Formules herschrijven

Inleiding

Formules kun je vaak op verschillende manieren schrijven.
Zo kun je de omtrek van een rechthoek uitleggen als
"Tel lengte en breedte en lengte en breedte bij elkaar op",
maar ook als
"Neem 2 keer de lengte en 2 keer de breedte en tel dat bij elkaar op".
Dan zeg je verschillende dingen, maar die leveren het toch altijd dezelfde omtrek op. Het zijn gelijkwaardige formules (in woorden). Soms is de éne versie van de formule handiger, soms werk je liever met een andere…

Je leert nu:

• formules herschrijven;
• haakjes uitwerken;
• ontbinden in factoren;
• werken met breuken.

Je kunt al:

• werken met variabelen (met 'letters');
• eenvoudige algebraïsche technieken zoals terugrekenen, de balansmethode bij vergelijkingen en werken met haakjes.

Verkennen

Iemand wil een stuk hei afgrenzen om er schapen te laten grazen met 360 meter gaas.
Het af te grenzen stuk moet rechthoekig worden met een oppervlakte van 0,5 hectare (dus 5000 m²).
De vraag is nu of dat kan en zo ja, wat dan de lengte en de breedte zijn van het af te zetten stuk hei.

Noem de lengte van de rechthoek l en de breedte b.

> Stel bij dit probleem een formule op passend bij de gegeven omtrek en één passend bij de gegeven oppervlakte.
> Schrijf beide formules in de vorm l = ...
> Hoe kun je nu het probleem verder oplossen?

Theorie

Formules zoals 2l + 2b = 60 en b = 30 – l beschrijven hetzelfde verband, ze zijn gelijkwaardig. Je kunt de formule 2l + 2b = 60 herschrijven:

2l + 2b = 60     _{beide zijden delen door 2}
    l + b = 30      _{beide zijden min l}
         b = 30 – l

Nu is b uitgedrukt in l. De nieuwe formule bevat minder tekens en is overzichtelijker.
Bij het herschrijven van formules maak je gebruik van:

• aan beide zijden van een is-gelijk-teken mag je hetzelfde optellen of aftrekken;
  aan beide zijden van een is-gelijk-teken mag je met hetzelfde vermenigvuldigen of delen (behalve vermenigvuldigen of delen met 0);

• haakjes uitwerken: a · (x + y) = a · x + a · y     
  en     (a + b) · (c + d) =  a · c + a · d + b · c + b · d

• ontbinden in factoren: a · x + a · y = a · (x + y)
  en     x² + p · x + q = (x + a) · (x + b)     met a + b = p en a · b = q.

• breuken optellen/aftrekken en vermenigvuldigen/delen:
  `a/b+-c/d=(a*d)/(b*d)+-(b*c)/(b*d)=(a*d+-b*c)/(b*d)` en `a/b*c/d=(a*c)/(b*d)` als `b!=0` en `d!=0`.

‡

Voorbeeld 1

Je wilt de formule 4y² – 2x = 0 herschrijven zo, dat y is uitgedrukt in x.

Laat zien hoe je dat kunt doen.

Antwoord

Dit gaat zo:

4y² – 2x = 0                           _{beide zijden plus 2x}
    4y² = 2x                             _{beide zijden delen door 4}
      y² = 0,5x                          _{terugrekenen (worteltrekken)}
        `y=1/2sqrt(x) vv y=-1/2sqrt(x)`

Je hebt nu de variabele y uitgedrukt in x.
Je ziet dat er twee mogelijkheden zijn: het teken V tussen beide mogelijke formules betekent "of". Het gaat om een verband tussen x en y waarbij de éne formule of de andere formule hoort.

‡

Voorbeeld 2

Voorbeelden van haakjes uitwerken zijn:

• –2 · (x – y) = –2x – –2y = –2x + 2y
• x · (3 – x) = x · 3 – x · x = 3x – x²
• 2 – (x – 5) = 2 – x – –5 = 2 – x + 5 = 7 – x
• (x + 3)(x – 5) = (x + 3)(x + –5) = x · x + x · –5 + 3 · x + 3 · –5 = x² – 2x – 15
• (p – 5)² = (p – 5)(p – 5) = p² – 5p – 5p + 25 = p² – 10x + 25

Let er wel op dat het uitwerken van haakjes geen blind automatische wordt. Soms kun je met een formule juist veel eenvoudiger werken als je de haakjes gewoon laat staan.
Denk ook steeds na of het uitwerken wel is toegestaan.

