Formules gebruiken

Inleiding

"De oppervlakte van een rechthoek kun je uitrekenen door de lengte en de breedte met elkaar te vermenigvuldigen." Dat is een zin die je kunt inkorten tot A = l · b als je de oppervlakte van de rechthoek voorstelt door de letter A, de lengte door de letter l en de breedte door de letter b.
Zo'n ingekorte zin heet een formule. Formules zijn overzichtelijker dan lange zinnen, maar je moet wel goed onthouden (of opschrijven) wat al die letters voorstellen. En bij toepassingen moet je ook om de eenheden denken: als lengte en breedte in meter zijn, dan moet oppervlakte in vierkante meter.

Je leert nu:

• verschillende soorten formules herkennen;
• bij een formule die het verband tussen twee variabelen beschrijft grafieken tekenen;
• werken met grootheden en eenheden.

Je kunt al:

• werken met variabelen (met 'letters');
• tabellen maken en grafieken tekenen.

Verkennen

Iemand wil een stuk hei afgrenzen om er schapen te laten grazen met 360 meter gaas.
Het af te grenzen stuk moet rechthoekig worden met een oppervlakte van 0,5 hectare (dus 5000 m²).
De vraag is nu of dat kan en zo ja, wat dan de lengte en de breedte zijn van het af te zetten stuk hei.
> Om welke variabelen gaat het in dit probleem?
> Stel bij dit probleem één of meer passende formules op.
> Los het verder op, bijvoorbeeld met behulp van tabellen of grafieken.

Theorie

Een formule is een zin waarin variabelen voorkomen. Vaak beschrijven formules een verband tussen die variabelen, maar niet altijd.
Formules hebben meestal de vorm van een vergelijking, dus een zin met een is-gelijk-teken.
Als een formule een verband beschrijft tussen twee variabelen, kun je er een grafiek bij tekenen. Je maakt dan eerst een tabel. Vervolgens zet je de gevonden punten in een assenstelsel.

In de praktijk beschrijven formules vaak het verband tussen grootheden. Die grootheden worden voorgesteld door een variabele waarin de letter past bij de gebruikte grootheid.
Bij zo'n grootheid hoort weer een afgesproken eenheid waarin hij kan worden gemeten.

• De formule A = z² is een vergelijking die een verband tussen de variabelen A en z vastlegt. Je kunt er een tabel en een grafiek bij tekenen.
• De formule 2t + 40 = 300 geeft informatie over de onbekende t. Deze vergelijking heeft als oplossing t = 130, want 2 × 130 + 40 = 300.
• De formule (x + 3)² = x² + 6x + 9 is een rekenregel en geldt dus voor elke waarde van x.

Voorbeeld 1

Als een formule een verband tussen twee variabelen beschrijft, kun je vaak een grafiek tekenen.
Stel je voor dat iemand 30 m² graszoden heeft gekocht. Daarmee kun je verschillende rechthoekige grasveldjes leggen. Tussen lengte en breedte (in m) van deze veldjes bestaat dan dit verband:

lengte · breedte = 30

Bij deze formule kun je een tabel maken en een grafiek tekenen. Je begint met een tabel en een "leeg" assenstelsel.

Als lengte = 1 dan is 1 · breedte = 30.
En dus is dan breedte = 30.

Dit komt in de tabel.
In het assenstelsel komt het punt (1, 30).

Als lengte = 2 dan is 2 · breedte = 30.
En dus is dan breedte = 30/2 = 15.

Dit komt in de tabel.
In het assenstelsel komt het punt (2, 15).

En zo vul je de tabel verder in.
De bijbehorende punten komen in het assenstelsel.

Tenslotte teken je een (kromme) lijn door de getekende punten.

Voorbeeld 2

Gooi je een steen met een beginsnelheid van 24.1 m/s, dan wordt de snelheid van de steen (zolang hij niet op de grond is gekomen) gegeven door:

v = 24.1 – 9.8t

waarin t de tijd in seconden voorstelt. Hier zie je de bijbehorende grafiek.

