Ongelijkheden

Inleiding

Als wilt weten bij welke windsnelheid een windmolen meer dan bijvoorbeeld 20 kW aan vermogen levert, dan moet je een ongelijkheid oplossen. Hetzelfde geldt als je wilt weten vanaf hoeveel gereden km per jaar een auto op benzine duurder is dan één op diesel. Over het oplossen van ongelijkheden gaat dit onderdeel.

Je leert nu:

• ongelijkheden systematisch oplossen.

Je kunt al:

• het begrip functie en de bijbehorende notaties gebruiken;
• de karakteristieken van een functie bepalen en zo de grafiek goed in beeld krijgen;
• het domein en het bereik van een functie opschrijven.

Verkennen

De huurprijs van een kopieerapparaat bedraagt € 250,00 per maand. Het maken van een kopie kost € 0,06. Op school staat zo’n apparaat speciaal voor gebruik door leerlingen. De leerlingen betalen € 0,10 per kopie.
> Geef een formule voor de prijs per kopie (P) als functie van het aantal kopieën (a).
> Bij welk aantal kopieën per maand verdient de school aan het apparaat?

Uitleg

Je ziet op veel plaatsen windmolens om elektriciteit op te wekken. Het vermogen dat zo’n molen levert hangt af van de wieklengte en van de windsnelheid v.

Het vermogen van een zeker type windmolen wordt gegeven door de formule: P = 0,052v³.
Hierin is P het (gemiddelde) vermogen in kW (kiloWatt), v de (gemiddelde) windsnelheid in m/s en de diameter van de cirkel die de uiterste punt van een wiek maakt bij het draaien is 20 meter.
Stel je wilt weten vanaf welke windsnelheid het vermogen van de windmolen meer dan 20 kW bedraagt. Daarbij hoort de ongelijkheid: 0,052v³ > 20.

Het oplossen van zo’n ongelijkheid gaat prima met je grafische rekenmachine:

• Je voert Y1=0.052X^3 en Y2=20 in en brengt ze goed in beeld.
• Je bepaalt het snijpunt van beide grafieken: (7,27;20).

• Je leest de oplossing van de ongelijkheid uit de figuur af: v > 7,27.

Belangrijk is nog het aantal decimalen waarop je moet afronden. Het gegeven antwoord is op twee decimalen nauwkeurig juist. Moet je echter op één decimaal nauwkeurig afronden, dan is het antwoord: `v < 7,3`.
Want bij 7,3 is het vermogen al meer dan 20 kW.

‡

Opgaven

1. In de Uitleg zie je hoe de ongelijkheid `0,052v^3 > 20` wordt opgelost.
   Daarbij wordt de grafische rekenmachine gebruikt.
   1. Voer deze oplossing zelf uit.
   Bij een algebraïsche aanpak bereken je eerst de oplossingen van de vergelijking `0,052v^3 = 20` met behulp van terugrekenen.
   2. Laat zien dat je dan dezelfde oplossing vindt.
   3. Wat is het voordeel van een algebraïsche aanpak?


2. Gegeven zijn de functies `f` en `g` met `f(x) = 0,01x(x^2 - 400)` en `g(x) = x`.
   Je wilt oplossen `f(x) > g(x)`.
   1. Hoe moet je het venster van je grafische rekenmachine instellen om goede grafieken bij deze ongelijkheid te krijgen? Hoeveel snijpunten hebben beide grafieken?
   2. Los nu de ongelijkheid met de GR op in twee decimalen nauwkeurig.
   Om zeker te weten dat je alle snijpunten van de grafieken hebt gevonden, kun je de bijbehorende vergelijking beter algebraïsch oplossen. Wil je een ongelijkheid algebraïsch oplossen, dan los je de bijbehorende vergelijking algebraïsch op en lees je daarna de oplossing van de ongelijkheid uit de grafieken af.
   3. Los de bij deze ongelijkheid horende vergelijking algebraïsch op.

Theorie

Een uitdrukking zoals f(x) > g(x) of f(x) < g(x), etc., heet een ongelijkheid.
Ongelijkheden los je op met behulp van grafieken.

