kun je schrijven als y = 300 – x.
In de andere vergelijking kun je nu y vervangen door 300 – x.
Dat heet substitutie.
Je krijgt dan: 2,5x + 4,5(300 – x) = 1110.

Deze vergelijking heeft alleen x als onbekende. Hij is dus op te lossen: x = 120.
Er zaten daarom 120 kinderen in de zaal.

‡

Voorbeeld 2

Je kunt het stelsel vergelijkingen van Voorbeeld 1 ook anders oplossen. Je schrijft:

x + y	=	300
2,5x + 4,5y	=	1110

Vermenigvuldig je de bovenste vergelijking met –2,5, en tel je bij beide vergelijkingen de linkerzijden en de rechterzijden op, dan krijg je

–2,5x – 2,5y	=	–750
2,5x + 4,5y	=	1110

2y	=	360

Deze vergelijking heeft alleen y als onbekende. Hij is dus op te lossen: y = 180.
Er zaten daarom 300 – 180 = 120 kinderen in de zaal.

‡

Voorbeeld 3

En je kunt het stelsel van Voorbeeld 1 oplossen met de grafische rekenmachine.

De vergelijking x + y = 300 kun je schrijven als y = 300 – x.
En de vergelijking 2,5x + 4,5y = 1110 kun je schrijven als `y = 5/9 x + 246 2/3`.

Voer je beide vergelijkingen in je grafische rekenmachine in, dan kun je de grafieken bekijken.
Zowel x als y kunnen waarden aannemen vanaf 0 t/m 300, dus de vensterinstellingen liggen voor de hand. De GR kan het snijpunt voor je berekenen: x = 120 en y = 180.

‡

Voorbeeld 4

Welke afmetingen heeft een rechthoekig veld met een oppervlakte van 120 m² en een omtrek van 46 m?

Antwoord

Noem de lengte van de rechthoek l en de breedte b.
Een oppervlakte van 120 m² betekent l · b = 120.
Een omtrek van 46 m betekent 2l + 2b = 46.

Dit stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden is alleen algebraïsch op te lossen d.m.v. substitutie.
Schrijf 2l + 2b = 46 als l = 23 – b en vervang in de andere vergelijking l door deze uitdrukking. Je krijgt: (23 – b) · b = 120.

De vergelijking (23 – b) · b = 120 schrijf je als b² – 23b + 120 = 0.
Door ontbinden in factoren vind je b = 8 V b = 15.

Het grasveld wordt 15 bij 8 m.

‡

Opgaven

Bekijk in Voorbeeld 1 de oplossingsmethode van een stelsel vergelijkingen.
Gegeven is nu het stelsel: `{(2x + y = 6),(x - 3y = -4):}`.
1. Druk in de eerste vergelijking `y` uit in `x`.
2. Vul de gevonden uitdrukking voor `y` in de tweede vergelijking in. Welke vergelijking in `x` ontstaat nu?
3. Los de vergelijking die je bij b hebt gevonden op.
4. Bepaal bij de gevonden waarde voor `x` de bijbehorende waarde voor `y`. Schrijf je oplossing nu volledig op en laat zien hoe je die kunt controleren.
5. Je kunt dit stelsel vergelijkingen ook oplossen door `x` uit te drukken in `y`. Los ook op die manier het stelsel op.

In Voorbeeld 2 zie je hoe je een stelsel vergelijkingen kunt oplossen door bij beide vergelijkingen de linkerzijden en de rechterzijden op te tellen (of af te trekken).
Los het stelsel vergelijkingen uit de voorgaande opgave ook op die manier op.

In Voorbeeld 3 zie je hoe je een stelsel vergelijkingen kunt oplossen met de grafische rekenmachine.
Los het stelsel vergelijkingen uit de voorgaande opgaven ook op die manier op.

Bekijk Voorbeeld 4.
1. Waarom kun je dit stelsel vergelijkingen niet oplossen door bij beide vergelijkingen de linkerzijden en de rechterzijden op te tellen (of af te trekken)?
2. Laat zien hoe je dit stelsel kunt oplossen met behulp van de grafische rekenmachine.

Gegeven is het stelsel vergelijkingen: `{(x + 2y = 6),(2x + 4y = 14)`.
1. Probeer dit stelsel vergelijkingen op te lossen.
2. Welk probleem doet zich voor?
3. Leg uit waarom dit stelsel vergelijkingen geen oplossingen heeft.

Verwerken

Los de volgende stelsels vergelijkingen op:
1. `{(x + y = 6),(2x - 3y = 0):}`
2. `{(2x + 4y = 7),(3x + 5y = 8):}`
3. `{(y = x^2),(x + y = 6):}`
4. `{(4x + 6y = 12),(3x - 4y = 8):}`
5. `{(x * y = 84),(2x + y = 29):}`
6. `{(x^2 + y^2 = 25),(y = 2x):}`

Van een rechthoek is de oppervlakte 200 cm² en de omtrek 90 cm. Noem de lengte `l` en de breedte `b`, beide in cm. Stel twee vergelijkingen op waaraan `l` en `b` moeten voldoen. Bereken de oplossing van dit stelsel.

Op een kaasboerderij wordt van 9,8 kg melk 1 kg volvette kaas gemaakt. 22,5 kg melk verwerken ze daar tot 1 kg boter. Er is 1000 kg melk in voorraad. Er wordt altijd twee keer zoveel boter dan kaas gemaakt.
Hoeveel kg kaas en hoeveel kg boter kan er van de beschikbare hoeveelheid melkworden gemaakt? Los dit probleem op met behulp van een stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden.

Voor een heg koopt iemand jonge groenblijvende planten: 20 thuja's en 12 jeneverbessen. Dat kost hem € 267,=. Na het planten blijven er 2 jeneverbessen over, maar zijn er 5 thuja's tekort. Bij het tuincentrum ruilen ze de twee jeneverbessen voor vijf thuja's, maar er moet € 18,= worden bijbetaald.
Wat kost een thuja en wat kost een jeneverbes?

Testen

Los de volgende stelsels vergelijkingen op.
1. `{(k = 3v = 200),(k + v = 110):}`
2. `{(3a + 4b = 10),(a - 2b = 4):}`
3. `{(2x - y = 5),(3x + 5y = 15):}`
4. `{(p * q = 400),(q = 200 - 0,5p):}`

In een klein theater zijn twee soorten plaatsen: "zaal" en "balkon". Voor een bepaalde voorstelling kost een zaalplaats € 12,50 en een balkonplaats € 15,00. Er worden die avond 82 kaarten verkocht met een totale opbrengst van € 1080,00.
Hoeveel mensen hadden een balkonplaats?