Totaalbeeld

Antwoorden bij de opgaven

    1. `f'(x) = x/(sqrt(x^2 + 1))`
    2. `f'(x) = 4 sqrt(x^2 + 1) + (4x^2)/(sqrt(x^2 + 1))`
    3. `f'(x) = (-4x^2 + 4)/((x^2 + 1)^2)`
    4. `f'(x) = 1/4 - 1/(4x^2)`
    5. `f'(x) = 4/((x^2 + 1)sqrt(x^2 + 1))`
    6. `f'(x) = 4 sin(x^2 + 1) + 8x^2 cos(x^2 + 1)`
    1. -
    2. `f_(p)'(x) = 0` geeft `x = 0,75 vv x = 3`.
      In `x = 3` wisselt de afgeleide (vanwege het kwadraat) niet van teken. Daar is dus geen uiterste waarde. In `x = 0,75` wisselt de afgeleide wel van teken, dus daar zit het enige extreem.
    1. `f'(x) = (-15x^2 + 540)/((x^2 + 36)^2) = 0` geeft `x = +-6`.
      Met behulp van een tekenschema van `f'` of de grafiek van f vind je: min.`f(-6) = -1,25` en max.`f(6) = 1,25`.
    2. `f(-x )= (-15x)/((-x)^2 + 36) = (-15x)/(x^2 + 36) = -(x)`, dus de grafiek is symmetrisch ten opzichte van de oorsprong `O`.
    3. `f(3) = 1` en `f'(3) = 0,2`, dus de raaklijn heeft de vergelijking `y = 0,2x + 0,4` en `A = (0;0,4)`.
    4. `b = 36/a` invullen in `f(b)` en laten zien dat daar dan `f(a)` uit komt.
    1. `f'(x) = -1 + 1/(3 root[3](x^2)) = 0` geeft `x = +-sqrt(1/27)`.
      Je vindt min.`f(-0,19) ~~ -0,38` en max.`f(0,19) ~~ 0,38`.
    2. `f'(1) = - 2/3` en `f(1) = 0`, dus de raaklijn is `y = - 2/3 x + 2/3`.
      Dus is `A(0,2/3)`.
    1. `f'(x) = 4sin(x)cos(x) - 2 sin(x) = 0` geeft `sin(x) = 0 vv cos(x) = 0,5` en dus `x = 0 vv x = pi vv x = 2pi vv x = 1/3 pi vv x = 1 2/3 pi`.
      De extremen zijn: min.`f(0) = f(2pi) = 2`, min.`f(pi) = -2` en max.`f(1/3 pi) = f(1 2/3 pi) = 2,5`
    2. Zie grafiek: `2 <= p < 2,5`.
  6. Stel `AP = x`, dan is ook `PS = x` (gelijkbenige rechthoekige driehoeken!).
    De oppervlakte van rechthoek `PQRS` is dan `A(x) = x(16 - 2x) = 16x - 2x^2`.
    `A'(x) = 16 - 4x = 0` geeft `x = 4`.
    De oppervlakte van de rechthoek `PQRS` is maximaal als hij een vierkant is van 4 bij 4 cm.
    1. `t = (AK)/(v_s) + (KB)/(v_z)`
    2. `t(x) = (sqrt(x^2 + 50^2))/6 + (sqrt((100 - x)^2 + 20^2))/(1,5)`
    3. `t'(x) = (x)/(6 sqrt(x^2 + 2500)) + (-200 + 2x)/(3 sqrt(10400 - 200x + x^2)) = 0`.
      Deze vergelijking is alleen met de grafische rekenmachine op te lossen: `x ~~ 95,6` m.
      De bijbehorende minimale tijd is ongeveer 31,6 seconden.
    4. Met het voorgaande antwoord bereken je de afstanden `AK` en `BK`. `AK ~~ 107,89` m en `BK ~~ 20,48` m. De totale afstand is dus ongeveer `128,37` m.
