Vergelijkingen

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-b > Werken met formules > Vergelijkingen > Inleiding

Ga na wat je nog weet van vergelijkingen en vergelijkingen oplossen.
Bij Verkennen wordt een probleem gesteld. Probeer dit op te lossen.

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-b > Werken met formules > Vergelijkingen > Theorie

Bekijk eerst de Theorie.
Bekijk vervolgens de Voorbeelden, de volgende opgaven gaan daarover.
LET OP: Als er in een opgave staat dat er algebraïsche middelen moeten worden gebruikt, dan is een oplossing met behulp van de grafische rekenmachine niet voldoende. Je herkent dit aan de termen "Bereken algebraïsch ..." of "Bereken exact ...". Antwoorden mogen dan ook niet worden benaderd.

Opgaven

  1. Bekijk Voorbeeld 1.
    Los de volgende vergelijkingen op met de balansmethode.
    1. `3t - 400 = 700`
    2. `3t - 400 = 700 - 2t`
    3. `2300 - 0,15 * p = 1600 + 0,42 * p`

  2. Bekijk Voorbeeld 2.
    Los de volgende vergelijkingen op door terugrekenen.
    1. `3t - 400 = 700`
    2. `(3 * t - 20)^2 = 1600`
    3. `3 * p^3 = 81`

  3. Bekijk Voorbeeld 3.
    Los de volgende vergelijkingen op door ontbinden in factoren.
    1. `0,5x^2 = 4x`
    2. `k^2 + 5k - 6 = 0`
    3. `8p - p^2 = 0`
    4. `x(x - 2) = 3x - 6`
    5. `x^2 = x + 12`
    6. `x^3 = 4x`

  4. Niet alle vergelijkingen kun je met de balansmethode, door terugrekenen of ontbinden in factoren systematisch oplossen. De oplossing vinden door inklemmen werkt daarentegen wel altijd. Je moet dan van tevoren een idee hebben van het zoekgebied, dus van het gebied waarin de oplossing is te vinden. In Voorbeeld 4 kun je nalezen hoe je de inklemmethode gebruikt samen met je grafische rekenmachine.
    Los de volgende vergelijkingen op met de inklemmethode. Geef je oplossingen in drie decimalen nauwkeurig.
    1. `x^3 = 4 - x`.
    2. `600/a = 18 + 0,04a`

  5. Los de volgende vergelijkingen op met de grafische rekenmachine. Geef waar nodig benaderingen in twee decimalen nauwkeurig.
    1. `x^3 + 2x = 16`
    2. `x + sqrt(x) = 10`
    3. `l + 10/l = 10`
    4. `300/(p+4)=20`

  6. Bekijk Voorbeeld 5.
    Los de volgende vergelijkingen zowel algebraïsch als met de grafische rekenmachine op.
    1. `1/(x+3)+1/x=1/2`
    2. `20/(p^2+5)=2`
    3. `10/x+1=5/x`

Verwerken

  1. Los de volgende vergelijkingen algebraïsch op.
    1. `4t + 50 = 200`
    2. `4t^2 + 50 = 200`
    3. `sqrt(x+4)=20`
    4. `(2x - 5)^3 = 125`
    5. `sqrt(a^2+4)-20=0`
    6. `12/v=400`
    7. `2x^2 - 2 = 12x + 30`

  2. Los de volgende vergelijkingen op door inklemmen met behulp van je grafische rekenmachine. Zoek alle oplossingen.
    1. `sqrt(x)=6-x`
    2. `x^4=2+x`

  3. Het Empire State Building is een hoge wolkenkrabber in New York. Stel je voor dat iemand van het 381 m hoge gebouw een steentje laat vallen!
    Onder invloed van de zwaartekracht valt een steen eenparig versneld (de luchtweerstand laat je buiten beschouwing). Natuurkundigen hebben daarvoor een rekenmodel bedacht. Daarin hangen de afgelegde weg `s` (in meter) en de snelheid `v` (in m/s) af van de tijd `t` (in seconde) volgens de formules `s = 4,9t^2` en `v = 9,8t`.
    1. Geef een formule voor de hoogte `h` van het steentje boven de grond als functie van `t`.
    2. Bereken het tijdstip waarop het steentje op de grond komt.
    3. Bereken de snelheid waarmee het steentje op de grond komt. Geef je antwoord zowel in m/s als in km/h.

  4. Bereken bij deze formules de waarde van de éne variabele als de andere 0 is.
    1. `2p - 3q = 650`
    2. `W = -0,25q(0,5q - 100)`
    3. `k^2 + (l + 2)^2 = 100`
    4. `a = 1200/(600+0,2d^2) - 1`
    5. `(x^2 - 4)(y^2 - 9) = -36`
    6. `y^4 + 1 = 4/(1+x^2)`

  5. Een boer wordt door de gemeente gevraagd om een stuk land te voorzien van een boswal van 4 m breedte. Het stuk land is zuiver vierkant. Het grenst aan één kant al aan het bos, zodat er maar aan driekanten een strook af hoeft voor de boswal. "Ik houd zo maar de helft van mijn land over", verzucht de boer.
    Als dat waar is, hoe groot is dan de oppervlakte van het land?
    Los dit probleem op met behulp van een vergelijking.

  6. Sommige kaarsen zijn bijna zuiver cilindervormig. Stel je voor dat je zo’n kaars wilt maken met een lengte van 20 cm. Je neemt een lont met een diameter van 3 mm en dompelt die een aantal keer in een bad met vloeibaar kaarsvet. Elke onderdompeling wordt de diameter van de kaars 1 mm groter. De hoeveelheid kaarsvet `V` in de kaars hangt af van het aantal onderdompelingen `a`.
    1. Geef een formule voor `V` als functie van `a`.
    2. Breng de grafiek van deze functie met je grafische rekenmachine in beeld.
    3. Na hoeveel onderdompelingen is de hoeveelheid kaarsvet in de kaars ongeveer 106 cm3? Lees je antwoord eerst uit de grafiek af en bereken het daarna door de bijbehorende vergelijking algebraïsch op te lossen.

Testen

  1. Los de volgende vergelijkingen algebraïsch op.
    1. `1,25t + 5,50 = 1,85t`
    2. `0,15(p - 2)^2 = 1,35`
    3. `12 - sqrt(4+x^2) = 0`
    4. `3g^2 - 6g = 360`

  2. Los de volgende vergelijkingen op door inklemmen met behulp van je grafische rekenmachine. (Eventuele benaderingen in één decimaal nauwkeurig.)
    1. `0,12q + 600/q = 30`
    2. `4/(sqrt(3+x^2))=1/x`

  3. Los deze vergelijking algebraïsch op: `2/(x+1)+1/x=0`

  4. Voor de totale oppervlakte `A` van een cilindervormig groenteblik met straal `r` en hoogte `h` geldt: `A = 2pi r^2 + 2pi rh`.
    1. Leg uit hoe je deze formule zelf kunt afleiden.
    2. Bereken in cm3 nauwkeurig de oppervlakte van een groenteblik met een diameter van 20 cm en een hoogte van 30 cm.
    3. Een groenteblik met een oppervlakte van 1000 cm2 heeft een hoogte van 20 cm. Bereken de diameter in mm nauwkeurig.
    4. Van een groenteblik met een oppervlakte van 1000 cm2 zijn de hoogte en de diameter even groot. Bereken de diameter in mm nauwkeurig.