Formules en de grafische rekenmachine

Inleiding

De grafische rekenmachine kan heel snel grafieken maken bij formules die een verband tussen twee variabelen weergeven. Maar dan moeten ze wel in de juiste vorm staan: hij kan alleen werken met formules waarbij duidelijk is voor welke variabele getallen worden ingevuld (de invoervariabele) en welke variabele dan moet worden uitgerekend. Ook mogen er natuurlijk niet meerdere uitkomsten mogelijk zijn. Verbanden die aan deze eisen voldoen noem je "functies". Het begrip functie wordt verder in "Functies en grafieken" besproken.

Je leert nu:

formules herschrijven tot ze de juiste vorm hebben voor de grafische rekenmachine;
het begrip "functie" kennen;
grafieken maken met de grafische rekenmachine.

Je kunt al:

werken met variabelen (met 'letters');
eenvoudige algebraïsche technieken zoals terugrekenen, de balansmethode bij vergelijkingen en werken met haakjes.

Verkennen

Als je nog nooit met een grafische rekenmachine hebt gewerkt, doe je nu eerst het practicum "Basistechnieken". Je vindt het bij: Practicum GR.

Theorie

Bij een formule, die het verband tussen de variabelen x en y beschrijft, noem je y een functie van x, wanneer deze formule de vorm y = ... heeft.
In de bijbehorende grafiek komt y dan altijd op de verticale as.

In de formule y = x² + 4 is y een functie van x.

In de formule P = 0,052v³ is P een functie van v.

De formule a + 2b = 6 kun je op twee manieren schrijven:
- a = 6 – 2b, met a als functie van b.
- b = 3 – 0,5a, met b als functie van a.

Formules van de vorm y = ... kun je in de grafische rekenmachine invoeren.

‡

Voorbeeld 1

De formule x + 2y = 12 beschrijft een verband tussen x en y.

Herschrijf de formule zo, dat y is uitgedrukt in x en teken dan met de grafische rekenmachine de bijpassende grafiek.

Antwoord

Dit gaat zo:

x + 2y = 12               _{aan beide zijden x aftrekken}
     2y = 12 – x          _{aan beide zijden delen door 2}
       y = 6 – 0,5x

Je hebt de variabele y geschreven als functie van x. Nu kun je de formule in de grafische rekenmachine invoeren.

‡

Voorbeeld 2

Als je 360 meter afrastering beschikbaar hebt voor een rechthoekig veld met een oppervlakte van 0,5 hectare dan geldt:

l · b = 5000 en 2l + 2b = 360

als je voor de lengte (in m) de variabele l en voor de breedte (in m) de variabele b kiest.

Zoek nu waarden voor l en b die aan beide formules voldoen.

Antwoord

Schrijf de formules als: l = `5000/b` en l = 180 – b.

Voer je ze in de grafische rekenmachine in als Y1=5000/X en Y2=180-X.
Om een goede grafiek te krijgen kies je verstandige grenzen van de waarden van X (de breedte) en Y (de lengte).

Je ziet dat de grafieken twee snijpunten hebben. Om die snijpunten gaat het. Je berekent ze met je grafische rekenmachine.

‡

Voorbeeld 3

Stel je voor dat iemand een rechthoekig stuk land van 200 m² wil omheinen. De kosten voor de omheining moeten zo laag mogelijk worden. Hij moet de lengte en de breedte dus zo kiezen dat de omtrek zo klein mogelijk wordt.

Hoeveel meter omheining is in dit geval nodig?

Antwoord

Er gelden voor zo'n rechthoek twee formules:

A = l · b en P = 2l + 2b

als l de lengte (in m), b de breedte (in m), A de oppervlakte en P de omtrek is.

Omdat A = 200, geldt: l · b = 200 en dus l = `200/b`

Die uitdrukking kun je invullen in de formule voor de omtrek: P = `400/b+2b`

Deze formule geeft een verband tussen P en l waarmee je een grafiek kunt maken. Je voert dan de formule in de grafische rekenmachine in en je kiest verstandige waarden voor de instelling van het grafiekenvenster.
Aan de grafiek kun dan je zien, dat er een waarde van l is, waarbij de omtrek zo klein mogelijk is. Die waarde is ongeveer 14,1 m en de bijbehorende breedte is hetzelfde.
Kennelijk is een ongeveer vierkant landje het gunstigst. Dat zal je niet verwonderen...

‡

Opgaven

Bekijk Voorbeeld 1.
Gegeven zijn de twee formules `2x + y = 6` en `x^2 + 2y = 12`.
1. Herschrijf beide formules tot `y` een functie is van `x`.
2. Voer beide formules in je grafische rekenmachine in.
3. Bepaal met de grafische rekenmachine de snijpunten van beide grafieken.
4. Doe dit ook door de bijpassende vergelijking algebraïsch op te lossen.

Bekijk Voorbeeld 2.
Bepaal met je grafische rekenmachine het snijpunt van de grafieken `x + y = 9` en `y = x^3` in één decimaal nauwkeurig. Schrijf een duidelijke uitwerking op.