  8. Eerst alle eenheden gelijk maken: als `v` in m/s, dan is `R = 3/4 * ((3,6v)/(10))^2 = 0,0972v^2`.
    Noem het aantal auto's per minuut `A`.
    Bij elke auto hoort een totale lengte van `4 + R = 4 + 0,0972v^2` m.
    Daarvoor is een tijd nodig van `t = (4 + 0,972v^2)/v` s.
    Per minuut kunnen er dus `A(v) = (3600v)/(4 + 0,972v^2)` auto's doorstromen.
    `A(v)` wil je maximaliseren. `A'(v) = (14400 - 349,92v^2)/((4 + 0,0972v^2)^2) = 0` geeft `v ~~ 6,415` m/s.
    De optimale doorstroomsnelheid is dan ongeveer 23 km/h.
    1. Zie website.
    2. `L(x) = sqrt(4 + x^2) + sqrt(26 - 10x + x^2)` en `L'(x) = x/(sqrt(4 + x^2)) + (-5 + x)/(sqrt(26 - 10x + x^2))`.
      `L'(x) = 0` geeft na kwadrateren `x^2(26 - 10x + x^2) = (4 + x^2)(x^2 - 10x + 25)` en dan `3x^2 - 40x + 100 = 0`. Dit levert op `x = (40 +- sqrt(400))/6` en dus `x = 10 vv x 3 1/3`.
      `L` is mnimaal als `x = 3 1/3` dm.
    3. Gebruik de gelijkvormigheid.
    1. `f(x) = x` geeft `x ~~ 5,9`.
      Het antwoord is: `0 <= x <= 5,9`.
    2. `f'(x) = (10 - 2x)/(2 sqrt(10x - x^2))` geeft `f'(2) = 3/4`.
    3. In de randpunten van het domein geldt: `ax – x^2 = 0`. Dus `100a – 10000 = 0` en dit geeft `a = 100`.
    4. `ax – x^2` is maximaal als `a – 2x = 0`. De `x`-co๖rdinaat van de top is `a` en `h(a) = 1 + a`.
      Dus alle toppen liggen op de lijn `y = x + 1`.
    1. `AC = 20 * 0,1 = 2` meter en `BC = sqrt(5^2 – 2^2)`.
      `EB = 5 – sqrt(21) ~~ 0,42` meter.
    2. `AC = 0,1t` en `BC = sqrt(5^2 – (0,1t)^2)`.
      `d(t) = 5 – sqrt(25 – 0,01t^2)`.
    3. `v(t) = (0,01t)/(sqrt(25 – 0,01t^2)) = 0,05` geeft `sqrt(25 - 0,01t^2) = 0,2t` en dus `t^2 = 500` en `t ~~ 22`.
    1. De inhoud in de verpakking is gelijk, dus hangt de `F`-waarde alleen af van de waarde van `A`; naarmate `A` kleiner is, is de `F`-waarde kleiner.
      De oppervlakte van de balkvormige verpakking is `A = 2(7,5 * 4 + 7,5 * 10 + 4 * 10) = 290` (cm2).
      De oppervlakte van de cilindervormige verpakking is `A = 2pi * 3^2 + 2pi * 3 * 10,6 ~~ 256` (cm2).
      De `F`-waarde is het kleinst voor de cilindervormige verpakking.
    2. `h > 20` en `h < 40`, dus `8000/(pi r^2) > 20` en `8000/(pi r^2) < 40`.
      `8000/(pi r^2) = 20` en `8000/(pi r^2) = 40` oplossen geeft respectievelijk `r ~~ 11,28` en `r ~~ 7,98`.
      `r` ligt tussen `8,0` en `11,3`.
    3. `F'(r) = (-2)/(r^2) + (pi)/(2000) r = 0` geeft `r^3 = (4000)/(pi)` en dus `r ~~ 10,8` cm.