Oppervlakte van ruimtelijke figuren

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-b > Oppervlakte en inhoud > Oppervlakte van ruimtelijke figuren > Inleiding

Bij Verkennen wordt de oppervlakte van een cilinder en die van een bol bekeken. Probeer eerst zelf de juiste formules te vinden, bij de Uitleg vind je het antwoord.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-b > Oppervlakte en inhoud > Oppervlakte van ruimtelijke figuren > Uitleg

Lees eerst de Uitleg goed door.

Opgaven

  1. Bekijk de oppervlakteformules in de Uitleg.
    1. Bereken de oppervlakte van een cilinder met een straal van 10 cm en een hoogte van 20 cm. (Reken behalve de cilindermantel ook het grondvlak een het bovenvlak mee).
    2. Stel een formule op voor de oppervlakte van een cilinder als ook grondvlak en bovenvlak meetellen.
    3. In de cilinder bij a past precies een bol. Bereken de oppervlakte van die bol.

  2. Onze Aarde is bij ruwe benadering een bol met een omtrek van 40.000 km.
    Hoe groot is de oppervlakte van de Aarde?

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-b > Oppervlakte en inhoud > Oppervlakte van ruimtelijke figuren > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven word je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

  1. In de Theorie kun je lezen dat de oppervlakte van een ruimtelijke figuur, van een lichaam, gelijk is aan de som van de oppervlakten van de grensvlakken van die figuur.
    1. Bereken de oppervlakte van een kubus met ribben van 6 cm.
    2. Bereken de oppervlakte van een regelmatige vierzijdige piramide met ribben van 6 cm.
    3. Bereken de oppervlakte van een regelmatig viervlak met ribben van 6 cm.
    4. Bereken de oppervlakte van een regelmatig driezijdig prisma met ribben van 6 cm.

  2. Bekijk Voorbeeld 1. In dat voorbeeld wordt een formule afgeleid voor de oppervlakte van een kegelmantel.
    1. Bereken met behulp van die formule de oppervlakte van een kegel met een straal van 5 cm en een hoogte van 8 cm. (Reken het grondvlak mee.)
    2. De gegeven formule kun je ook schrijven als opp(kegelmantel)`= pi rR`, waarin `r = AM` (de straal van de grondcirkel) en `R = AT` (de straal van de grotere cirkel waar de kegelmantel een sector van is). Licht dit toe.
    3. Bereken de oppervlakte van een kegel met een straal van 5 cm en een hoogte van 8 cm met deze tweede formule.
    4. Bereken de tophoek van deze kegel in graden nauwkeurig. Bereken ook de sectorhoek van de kegelmantel.

  3. Bereken de oppervlakte van de afgeknotte regelmatige vierzijdige piramide hiernaast. Zie indien nodig Voorbeeld 2.

  4. In Voorbeeld 3 wordt de oppervlakte van figuur berekend die is samengesteld uit een afgeknotte kegel en een halve bol. Heel vaak is een lichaam op te vatten als een samenstelling van (delen van) andere lichamen.
    Een surprise zit in een cilinder met een diameter van 10 cm en een hoogte van 20 cm met daarop een kegelvormige punt met een hoogte van 5 cm. Bereken de totale buitenoppervlakte van de verpakking.

Verwerken

  1. Bereken de oppervlakte van de volgende figuren.




  2. Je ziet hier een zogenaamd schilddak, een dakvorm met een rechthoekig grondvlak `ABCD` en waarbij de nok `EF` van het dak precies boven het midden van het grondvlak zit. Het dak zelf bestaat uit twee gelijkzijdige driehoeken en twee symmetrische trapezia. Bereken de oppervlakte van dit schilddak.




  3. Een piramide `T.ABCDE` heeft als grondvlak een regelmatige vijfhoek `ABCDE`. De hoogte van de piramide is `TS`, waarin punt `S` het middelpunt is van de cirkel waar de hoekpunten van het grondvlak op liggen. Alle ribben van deze piramide zijn 4 cm.
    Bereken de oppervlakte van deze piramide.

  4. Hieronder zie je het zijaanzicht van een zuiver cirkelvormige tent.
    Bereken de oppervlakte van deze tent, dus de hoeveelheid tentdoek die je er voor nodig hebt.




  5. Arabische dansende derwisjen dragen vaak een zogenaamde kegelrok. Dat is een wijd uitlopende rok die - als de stof stijf zou zijn - de vorm heeft van een afgeknotte kegel. Hiernaast zie je het patroon (de uitslag) van zo'n kegelrok.
    Bereken hoeveel cm2 stof er voor deze rok nodig is.




  6. De figuur hiernaast is een regelmatig achthoekig antiprisma. Je vindt dergelijke figuren en bouwplaten ervan op de website korthalsaltes.com.
    Alle ribben van dit antiprisma zijn 5 cm.
    Bereken de oppervlakte van dit antiprisma.

  7. De welbekende vijftig bolwoningen met hun opvallende architectuur staan in ’s-Hertogenbosch. De bolwoning is ontworpen door de beeldhouwer, ontwerper en architect Dries Kreijkamp geboren in 1937 te Tegelen. Ze zijn gebouwd in 1984, met het doel om de bewoners te laten verbinden met de natuur, mede door de diverse ronde ramen die in de woningen aanwezig zijn. Tevens zijn de woningen milieuvriendelijk, door de bolvorm heeft de wind er bijna geen greep op en daarnaast zijn ze zo ontworpen dat ze energiezuinig en goedkoop zijn. Het zijn huurwoningen voor 1 of 2 personen.
    Welke oppervlakte hebben deze bolwoningen als de diameter van de bol zelf 8 meter en die van de cilinder 6 meter is, terwijl de hoogte van de cilinder 3 meter is? Maak hierbij gebruik van de formule voor de oppervlakte van een bolsegment met hoogte `h` van een bol met straal `r`. De oppervlakte van zo'n bolsegment is `2pi rh`.



Testen

  1. Bereken de oppervlakte van de volgende lichamen die precies passen in een kubus met ribben van 6 cm.




  2. De Constanzina schemerlamp is meer bedoeld als een sfeerbrenger dan als een optimale werkplek verlichter. Dat neemt niet weg dat deze lamp het kantoor een sfeervol aanzien geeft of het nu met de witte kap is of met een mengeling van kleuren. Deze lamp heeft een kapje in de vorm van een afgeknotte kegel. De hoogte van die kegel is 20 cm, de bovencirkel heeft een diameter van 15 cm en de ondercirkel een diameter van 30 cm.
    Hoe groot is de oppervlakte van het materiaal van het kapje?

  3. De Waura indianen wonen in het Amazonegebied in Brazilië. Hun dorpen bestaan uit een aantal grote huizen. Hieronder zie je zo'n huis. Je kunt het wiskundig beschrijven als een halve cilinder waarop aan weerszijden een kwart bol zit. Neem aan dat dit huis zo'n 6 m hoog is en dat de halve cilinder een lengte heeft van 8 m. Bereken dan de oppervlakte ervan.