Schaalvergroting

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-b > Oppervlakte en inhoud > Schaalvergroting > Inleiding

Bij Verkennen wordt het beroemde probleem uit de Oudheid van de "verdubbeling van de kubus" aangesneden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-b > Oppervlakte en inhoud > Schaalvergroting > Uitleg

Lees eerst de Uitleg goed door.

Opgaven

1. Van een bepaald lichaam zijn alle afmetingen bekend. Je maakt precies net zo'n lichaam, maar met alle afmetingen 2 keer zo groot.
   1. Hoeveel keer zo groot wordt de oppervlakte van het lichaam?
   2. Hoeveel keer zo groot wordt de inhoud van het lichaam?


2. Van een bepaald lichaam is de inhoud bekend. Je maakt precies net zo'n lichaam, maar met een twee keer zo grote inhoud.
   1. Hoeveel keer zo groot worden de afmetingen van het lichaam?
   2. Hoeveel keer zo groot wordt de oppervlakte van het lichaam?


3. Van een bepaald lichaam is de oppervlakte bekend. Je maakt precies net zo'n lichaam, maar met een twee keer zo grote oppervlakte.
   1. Hoeveel keer zo groot worden de afmetingen van het lichaam?
   2. Hoeveel keer zo groot wordt de inhoud van het lichaam?

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-b > Oppervlakte en inhoud > Schaalvergroting > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven word je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

4. Bekijk in de Theorie het verband tussen lengtevergrotingsfactor, oppervlaktevergrotingsfactor en inhoudvergrotingsfactor. Een voetbal heeft een diameter van 22 cm en een tennisbal van 6,5 cm.
   1. Wat is de lengtevergrotingsfactor van de voetbal ten opzichte van de tennisbal?
   2. Hoeveel keer zo groot is de oppervlakte van de voetbal?
   3. Hoeveel keer zo groot is de inhoud van de voetbal?


5. In Voorbeeld 1 zie je een schaalmodel van een Smart ForTwo.
   1. Hoeveel is de vergrotingsfactor van het schaalmodel ten opzichte van de werkelijke auto?
   2. Het stuur van een Smart is cirkelvormig met een diameter van 40 cm. Hoe groot is de diameter van het stuurwiel van het schaalmodel?
   3. Hoeveel keer zo groot is de oppervlakte van de carosserie van de auto ten opzichte van het schaalmodel?
   4. Als de inhoud van het schaalmodel ongeveer 0,35 liter is, hoeveel bedraagt dan in de inhoud van een Smart?


6. Hier zie je een aantal champagneflessen. De bouteille is een normale wijnfles van 0,75 liter. Neem aan dat al deze flessen gelijkvormig zijn. Bekijk eventueel eerst Voorbeeld 2.
   
   
   
   
   1. Hoeveel keer zo hoog is een Magnum champagne in vergelijking met een Fillette?
   2. Voor een Magnum champagne wordt even dik glas gebruikt als voor een Bouteille. Hoeveel keer zoveel glas is er voor nodig?
   3. Een Bouteille champagne heeft een hoogte van 36 cm. Hoe hoog is een Melchior campagne?


7. Dit glas heeft de vorm van een omgekeerde kegel op een voet. De hoogte van deze kegel is (gerekend aan de binnenkant van het glas) 10 cm.
   Hoe hoog staat de vloeistofspiegel onder de bovenrand als het glas half vol is?
   

Verwerken

8. Een kunstenaar maakt van een groot bronzen beeld eerst een model op schaal 1:20. Het schaalmodel heeft een oppervlakte van 1400 cm² en een inhoud van 3000 cm³.
   Bereken de oppervlakte en de inhoud van het bronzen beeld.
   


9. Je kunt een bepaalde soort verf kopen in blikken van 1 liter en in blikken van 5 liter. Deze blikken zijn gelijkvormig.
   1. Hoeveel keer zo hoog is het 5 liter blik dan het 1 liter blik?
   2. Als beide blikken worden gemaakt uit een even dikke metaalplaat, hoeveel keer zoveel metaal is er dan voor het 5 liter blik nodig? En hoe zit dat als het metaal ook in dezelfde verhouding dikker wordt?


10. Jonathan Swift bedacht in zijn boek "Gulliver's travels" het volk uit Lilliput. De bewoners van Lilliput zijn verkleiningen van echte mensen met een factor 10. Ga eens uit van een Lilliputter die een perfecte verkleining van jouzelf is.
    1. Hoe lang is die Lilliputter?
    2. Hoeveel weegt die Lilliputter?
    3. Hoeveel keer minder huidoppervlakte heeft die Lilliputter in vergelijking met jouzelf?
    4. De voedselbehoefte van zoogdieren in ongeveer recht evenredig met de huidoppervlakte omdat dit vooral nodig is om de lichaamstemperatuur op peil te houden en het temperatuurverlies vooral afhangt van de huidoppervlakte. Schat hoeveel gram voedsel jij per dag zelf nodig hebt en bereken hoeveel dat voor de Lilliputter zou moeten zijn.
    5. Hoeveel procent van je eigen lichaamsgewicht moet jij dagelijks eten? En de Lilliputter?
    6. Waarom geldt voor zoogdieren dat de benodigde hoeveelheid voedsel recht evenredig is met het kwadraat van de lengte?
    7. Leg uit dat voor zoogdieren de benodigde hoeveelheid voedsel per kg lichaamsgewicht recht evenredig is met `l^(2/3)`, waarin `l` de lichaamslengte is.


11. In een kubusvormige bak `ABCD.EFGH` met ribben van 6 cm staat een massieve kegel op het grondvlak `ABCD`. Deze kegel raakt alle ribben van het grondvlak en de top `T` zit recht boven het midden van het grondvlak. De bak is van boven open en de kegel steekt zo ver boven de kubus uit, dat nog `3/4` deel zich binnen de kubus bevindt.
    Hoe hoog is deze kegel?
    

Testen

12. Baboesjka's zijn poppetjes die in elkaar passen. Je ziet hier een set van vijf baboesjka's, nummer ze van klein naar groot I, II, III, IV en V. Ga er van uit de de vier kleinste baboesjka's gelijkvormig zijn.
    1. Waaraan zie je dat de grootste baboesjka (nr.V) niet gelijkvormig is met de kleinste (nr.I)?
    2. Baboesjka nr.III is precies twee keer zo hoog als nr.I. Hoeveel keer zo groot is het volume van nr.III?
    3. Baboesjka nr.IV heeft een twee keer zo grote inhoud als baboesjka nr.III. Hoeveel keer zo hoog is baboesjka nr.IV?


13. De spoorlijn van Arnhem naar Leeuwarden was in september 1868 geheel klaar. De lengte van deze spoorlijn in 166 km. Op een kaart is deze spoorlijn 8,3 cm lang. Wat is de schaal van die kaart?
    


14. Een ringslang met een lengte van 1 m heeft een gewicht van 240 gram en een huidoppervlakte van 483 cm². Een boa constrictor is een slang die veel groter is. Een bepaalde boa weegt 51,84 kg. Beide soorten slangen hebben dezelfde verhoudingen.
    Hoe groot is de huidoppervlakte van deze boa constrictor?
    


15. Een regelmatige vierzijdige piramide `T.ABCD` heeft een grondvlak van 6 cm bij 6 cm en een hoogte van 8 cm. Door vlak `EFGH` dat evenwijdig aan het grondvlak van de piramide loopt, wordt hij verdeeld in twee delen met dezelfde inhoud.
    Hoeveel bedraagt de hoogte van de afgeknotte piramide `ABCD.EFGH`?