Totaalbeeld

Samenvatten

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-b > Differentieerregels > Totaalbeeld > Samenvatten


Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp "Differentieerregels". Een eigen samenvatting maken is nuttig.

Begrippenlijst:

31: somregel — constante-regel — machtsregel voor gehele positieve n
32: samengestelde functie (kettingfunctie) — kettingregel
33: productfunctie — productregel
34: gebroken functie — quotiëntregel
35: afgeleiden van sinusfunctie en cosinusfunctie

Activiteitenlijst:

31: differentiëren met de basisregels
32: differentiëren met de kettingregel en de algemene machtsregel
33: differentiëren met de productregelregel
34: differentiëren met de quotiëntregel
35: sinusoïden en andere functies waarin sin en/of cos voorkomen differentiëren
36: toepassingen van differentiaalrekening

Achtergronden

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-b > Differentieerregels > Totaalbeeld > Achtergronden

Testen

Opgaven

  1. Differentieer de volgende functies.
    1. `f(x) = sqrt(x^2 + 1)`
    2. `f(x) = 4x sqrt(x^2 + 1)`
    3. `f(x) = (4x)/(x^2 + 1)`
    4. `f(x) = (x^2 + 1)/(4x)`
    5. `f(x) = (4x)/sqrt(x^2 + 1)`
    6. `f(x) = 4x sin(x^2 + 1)`

  2. Gegeven zijn de functies `f_(p)(x) = px(6 - 2x)^3`.
    1. Toon aan dat `f_(p)'(x) = p(6 - 8x)(6 - 2x)^2`.
    2. Voor elke waarde van `p` met `p != 0` heeft zo'n functie precies één uiterste waarde. Toon dat aan en druk die uiterste waarde uit in `p`.

  3. Gegeven is de functie `f(x)=(15x)/(x^2 + 36)`.
    1. Bereken algebraïsch de extremen van `f`.
    2. Toon aan dat `f(-x) = - f(x)` en leg uit welke meetkundige betekenis dit heeft voor de grafiek van `f`.
    3. De raaklijn aan de grafiek van `f` in het punt met `x`-coördinaat 3 snijdt de `y`-as in punt `A`. Stel een vergelijking van die raaklijn op en bereken de coördinaten van `A`.
    4. Er zijn twee getallen `a` en `b` waarvoor geldt: `a * b = 36`. Bewijs dat `f(a) = f(b)`.

  4. Je ziet hier de grafiek van de functie `f(x) = -x + root3(x)`.
    1. Bereken met behulp van differentiëren de extremen van `f` in twee decimalen nauwkeurig.
    2. De raaklijn aan de grafiek van `f` voor `x = 1` snijdt de `y`-as in punt `A`. Bereken de coördinaten van `A`.

  5. Gegeven is de functie `f(x) = 2sin^2(x) + 2cos(x)` op `[0,2pi]`.
    1. Bereken exact de uiterste waarden die `f` op dit interval aanneemt.
    2. De lijn `y = p` heeft vier punten met de grafiek van `f` gemeen. Bereken `p`.

  6. In een gelijkbenige rechthoekige driehoek `ABC` is `AB` de basis; `AB = 16` cm. In deze driehoek wordt rechthoek `PQRS` beschreven, zie figuur.
    Bereken de maximale oppervlakte die deze rechthoek kan hebben.




  7. Zwemmer in nood

    Een zwemmer is in nood voor de kust van Bergen. De tekening geeft een beeld van de situatie. De zwemmer in nood bevindt zich bij punt B in zee. Een lid van de reddingsbrigade ziet de zwemmer in nood en wil in actie komen. Zij bevindt zich in punt A. Ze wil natuurlijk via de snelste weg naar de drenkeling toe. Maar wat is de snelste weg?
    Een deel van de weg moet ze rennend afleggen en een deel zwemmend. Ze rent met een gemiddelde snelheid van 6 m/s en ze zwemt met een gemiddelde snelheid van 1,5 m/s. Hoe kan ze het snelst hulp bieden? Noem het punt waar ze in het water stapt `K`.
    Punt `K` kan overal langs de aangegeven 100 m-lijn liggen. De tijd die ze nodig heeft om in B te komen moet natuurlijk zo klein mogelijk zijn. Noem de totale tijd `t`, de gemiddelde snelheid over het strand `v_s` en de gemiddelde snelheid in zee `v_z`.
    1. Druk `t` uit in `AK`, `KB`, `v_s` en `v_z`.
    2. Formuleer een verband tussen `t` en `x`.
    3. Bepaal met behulp van differentiëren de minimale tijd die ze nodig heeft om de zwemmer te bereiken.
    4. Bepaal de kortste weg.