• Goed: `(x+6)/2=(x+6)//2=x/2+6/2=1/2x+3`
• Fout: `6/(x+2)=6//(x+2)=6/x+6/2=6/x+3`

‡

Voorbeeld 3

Voorbeelden van ontbinden in factoren zijn:

• 2x² + 6xy = 2x · x + 2x · 3y = 2x(x + 3y)

• –x² + 4x = –x · x – –x ·4 = –x(x – 4)

• x² + 5x + 6 = x² + 2x + 3x + 2 · 3 = (x + 2)(x + 3)

• x² – 4x – 12 = (x + 2)(x – 6)

• x³ – 4x = x(x² – 4) = x(x – 2)(x + 2)

‡

Voorbeeld 4

Breuken optellen/aftrekken is gebaseerd op het gelijknamig maken:
`a/b+-c/d=(a*d)/(b*d)+-(b*c)/(b*d)=(a*d+-b*c)/(b*d)`

Hier zie je een paar voorbeelden (ga er van uit dat je nooit door 0 deelt):

• `2/a+5/a=7/a`
• `2/a-5/a=(-3)/a=-3/a`
• `2/a-5/b=(2b)/(ab)-(5a)/(ab)=(2b-5a)/(ab)`
• `2/(3a)+5/(a^2)=(2a)/(3a^2)+(15)/(3a^2)=(2a+15)/(3a^2)`
• `2/x-1/(x+3)=(2(x+3))/(x(x+3))-x/(x(x+3))=(x+6)/(x(x+3))`

‡

Voorbeeld 5

Breuken vermenigvuldigen en delen is gebaseerd op:
`a/b*c/d=(a*c)/(b*d)` en `a/b//c/d=(ad)/(bd)//(bc)/(bd)=ad//bc=(ad)/(bc)`

Hier zie je een paar voorbeelden (ga er van uit dat je nooit door 0 deelt):

• `2/a*5/a=10/(a^2)`
• `2/a//5/a=2/5`
• `2/a//5/b=(2b)/(ab)//(5a)/(ab)=(2b)/(5a)`
• `(2a)/3*5/(a^2)=(10a)/(3a^2)=(10)/(3a)`
• `(2a)/3//5/(a^2)=(2a^3)/(3a^2)//(15)/(3a^2)=(2a^3)/(15)=2/(15)a^3`

‡

Opgaven

1. In een rechthoekige driehoek geldt de stelling van Pythagoras.
   In formulevorm: `a^2 + b^2 = c^2`.
   1. Geef twee gelijkwaardige formules.
   2. Neem `a = 3x` en `b = 4x` en druk `c` uit in `x`.


2. Schrijf de volgende formules zo eenvoudig mogelijk:
   1. `2 * x + 3 * y + 4 * x - 6 * y = 12`
   2. `2 * x * y + x * y = 18`
   3. `A = 2 * pi r^2 + 2 * pi r * (1000)/(pi r^2)`
   4. `y = 5x^6 * (6x^4)/(3x^7)`


3. Bekijk Voorbeeld 1. Druk in deze formules `y` uit in `x`.
   1. `2x - 4y = 10`
   2. `x * (y + 2) = 6`
   3. `x = 4y^2`
   4. `x^2 + y^2 = 25`


4. Bekijk Voorbeeld 2. Werk in de volgende uitdrukkingen de haakjes uit:
   1. `3x * (x - 2y)`
   2. `2a - (9a + 6)`
   3. `0,5p^2 * (100 - p) ) - p * (20p + 100)`
   4. `-5p^3(p^2 - 3p^3)`


5. Werk in de volgende uitdrukkingen de haakjes uit:
   1. `(x + 2) * (x + 4)`
   2. `2(b + 4)(b - 2)`
   3. `(l + 3)(1/l + 6)`
   4. `(5c - 4)^2`


6. Bekijk Voorbeeld 3. Ontbind in factoren:
   1. `2x^2 + 10x`
   2. `x^2 + 5x + 4`
   3. `b^2 - 9b + 8`
   4. `c^3 + 2c^2 + c`
   5. `k^2 - 17k + 16`
   6. `p^3 - p^5`


