De quotiëntregel

Antwoorden bij de opgaven

    1. -
    2. De helling is `1` als `x = k * 2pi` en `-1` als `x = pi + k * 2pi`.
    3. In de toppen, dus als `x = 1/2 pi + k * pi`.
    4. Voer voor een benadering van de afgeleide van Y1 = SIN(X) in Y2 = (Y1(X+0.001)-Y1(X))/0.001
    1. -
    2. De helling is `1` als `x = - 1/2 pi + k * 2pi` en `-1` als `x = 1/2 pi + k * 2pi`.
    3. In de toppen, dus als `x = k * pi`.
    4. Voer voor een benadering van de afgeleide van Y1 = COS(X) in Y2 = (Y1(X+0.001)-Y1(X))/0.001
    1. `f'(x) = cos(x)`
    2. `f'(x) = cos(x + 2) * 1 = cos(x + 2)`
    3. `f'(x) = 2 cos(x)`
    4. `f'(x) = cos(2x) * 2 = 2 cos(2x)`
    1. `f'(x) = 4 cos(2x) * 2 = 8 cos(2x)`
    2. `f'(x) = 10 cos(0,5x - 2,5) * 0,5 = 5 cos(0,5x - 2,5)`
    3. `f'(x) = 15 sin((pi)/6 x + (pi)/6) * (pi)/6 = 15/6 pi sin((pi)/6 x + (pi)/6)`
    4. `f'(x) = 8 cos((2pi)/(15)t) * (2pi)/(15) = 16/15 pi cos((2pi)/(15)t)`
    1. `f'(x) = 6 cos((pi)/6 x - (2pi)/6) * (pi)/6 = pi cos((pi)/6 x - (2pi)/6)`
    2. `f'(4) = 1/2 pi` en `f(4) = 20 + 3 sqrt(3)` dus de raaklijn wordt `y = 1/2 pi x + 20 - 2pi + 3 sqrt(3)`.
    3. Van functie `f` is de periode `p = 12` en de horizontale verschuiving `b = 2`.
      De bedoelde hellingswaarde is maximaal als de grafiek stijgend door de evenwichtsstand gaat, dus bij `x = 11 + k * 12`.
    1. Periode: `p = 60/40 = 1,5`.
      Amplitude: `A = (3,15 - 3,05)/2 = 0,05`.
      Evenwichtsstand: `E = (3,15 + 3,05)/2 = 3,10`.
      Maximaal volume op `t = 0`, dus cos-functie gebruiken. (Je mag natuurlijk ook een sin-functie gebruiken, maar dan moet je rekening houden met een horizontale verschuiving.)
    2. `L(1) = 3,075`
    3. `L'(t) = -0,05 sin((2pi)/(1,5)t) * (2pi)/(1,5)` en dus is `L'(1) ~~ 0,18` L/s. Het gaat dan om inademen.
    4. Als de grafiek van `L` stijgend door de evenwichtsstand gaat, dus als `t = 1,125 + k * 1,5`.
    1. `f'(x) = 2 cos(x) - 2 sin(2x)`
    2. `f'(x) = 2 sin(x) * cos(x) = 2sin(x)cos(x)`
    3. `f'(x) = 2 cos(x) * -sin(x) - 3 sin(x) = -2sin(x)cos(x) - 3 sin(x)`
    4. `f'(x) = 2 cos(3x) * -sin(3x) * 3 = -6sin(3x)cos(3x)`
    5. `f'(x) = (cos(x) * cos(x) - sin(x) * -sin(x))/(cos^2(x)) = (cos^2(x) + sin^2(x))/(cos^2(x)) = 1/(cos^2(x))`
    1. `f(x) = sin^2(x) + sin(x)` en `f'(x) = 2sin(x)cos(x) + cos(x) = cos(x)(2 sin(x) + 1) = 0` geeft `sin(x) = -0,5 vv cos(x) = 0` en dus `x = 1 1/6 pi vv x = 1 5/6 pi vv x = 1/2 pi vv x = 1 1/2pi`.