Je wilt weten op welk tijdstip de steen op zijn hoogste punt is. Hoe lees je dat uit deze grafiek af?

Antwoord

Zolang de steen omhoog gaat is v positief; zodra de steen daalt, is v negatief.

Je kunt uit de grafiek aflezen op welk tijdstip de snelheid van de steen 0 is. Op dat moment is de steen op zijn hoogste punt.
Dat is ongeveer na 2,5 s.

Kun je dit antwoord ook nauwkeurig berekenen?

Voorbeeld 3

Een formule zoals (x + 4)² = x² + 8x + 16 is een rekenregel.
Een formule zoals (x + 4)² = x² + 16 is een vergelijking die je op kunt lossen.

Verklaar het verschil.

Antwoord

De bovenste formule geldt voor elke waarde van x.
Dit kun je laten zien door aan de linkerkant van het is-gelijk-teken de haakjes uit te werken:

(x + 4)² = (x + 4)(x + 4) = x · x + 4 · x + 4 · x + 4 · 4 = x² + 8x + 16

Bij de tweede formule kun je ditzelfde doen, maar dan komt er:

x² + 8x + 16 = x² + 16

En dit geldt alleen als 8x = 0 en dus als x = 0.

De eerste (bovenste) formule klopt voor elke waarde van x, de tweede alleen als x = 0.

‡

Opgaven

1. Gebruik de formule: oppervlakte(rechthoek) = lengte × breedte.
   1. Stel dat gegeven is: lengte = 6 m. Vul dit in de formule in. Geef de formule die hierdoor ontstaat.
   2. Stel je voor dat: oppervlakte = 12 m². Schrijf op hoe de formule dan wordt.
   3. Van een rechthoek is bekend dat het een vierkant is. Schrijf de formule op die voor deze rechthoek het verband tussen oppervlakte en lengte beschrijft.
   4. De volgende grafieken horen bij de formules uit a, uit b of c. Schrijf bij elke grafiek de juiste formule, zet de juiste variabelen bij de assen en maak er een goede schaalverdeling bij.
   
           
   


2. Voor een abonnement voor mobiele telefonie betaal je € 24,= per maand en nog eens 8 eurocent per belminuut. De totale kosten per maand hangen dus af van het aantal belminuten per maand.
   Die totale kosten kun je omrekenen naar kosten per belminuut.
   1. Leg uit, dat er voor de kosten `K` per belminuut geldt: `K=0,08+(24)/a`
      waarin `a` het aantal belminuten in een maand voorstelt.
   2. Teken een grafiek bij deze formule. Neem aan dat `0 < a <= 240`. Bekijk eventueel Voorbeeld 1.
   3. Bij hoeveel belminuten betaal je 12 eurocent per minuut?


3. Iemand gooit vanaf zijn balkon een tennisbal omhoog met een beginsnelheid van 5 m/s. In Voorbeeld 2 staat beschreven hoe bij een omhoog geworpen steen de snelheid van de tijd afhangt. De bal komt na 2 seconden op de begane grond.
   1. Pas de gegeven formule aan voor de gegevens van de tennisbal. Welke formule krijg je nu?
   2. Teken een grafiek bij deze formule.
   3. In de grafiek is de snelheid soms positief, soms negatief. Hoe komt dat?
   4. Na hoeveel seconden is de bal op zijn hoogste punt? (Geef je antwoord in duizendsten nauwkeurig.)
   5. Met welke snelheid komt de bal op de grond? (Geef je antwoord in km per uur.)