7. Bestudeer nog eens hoe je breuken optelt en aftrekt. Zie Voorbeeld 4.
   Schrijf als één breuk (neem aan dat je nooit door 0 deelt):
   1. `2/7 + 1/7`
   2. `2/7 + 1/3`
   3. `2/a + 1/a`
   4. `2/a + 1/b`


8. Bestudeer nog eens hoe je breuken vermenigvuldigt en deelt. Zie Voorbeeld 5.
   Schrijf als één breuk (neem aan dat je nooit door 0 deelt):
   1. `2/7 * 1/3`
   2. `2/7 // 1/3`
   3. `2/a * 1/b`
   4. `2/a // 1/b`


9. Nog even door elkaar. Schrijf als één breuk (neem aan dat je nooit door 0 deelt):
   1. `1/x + 2/(y)`
   2. `2/x - 1/(2x)`
   3. `3/(5x) // (2x)/5`
   4. `2/(x) + 1/(x+1)`

Verwerken

10. Schrijf deze formules zo eenvoudig mogelijk:
    1. `4 * x + 10 = 3 * x - 2 * y`
    2. `2 * y + 2 * x * x + 4 * x = 6 * x^2`
    3. `4 * x * h + 2 * x^2 = 100`
    4. `W = p * (650 - 2 * p) - 20 * (650 - 2 * p)`


11. Druk in deze formules `y` uit in `x`. Schrijf ze daarna zo eenvoudig mogelijk.
    1. `x - 2y = 10`
    2. `(x + 2) * y = 6`
    3. `x = 4 - y^2`
    4. `x * y^2 = 4`
    5. `0,5x + 1,5y = 12`
    6. `(x + y)^3 = 8`
    7. `x^2 - y^2 = 25`
    8. `2x^2 + 4xy = 100`


12. Werk de haakjes uit:
    1. `-2x(x^2+6x)`
    2. `-2x-(x^2+6x)`
    3. `(t+20)(t-5)`
    4. `(x^2+1)(3x-2)`
    5. `(a-3)(a+3)`
    6. `(6x - 3)^2`
    7. `(a-1/a)^2`
    8. `(x-2)^3`


13. Ontbind in factoren:
    1. `x^2-4x`
    2. `-2t^2+18t`
    3. `x^2+5x-6`
    4. `12-4p-p^2`
    5. `4k^2-16`
    6. `2p^3-2p^2-24p`
    7. `16-p^2`
    8. `x^2-10x+9`


14. Schrijf als één breuk (neem aan dat je nooit door 0 deelt):
    1. `3/y+5/x`
    2. `3/(x-2)-2/x`
    3. `2/x // 3/y`
    4. `2x-1/(2x)`


15. Een boer heeft een rechthoekig stuk land dat twee keer zo lang is als breed. Uit het oogpunt van landschapsbeheer haalt hij aan beide lange zijden een strook van 3 meter breed af en maakt daar een smalle boswal. Verder maakt hij een bredere boswal van 10 m breed aan één van beide korte zijden. Zijn land wordt daarmee 2690 m² kleiner.
    1. Maak eerst een tekening van de situatie. Noem de oorspronkelijke breedte van het land `x` (in meter). Hoe groot is de oppervlakte van dit land?
    2. Hoe groot is de oppervlakte van het land na de aanleg van de boswal? (Denk om de haakjes!)
    3. Bereken door uitwerken van de haakjes hoe groot de breedte van het rechthoekige stuk land is.

Testen

16. Schrijf deze formules zo, dat `y` is uitgedrukt in `x`.
    1. `x*x+4*y=8*x^2-4*x`
    2. `2x*y=0,4x+200`
    3. `x-4y^2=2`


17. Werk eerst de haakjes uit en ontbind daarna in factoren:
    1. `2(x-2)(x+3)-12`
    2. `(x+3)(x-2)+4x-8`


18. Goed of fout? Verbeter de foute uitwerkingen of ontbindingen. Laat bij de goede uitwerkingen zien waarom ze goed zijn.
    1. `(x+3)^2=x^2+9`
    2. `-x^2-4x+12=-(x-6)(x+2)`
    3. `(8x+100)/(4x^2)=2/x+(25)/(x^2)`
    4. `(8x)/(x^2+3x)=(5x)/(x^2)=5/x`


19. Schrijf als één breuk (neem aan dat je nooit door 0 deelt):
    1. `x/2+2/x`
    2. `3/(4x) // 5/(2x)`
    3. `2/(x)-4/(2x+5)`
    4. `(x+1)/x+1/(2x)`