Bekijk Voorbeeld 1. Druk in deze formules `y` uit in `x`.
1. `2x - 4y = 10`
2. `x * (y + 2) = 6`
3. `x = 4y^2`
4. `x^2 + y^2 = 25`

Bekijk Voorbeeld 3.
Boer Voortman zet voor zijn paard een weilandje af. Hij heeft daarvoor nog 200 meter gaas. Het weiland wordt zuiver rechthoekig. Omdat het weiland tegen een brede rivier aan komt te liggen hoeft hij alleen de twee breedtes en de lengte van gaas te voorzien.
1. Druk de lengte `l` van het weiland uit in de breedte `b`.
2. Druk de oppervlakte `A` van het weiland uit in `b`.
3. Breng met je grafische rekenmachine de grafiek bij de formule die je in b hebt gevonden in beeld. Bedenk van te voren de beste vensterinstellingen.
4. Voor welke waarden van `b` is de oppervlakte van het weiland zo groot mogelijk?

Voor de inhoud van een cilindervormig blikje geldt:
`V = pi * r^2 * h`
Hierin is `V` de inhoud (het volume), `r` de straal in centimeters en `h` de hoogte in centimeters.
1. Neem een blikje waarvoor `h = 10` cm. Nu is `V` een functie van `r`. Breng de grafiek van deze functie zo in beeld dat je bij `V = 1000` nog kunt aflezen hoe groot `r` is. Bepaal de waarde van `r` in twee decimalen nauwkeurig.
2. Voor een blikje waarvan de diameter en de hoogte gelijk zijn, geldt: `h = 2r`. Schrijf een formule op voor `V` als functie van `r`. Bepaal nu de waarde van `r` van zo’n blikje als de inhoud 0,5 L is.
3. Voor een blikje waarvan de inhoud 1 L is, kun je een formule opstellen voor `h` afhankelijk van `r`. Breng de bijbehorende grafiek in beeld en bepaal de waarde van `h` waarvoor `r = 5` cm.

Verwerken

Breng van de volgende formules de grafieken in beeld. Denk om het gebruik van haakjes en de instellingen van het venster!
1. `s = 250t - 4,9t^2`
2. `k = 0,04 + 200/a`
3. `4 * x * h + 2 * x^2 = 100`
4. `N = 60/(30+0,5d^2)`

Voor de inhoud van een rechte kegel geldt: `V = 1/3Gh`, waarin `G` de oppervlakte van het grondvlak en `h` de hoogte is. Dit grondvlak is een cirkel met straal `r`.
1. Welke formule beschrijft het verband tussen `V`, `r` en `h`?
Voor een kegel met een inhoud van 1 liter kun je uit de formules een verband afleiden tussen `r` en `h`.
1. Geef dat verband in een formule weer zo, dat `r` een functie is van `h`.
2. Bepaal nu de waarde van `h` waarvoor geldt: `r = 10` cm. Benader het antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
3. Bepaal de waarde van `r` waarvoor geldt: `h = 10` cm. Benader het antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

Voor een kopieerapparaat bedraagt de maandelijkse huur € 200,- waarbij nog een bedrag van 4 cent per kopie komt. `K` stelt de totale kosten voor en `a` is het aantal kopieën dat er maandelijks (gemiddeld) wordt gemaakt.
1. Schrijf de formule op voor `K` als functie van `a`.
2. Iemand die een kopie maakt betaalt 10 cent per kopie. Schrijf de formule op voor de inkomsten `I` als functie van `a`.
3. Hoeveel kopieën moeten er per maand worden gemaakt als 10 cent per kopie kostendekkend is?

Stel je voor dat een bedrijf affiches wil maken. Om op te vallen moet de oppervlakte van zo’n affiche 1 m² worden. Het affiche wordt zo bedrukt, dat er aan de beide zijkanten en de bovenkant een witte strook van 10 cm overblijft. Aan de onderkant is die strook 15 cm. De bedrijfsleiding vraagt zich af welke afmetingen het affiche nu nog kan hebben. Ze komen daarbij op de formule: `(l + 25) (b + 20) = 10000`.
1. Laat zien hoe ze aan deze formule komen en wat `l` en `b` betekenen.
2. Breng de grafiek bij deze formule in beeld.
3. Controleer of alle in beeld gebrachte afmetingen ook mogelijk zijn.
4. Bij nader inzien wil de bedrijfsleiding dat het bedrukte deel een vierkant wordt. Welke maat voor de affiches adviseer je nu?

Testen

In een biologisch laboratorium is onderzoek gedaan naar de tijd die bij een bepaalde temperatuur nodig is om 50% van het zaad van een plant te laten ontkiemen. Proefondervindelijk werd dit verband tussen de tijde in dagen en de temperatuur in °C (graden Celsius) gevonden:
`tijd = 89/(T-2)`
Hierin is `T` de temperatuur in °C.
1. Voor welke temperaturen heeft de formule betekenis?
2. Maak een grafiek bij deze formule. Schrijf de instellingen van het beeldscherm op.
3. Bij welke temperatuur duurt het 5 dagen totdat 50% van het zaad is ontkiemd?

Van een vierkant stuk papier van 20 cm bij 20 cm wordt een bakje gemaakt door uit de hoeken een vierkantje weg te knippen. De randen die ontstaan worden naar boven gevouwen. Stel zo’n geknipt vierkantje heeft een zijde van `x` cm.
1. Stel een formule op voor de breedte `b` van het bakje als functie van `x`.
2. Welke waarden kunnen `x` en `b` aannemen?
3. Maak een formule voor de inhoud `I` als functie van `x`.
4. Maak een grafiek van de formule voor `I`. Let op de waarden die `x` kan aannemen en zorg voor een zodanige grafiek dat alle mogelijke waarden van `I` in beeld komen.
5. Bepaal voor welke waarde van `x` de inhoud maximaal is.