Toepassen

  1. File

    Als in een min of meer constante stroom auto's met ongeveer dezelfde snelheid wordt geremd, kan er een file ontstaan. Lees hierover meer bij

    www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-b > Differentieerregels > Totaalbeeld > Achtergronden

    Stel je nu voor dat door werkzaamheden een rijstrook op de snelweg is afgesloten. Bij het invoegen van auto's naar één rijstrook moet vaak onhandig worden gemanoevreerd, zodat het verkeer moet afremmen of zelfs stil moet staan. Dit is het moment dat een file ontstaat. Zo'n file is niet nodig als iedereen tijdig de juiste doorstroomsnelheid kiest. Daarbij gaat het erom dat zoveel mogelijk auto's per tijdseenheid de wegversmalling passeren. Neem aan dat alle auto's 4 m lang zijn en hun onderlinge afstand precies de remweg `R` (in meter) is. Deze remweg hangt af van de snelheid `v` (in km/h).
    Er geldt bij benadering: `R = 3/4 * (v/10)^2`.
    De verkeersdienst zet een teller halverwege de wegversmalling die meet hoeveel auto's er per minuut passeren. Stel nu een formule op voor het aantal auto's dat per minuut de teller passeert. Bereken met behulp van differentiëren bij welke snelheid zoveel mogelijk auto's de teller passeren.

  2. Spiegel

    Dit is een beroemd probleem uit de Griekse Oudheid. Het stamt uit de Catoptrica van Heroon.

    Een lichtstraal loopt van punt naar punt doordat hij van het oppervlak van een vlakke spiegel wordt teruggekaatst. Aangenomen dat het licht altijd de kortste route neemt, waar raakt het dan de spiegel?

    Bekijk

    www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-b > Differentieerregels > Totaalbeeld > Achtergronden

    `P` is het punt waar het licht wordt weerkaatst. De afmetingen zijn verder in de figuur te vinden. De lengte van de lichtstraal (`L`) is gelijk aan de som van de lengtes van `AP` en `PB`. De positie van `P` is bekend als `x` is berekend.
    1. Stel zelf een formule op voor `L` als functie van `x`.
    2. Neem `a = 2` dm, `b = 1` dm en `c = 5` dm. Bereken met behulp van differentiëren `x` als `L` zo klein mogelijk is in twee decimalen nauwkeurig.
    3. Laat ook zien hoe je dit probleem meetkundig kunt oplossen.

Examenopgaven

  1. Wortelfuncties

    Gegeven is de functie

    `f(x) = 1 + sqrt(10x - x^2)`

    De grafiek van `f` heeft de eindpunten `A` en `B`. Zie figuur.
    1. Los op: `f(x)>= x`. Rond niet-gehele grenswaarden af op één decimaal.
    2. Bereken met behulp van differentiëren de helling van de grafiek van `f` in het punt `P(2, 5)`.
    Voor elke waarde van `a`, met `a > 0`, is gegeven de functie `h(x) = 1 + sqrt(ax - x^2)`.
    Als `a = 10` ontstaat de functie `f`.
    1. Het domein van `h` hangt af van `a`. Onderzoek voor welke waarde van `a` het domein van `h` het interval `[0, 100]` is.
    2. Als je voor enkele waarden van `a` de grafiek van `h` tekent, blijkt dat de toppen van deze grafieken op een rechte lijn liggen. Geef een vergelijking van deze lijn. Licht je antwoord toe.

