Oppervlakte van vlakke figuren

Antwoorden bij de opgaven

1. 1. -
   2. -
   3. `Delta ADC` is een halve rechthoek met oppervlakte `1/2 * p * h`.
      `Delta BDC` is een halve rechthoek met oppervlakte `1/2 * q * h`.
      De oppervlakte van `Delta ABC` is `1/2 * p * h + 1/2 * q * h = 1/2 * (p + q) * h = 1/2 * b * h`.
   4. -
   5. `Delta DBC` is een halve rechthoek met oppervlakte `1/2 * (p + b) * h`.
      `Delta DAC` is een halve rechthoek met oppervlakte `1/2 * p * h`.
      De oppervlakte van `Delta ABC` is `1/2 * (p + b) * h - 1/2 * p * h = 1/2 * b * h`.
2. De oppervlakte van een cirkel kun je benaderen door de oppervlakte van een regelmatige `n`-hoek waarvan de hoekpunten op de cirkel liggen. Die benadering wordt steeds beter als `n` groter wordt.
   Die regelmatige `n`-hoek bestaat uit `n` gelijkbenige driehoeken met basis `b ~~ (2 pi r)/n` en hoogte `h ~~ r`. (Ook dat klopt steeds beter als `n` groter wordt.)
   De oppervlakte van de cirkel is de oppervlakte van `n` van die driehoeken, dus `n * 1/2 * b * h ~~ n * (2 pi r)/n * r = pi r^2`.
3. Opp(I) `= 1/2 * 4 * 13 sin(40^o) ~~ 16,71`
   Opp(II) `= 3 * 13 sin(50^o) ~~ 29,88`
   Opp(III) `= 1/2 * 4 * 5 - 1/4 * pi * 2^2 ~~ 6,86`
   Opp(IV) `= 1/2 * pi * ((sqrt(18))/2)^2 - (1/4 * pi * 3^2 - 1/2 * 3 * 3) ~~ 0,26`
   Opp(V) `= 1/2 * pi * 3^2 - pi * 1,5^2 ~~ 7,07`
4. 1. De oppervlakte is `0,5 * 0,5 * 2 + 1,5 * 2 + 0,5 * 1 * 2 = 4,5` cm².
   2. Trek bijvoorbeeld diagonaal `AC`, er ontstaan dan de twee driehoeken `ACD` en `ABC`.
      De oppervlakte is dan `0,5 * 1,5 * 2 + 0,5 * 3 * 2 = 4,5` cm².
   3. Nu wordt de oppervlakte `0,5 * (3 + 1,5) * 2 = 4,5` cm².
5. 1. `6 * 0,5 * 5 * (2,5)/(tan(30^o)) = 37,5 sqrt(3) ~~ 64,95`
   2. `5 * 0,5 * 5 * (2,5)/(tan(36^o)) ~~ 43,01`
   3. `20 * 5 sin(9^o) * 5 cos(9^o) ~~ 77,25`
   4. Ongeveer `pi * 5^2 - 77,25 ~~ 1,29`.
6. 1. De oppervlakte van de cirkelsector is `60/360 * pi * 2^2 ~~ 2,09`.
   2. De oppervlakte van de cirkelsector is `75/360 * pi * 1,5^2 ~~ 1,47`.
   3. -
7. De halve sectorhoek `alpha` bereken je uit `sin(alpha) = 2/3`. Dit geeft `alpha ~~ 41,8^o`.
   De oppervlakte van het segment is `(83,6)/360 * pi * 3^2 - 0,5 * 4 * sqrt(3^2 - 2^2) ~~ 2,10`.
8. 1. `2 * 0,5 * 6 * 2 = 12`
   2. De hoogte van de twee driehoeken `ACD` en `ABC` waarin je de vlieger verdeeld verandert daardoor niet, zelfs niet als dit snijpunt op het verlengde van `AC` ligt.
   3. De oppervlakte van een vlieger met diagonalen met lengtes `p` en `q` is `1/2 * p * q`.
9. Opp(I) `= 1/2 * 6 * 7 sin(20^o) ~~ 7,18`
   Opp(II) `= 1/2 * (7 + 3) * 7 sin(50^o) ~~ 26,81`
   Figuur III is het verschil van een gelijkbenige driehoek met zijden van 13, 13 en `2 * 13 sin(15^o) ~~ 6,73` en een gelijkbenige driehoek met zijden van 5, 5 en `sqrt(5^2 - (13 sin(15^o))^2) ~~ 3,70`. Opp(III) `= 1/2 * 26 sin(15^o) * 13 cos(15^o) - 1/2 * 26 sin(15^o) * sqrt(5^2 - (13 sin(15^o))^2) ~~ 29,81`
   Opp(IV) `= 2 * (1/4 pi * 3^2 - 1/2 * 3 * 3) ~~ 5,14`
   Opp(V) `= 1/4 pi * 6^2 - 2 * 1/2 pi * 3^2 + 2 * (1/4 pi * 3^2 - 1/2 * 3 * 3) ~~ 5,14`
10. `pi * 5^2 - 8 * 1/2 * 5 sin(22,5^o) * 5 cos(22,5^o) ~~ 43,18`
11. `3 * 1/6 pi * 30^2 + 3 * 3 sin(30^o) * 3 cos(30^o) ~~ 1425,41` cm².
12. 1. Dit is het geval als de oppervlakte van het trapezium dat de voorkant van de bak vormt in twee gelijke delen wordt verdeeld. Dat trapezium heeft een oppervlakte van `1/2 * (40 + 50) * 30 = 1350` cm².
       Als de hoogte van de onderste helft `h` is, is met gelijkvormigheid aan te tonen dat de langste van de twee evenwijdige zijden van dit trapezium gelijk is aan `40 + 1/3h`. De oppervlakte van dit onderste trapezium is de helft van de oppervlakte van het hele trapezium, dus `1/2 * (40 + 40 + 1/3h) * h = 675`.
       Dit geeft `80h + 1/3h^2 = 1350` ofwel: `h^2 + 240h - 4050 = 0`.
       Hieruit vind je `h = (-240 + sqrt(73800))/2 ~~ 15,83` cm.
    2. De oppervlakte van de waterspiegel is ongeveer `(40 + 1/3 * 15,83) * 200 ~~ 9055` cm².
13. Opp(I) `= 1/2 * 6 * 10 sin(40^o) ~~ 19,28`
    Opp(II) `= 1/2 * 3 * 3 + 1/2 * sqrt(18) * 1/2 sqrt(18) * tan(65^o) ~~ 14,15`
    Opp(III) `= 1/2 * (9 + 2) * 6 sin(30^o) = 16,5`
    Opp(IV) `= 1/2 * pi * 3^2 - 5 * 1/2 * pi * 1^2 = 2pi ~~ 6,28`
14. Dit zijn twee even grote cirkelsegmenten tegen elkaar.
    Elk van die cirkelsegmenten is een cirkelsector met een sectorhoek van `alpha` waarvoor geldt: `sin(1/2 alpha) = (1,25)/3`.
    De sectorhoek is daarom `alpha ~~ 49,25^o` en de oppervlakte van de sector is ongeveer `(49,25)/360 * pi * 3^2 ~~ 3,87`.
    De oppervlakte van een segment is `3,87 - 0,5 * 2,5 * sqrt(3^2 - 1,25^2) ~~ 0,46`.
    De gevraagde oppervlakte is ongeveer `0,92`.