• Eerst voer je beide functies in de grafische rekenmachine in.
• Vervolgens breng je ze goed in beeld. Alle snijpunten moeten zichtbaar zijn!
• Dan bepaal je de snijpunten.
  Dat kan met de grafische rekenmachine.
  Dat kan vaak ook door de vergelijking
  
  f(x) = g(x)
  
  algebraïsch op te lossen. En soms is dit ook veel handiger, of wordt het gewoon gevraagd.
• Vervolgens lees je de oplossing van de ongelijkheid uit de grafieken af.
  Let daarbij heel goed op de gewenste nauwkeurigheid!

‡

Voorbeeld 1

Los op: `60 - x^2 >= 4x`.

Antwoord

Je bekijkt eerst de grafieken van y₁ = 60 – x² en y₂ = 4x. Bij de meeste waarden van x zijn de functiewaarden verschillend.
Alleen bij de snijpunten zijn de functiewaarden gelijk.

De snijpunten vind je door op te lossen:
60 – x² = 4x.
Je vindt met de GR: x = –10  V  x = 6.

Lees nu uit de figuur af, dat de oplossing van de ongelijkheid is: `-10 <= x <= 6`.

‡

Voorbeeld 2

Een verfhandelaar heeft een mengmachine van € 2000,00.
De inkoopprijs van de verf en het kosten van het mengproces samen komt op € 5,00 per liter. Hij verkoopt zijn verf voor € 7,25 per liter.
Hij maakt winst als de opbrengst TO groter is dan de totale kosten TK. Met voorraadkosten wordt geen rekening gehouden.
Bereken algebraïsch vanaf hoeveel liter verkochte verf hij winst gaat maken.

Antwoord

Er geldt: TK = 2000 + 5q en TO = 7,25q.
Hierin is q de verkochte hoeveelheid verf.

Nu moet: TO > TK, dus 7,25q > 2000 + 5q.
Met de grafische rekenmachine breng je de grafieken van TO en TK goed in beeld. (Het snijpunt moet zichtbaar zijn.) Vervolgens bereken je dit snijpunt algebraïsch: 7,25q = 2000 + 5q geeft 2,25q = 2000 en dus q ≈ 888,9 liter.

De oplossing lees je uit de grafiek af: vanaf 888,9 L verf.

‡

Voorbeeld 3

Los algebraïsch op: x³ < 4x.

Antwoord

Eerst los je de vergelijking x³ = 4x op.
Dat gaat zo:
x³ – 4x = 0
x(x² – 4) = 0
x = 0  V  x² = 4
x = 0  V  x = –2  V  x = 2

Vervolgens maak je grafieken van y₁ = x³ en y₂ = 4x op de grafische rekenmachine. Zorg dat al de gevonden x-waarden in beeld komen.

Tenslotte lees je de oplossing uit de grafiek af: –2 < x < 0  V  x > 2.

‡

Opgaven

3. In Voorbeeld 1 zie je hoe je een ongelijkheid systematisch oplost met de grafische rekenmachine.
   Je gaat nu zelf de ongelijkheid `60 - x^2 < 4x` algebraïsch oplossen.
   1. Los de vergelijking `60 - x^2 = 4x` algebraïsch op.
   2. Schrijf de juiste oplossing van de ongelijkheid op. (Hij bestaat uit twee delen!)


4. In Voorbeeld 2 zie je hoe je een ongelijkheid oplost in een praktische situatie.
   Stel je voor dat je al jaren in een auto op benzine rijdt. De benzineprijs blijft echter maar stijgen en je vraagt je af of je niet beter een gastank kunt laten inbouwen en op gas gaan rijden. Nu zijn je kosten per kilometer ongeveer 12,5 cent aan benzine.
   1. Stel een formule op voor de benzinekosten per jaar (`B` in euro) afhankelijk van het aantal gereden kilometers (`a`).
   2. Een gastank kost (inclusief inbouwen) € 1250,00. Je kosten per kilometer gaan omlaag, want gas kost 80 cent per liter en je rijdt 10 kilometer op 1 liter gas. Je wilt de gastank in één jaar terugverdienen. Stel een formule op voor de kosten in het eerste jaar dat je op gas rijdt (`G`) afhankelijk van het aantal kilometer (`a`).
   3. Je wilt weten hoeveel kilometer je in dat jaar moet rijden om de gastank er weer uit te hebben. Welke ongelijkheid hoort daar bij?
   4. Los deze ongelijkheid algebraïsch op met `a` in km nauwkeurig.