4. Bekijk Voorbeeld 3. Welke van de volgende formules stelt een verband tussen twee variabelen voor? Teken in dat geval de grafiek.
   1. inhoud = `3r^2`
   2. inhoud = `l * b * h`
   3. `4(a - b) = 4a - 4b`
   4. lengte = 200 – breedte
   5. `2p + 25 = 14 - 0,5p`
   6. `x * y = 12`


5. Welke van de formules uit opgave 4 stelt een rekenregel voor?

Verwerken

6. Voor de inhoud van een cilindervormig blikje geldt: `V = pi * r^2 * h`.
   Hierin is `V` de inhoud (het volume), `r` de straal in centimeter en `h` de hoogte in centimeter.
   1. In welke eenheid moet `V` worden uitgedrukt?
   2. Hoeveel bedraagt de inhoud van een blikje met een diameter van 80 millimeter en een hoogte van 16 centimeter?
   3. Welke formule geeft het verband tussen `V` en `r` voor blikjes met een hoogte van 16 centimeter?
   4. Teken een grafiek bij de formule die je in c hebt gevonden.
   5. Van andere blikjes ligt de inhoud vast: `V = 1` L. Welk verband is er nu tussen `r` en `h`? Teken er een grafiek van.


7. Welke van deze formules beschrijft een verband tussen twee variabelen? Teken er dan een grafiek bij.
   1. `(2 + x) * y = 2y + xy`
   2. inhoud(kubus) = `r^3`
   3. `s = 400 - 5t^2`
   4. `a^2 + b^2 = c^2`


8. Voor het gebruik van elektriciteit betaal je een vast bedrag per jaar en een bedrag per kWh (kiloWattuur) verbruik. De totale jaarlijkse kosten hangen daarom af van het aantal kWh dat er wordt verbruikt. Die totale kosten kun je omrekenen naar kosten per kWh. Er geldt de formule:
   `K=0,12+(32)/a`
   Hierin is `a` het aantal verbruikte kWh en `K` de kosten per kWh (in euro’s).
   1. Hoeveel bedraagt het vaste bedrag per jaar?
   2. Teken een grafiek van `K` afhankelijk van `a`. Waarom moet `K` op de verticale as komen?
   3. Voor welke waarde van `a` bedragen de kosten per kWh 16 eurocent?


9. Een elektrische weerstand wordt aangesloten op een spanning van 200 Volt. Met behulp van een ampèremeter kun je de stroomsterkte meten. Voor deze situatie geldt de wet van Ohm: `U = I * R` waarin `U` de spanning in V (volt), `I` de stroomsterkte in A (ampère) en `R` de weerstand in ? (ohm).
   1. Bij een spanning van 200 volt beschrijft de wet van Ohm het verband tussen `I` en `R`. Welke formule hoort daar bij? En welke eenheden horen bij deze formule?
   2. Teken een grafiek bij deze formule.
   3. Welke stroomsterkte wordt er gemeten als `R = 15` Ω?

Testen

10. Welke van de volgende formules stellen een verband tussen twee variabelen voor? Maak er een bijpassende grafiek bij.
    1. `a + b = 8`
    2. `(p + 5)^2 = p^2 + 10p + 25`
    3. `4x^2 - 25 = 135`
    4. `R = 50p - 2p^2`


11. De Quetelet-index (`QI`) is een maat voor je gezondheid.
    Je berekent de `QI` met de formule: `QI=G/(l^2)`.
    Hierin is `l` je lengte in meters en `G` je gewicht in kilogram.
    Een `QI` van tussen de 20 en de 25 betekent een gezond gewicht.
    1. Bereken de `QI` van iemand die 180 centimeter lang is en 78 kilogram weegt.
    2. Bij een `QI` van 20 kun je een grafiek maken van iemands gewicht afhankelijk van zijn lengte. Teken die grafiek.
    3. Teken in hetzelfde assenstelsel de grafiek `QI = 25`.
    4. Stel je een persoon voor van 180 centimeter lengte. Geef in je figuur aan welke gewichten voor deze persoon gezond zijn. Zet de ondergrens en de bovengrens er in de grafiek bij, in kilogram nauwkeurig.

Probleemaanpak

www.math4all.nl > Probleemaanpak

Opgave

12. Wellicht is het je niet gelukt om het probleem bij Verkennen volledig op te lossen. Bestudeer dan de pagina’s op de website over Probleemaanpak en probeer het opnieuw.