    (bron: examen wiskunde B havo 2000, eerste tijdvak, opgave 5)


  2. Kelderluik

    Een grote kelder kan worden afgesloten met een rechthoekig luik. De lengte `AB` van het luik is `5` meter. Het luik sluit het keldergat precies af. In de figuur is een model van de situatie in een zijaanzicht getekend. De uiteinden van het luik (`A` en `B`) lopen over rails `CD` en `EC`. Bij het openen en sluiten wordt `A` aangedreven door een elektromotor, die `A` een constante snelheid geeft van `0,1` meter per seconde. We gaan er bij de volgende vragen steeds van uit dat deze snelheid onmiddellijk bij het openen en sluiten van het luik optreedt.
    1. Het luik wordt vanuit geheel geopende stand (`A` valt dan samen met `C` en `B` valt dan samen met `E`) gesloten. Bereken, zonder gebruik te maken van onderstaande formule, hoeveel het punt `B` is gezakt `20` seconden nadat het sluiten begonnen is. Geef je antwoord in gehele centimeters nauwkeurig.
    `t` is de tijd (in seconden) die verstreken is nadat het sluiten van het luik begonnen is. De afstand `d` (in meters) die het punt `B` dan afgelegd heeft, is afhankelijk van `t`. Het verband tussen `t` en `d` wordt voor elk tijdstip `t` met `0 <= t <= 50` gegeven door:

    `d = 5 - sqrt(25 - 0,01t^2)`

    1. Toon aan dat deze formule juist is.
    2. Bij het sluiten van het luik is de snelheid `v` (in meter per seconde) van het punt `B` op tijdstip `t` gelijk aan de helling van de grafiek van `d` in het bijbehorende punt. Bereken met behulp van differentiëren op welk tijdstip deze snelheid gelijk is aan `0,05` meter per seconde. Geef je antwoord in gehele seconden nauwkeurig.

    (bron: examen wiskunde B havo 2000, tweede tijdvak, opgave 4, aangepast)


  3. Warmtebalans

    De temperatuur van een gekoeld pakje of blikje frisdrank stijgt op een zonnig strand snel. Dit heeft verschillende oorzaken. We beperken ons in deze opgave tot de oppervlakte en het volume van de verpakking. Als een verpakking bij dezelfde inhoud een grotere oppervlakte heeft, zal de frisdrank erin sneller opwarmen. Hiervoor is de warmte-uitwisselingsfactor `F` van belang.
    Er geldt: `F = A/V` waarbij `A` de totale oppervlakte van de verpakking is in cm2 en `V` het volume in cm3.
    We bekijken een balkvormige en een cilindervormige verpakking van frisdrank. In de figuur zijn tevens de afmetingen in cm aangegeven.
    Voor de oppervlakte `A` van de cilinder geldt `A = 2pi r^2 + 2pi rh`, waarbij `h` de hoogte is en `r` de straal van het grondvlak.



    1. In beide verpakkingen gaat vrijwel dezelfde hoeveelheid frisdrank. De warmte-uitwisselingsfactor `F` is verschillend. Onderzoek welke verpakking de kleinste `F`-waarde heeft.
    Voor een groot koffiezetapparaat moet een cilindervormige tank worden ontworpen met een inhoud van 8 liter (1 liter = 1000 cm3). Noem de straal van het grondvlak van deze tank `r` en de hoogte van deze tank `h` (`r` en `h` in cm).
    De hoogte `h` van de tank kun je uitdrukken in de straal `r`. Er geldt `h = 8000/(pi r^2)`. Een eis die men aan het ontwerp van het koffiezetapparaat stelt, is dat de hoogte `h` tussen 20 cm en 40 cm ligt.
    1. Bereken welke waarden voor de straal `r` dan zijn toegestaan. Rond de getallen in je antwoord af op één decimaal.
    In plaats van grenzen aan de hoogte te stellen zou men ook de volgende eis kunnen stellen:
    "De afmetingen van de tank moeten zodanig zijn dat de koffie er zo lang mogelijk warm in blijft. Dat wordt bereikt als de warmte-uitwisselingsfactor F van de tank zo klein mogelijk is." Voor de warmte-uitwisselingsfactor van een cilindervormige tank met een inhoud van 8 liter heeft men de formule `F = 2/r + (pi r^2)/(4000)` gevonden.
    1. Bereken met behulp van differentiëren de straal van een tank die aan deze eis voldoet. Rond de getallen in je antwoord af op één decimaal.

    (bron: examen wiskunde B havo 2006, tweede tijdvak, opgave 5)