5. Bekijk in Voorbeeld 3 hoe je algebraïsch de ongelijkheid x³ < 4x oplost.
   1. Waarom kun je deze ongelijkheid algebraïsch oplossen?
   2. Welke oplossing heeft de ongelijkheid x³ ≥ 4x
   Bekijk nu de ongelijkheid `x^3 < x^2`.
   3. Los nu zelf deze ongelijkheid algebraïsch op.

Verwerken

6. Los de volgende ongelijkheden algebraïsch op.
   1. `x^3 > x`
   2. `x^3 <= 80x - 2x^2`
   3. `8/(x^2) >= x`
   4. `x^2 - 4x > -3`


7. Je rijdt al een Smart Fortwo voor € 5,00 per dag! Stel je hebt op 1 januari 2006 een Smart gekocht en betaalt die 5 euro per dag. Daarnaast heb je onderhoudskosten: voor 1,5 cent per gereden kilometer kun je daarvoor een abonnement afsluiten waar vrijwel alle onderhoudskosten mee worden afgedekt. Je hebt dan dus alleen nog benzinekosten. Je kunt met 1 liter benzine 15 kilometer rijden en 1 liter benzine kost ongeveer € 1,50.
   1. Hoeveel cent per kilometer ben je kwijt aan benzine en onderhoud samen?
   2. Hoeveel kost je deze Smart per jaar als je er 16000 km/h mee rijdt?
   3. Stel een ongelijkheid op bij de vraag: Hoeveel kilometer per jaar mag je maximaal met deze Smart rijden als je minder dan € 4000,00 kwijt wilt zijn dat jaar? Los daarna die ongelijkheid algebraïsch op.
   4. Eigenlijk geldt het onderhoudsabonnement van 1,5 cent per gereden kilometer pas vanaf 15000 km/jaar. Rijd je minder, dan betaal je alsof je 15000 km/jaar rijdt. Stel het complete functievoorschrift op voor de jaarlijkse kosten `K` als functie van het aantal gereden kilometers.


8. Twee auto’s rijden op de A1, beide met een (ongeveer) constante snelheid. Bestuurder A houdt een snelheid van 110 km/h aan. Bestuurder B rijdt met 120 km/h . Als bestuurder B bij de IJsselbrug bij Deventer komt ligt hij 24 kilometer achter op bestuurder A. Het tijdstip waarop dat gebeurt is `t = 0`. De afstand (in kilometers) tot Deventer wordt voorgesteld door `a(t)`.
   1. Stel bij beide auto’s een lineaire functie voor `a(t)` op.
   2. Bereken na hoeveel minuten auto A door B wordt ingehaald.
   3. Bereken algebraïsch hoe lang hun onderlinge afstand minder dan 4 kilometer is.


9. Gegeven is de functie `f` met `f(x) = (x^2-4)(x^2-9)`.
   1. Los algebraïsch op: `f(x) <= 0`.
   2. Los algebraïsch op: `f(x) < 36`.

Testen

10. Los de volgende ongelijkheden algebraïsch op.
    1. `6-x < x^2`
    2. `1/x>=0,25x`
    3. `(2x-6)^2<16`


11. De afstand Utrecht - Enschedé is voor een fietser 144 kilometer.
    Fietser A gaat met 18 km/h van Utrecht naar Enschedé.
    Fietser B gaat met 24 km/h van Enschedé naar Utrecht.
    Beide fietsers starten tegelijkertijd.
    1. Je wilt weten hoe lang fietser A dichter bij Utrecht is dan fietser B.
       Welke ongelijkheid hoort daar bij als `t` de tijd in uren is?
    2. Los deze ongelijkheid algebraïsch op.
    3. Beantwoord de vraag in minuten nauwkeurig.


12. Gegeven zijn de functies `f(x) = 4 - x^2` en `g(x) = (x - 1)^2`.
    1. Bereken met de grafische rekenmachine de snijpunten van de grafieken van `f` en `g` in twee decimalen nauwkeurig.
    2. Los op: `f(x)≥g(x)`.