      Je vindt (grafiek): max.`f(1/2 pi) = 2`, max.`f(1 1/2 pi) = 0` en min.`f(1 1/6 pi) = f(1 5/6 pi) = -0,25`.
    2. `f'(x) = 2sin(x)cos(x) - p cos(x)` geeft `f'(1/2 pi) = 0` wn `f'(1 1/2 pi) = 0`.
    3. `f(1/2 pi) = 1 - p` en `f(1 1/2 pi) = 1 + p` en nu moet `1 - p = 2(1 + p)`.
      Dit kan alleen als `p = -1`.
    1. `f'(x) = 6 cos(2x)`
    2. `g'(x) = 4/3 pi sin((2pi)/(30)(x - 5))`
    3. `H'(t) = 880pi sin(440pi t)cos(440pi t)`
    4. `y'(x) = 1/2 (16 + sin^2(x))^(- 1/2) * 2 sin(x)cos(x) = (sin(x)cos(x))/(sqrt(16 + sin^2(x)))`
    5. `A'(r) = -1(sin(2r))^(-2) * cos(2r) * 2 = (-2 cos(2r))/(sin^2(2r))`
    6. `W'(p) = 2 cos(p) * cos(2p) + 2 sin(p) * -sin(2p) * 2 = 2cos(p)cos(2p) - 4sin(p)sin(2p)`
    1. Tsja, wat is hier algebraïsch?
      Werken met de periode (`pi`), de horizontale verschuiving (`0`), de amplitude (`3`) en de evenwichtslijn (`y = 1`) van een standaardsinusoïde geeft max.`f(0) = f(pi) = f(2pi) = 4` en min.`f(1/2 pi) = f(1 1/2 pi) = -2`. Maar je kunt natuurlijk ook differentiëren. Ga na dat je dan hetzelfde krijgt.
    2. `f(x) = 2,5` geeft `cos(2x) = 0,5` en dus `x = 1/6 pi + k * pi vv x = -1/6 pi + k * pi`.
      Op het gegeven domein is `f(x) < 2,5` als `1/6 pi < x < 5/6 pi vv 1 1/6 pi < x < 1 5/6 pi`.
    3. `f'(x) = -6sin(2x)`.
      De hellingswaarden zijn `f'(1/6 pi) = f'(1 1/6 pi) = -3sqrt(3)` en `f'(5/6 pi) = f'(1 5/6 pi) = 3 sqrt(3)`.
    1. `H(0) ~~ 1,06` m.
    2. `H'(t) = -(4pi)/(12,25) sin((2pi)/(12,25)(t - 3)) = 0` als `t = 3 vv t = 9,125 vv t = 15,25 vv t = 21,375`.
      Het is hoogwater om 3:00 uur en om 15:15 uur.
      Je kunt ook rekenen met periode en horizontale verschuiving.
    3. `H'(4) ~~ -0,50` m/uur. Dat is de snelheid waarmee het water (in dit geval) daalt.
    4. Als `H'` maximaal of minimaal is, dus als de grafiek van `H` door de evenwichtsstand gaat.
      Dat is als `t = 6,0625 vv t = 12,1875 vv t = 18,3125`.
      Je vindt daarom ongeveer de tijdstippen 6:04 uur, 12:11 uur en 18:19 uur.
    1. `f'(x) = 0,5 + cos(x) = 0` geeft `cos(x) = -0,5` en dus `x = 2/3 pi vv x = 1 2/3 pi`.
      Met behulp van de grafiek vind je: min.`f(1 2/3 pi) = 5/6 pi - 1/2 sqrt(3)` en max.`f(2/3 pi) = 1/3 pi + 1/2 sqrt(3)`.
    2. `f'(0) = 1,5`, de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek in `O` is `y = 1,5x`.
    3. Het kleinste hellingsgetal zit bij `x = pi` en `f'(pi) = -0,5`.
  13. `f'(x) = 2x cos(x^2) = 0` als `x = 0 vv x^2 = 0,5pi + k * pi`, dus als `x = 0 vv x = +-sqrt(0,5pi + k * pi)`.
    Loop nu de waarden van `k` af en kijk of de bijbehorende `x`-waarden tussen `2pi ~~ 6,28` en `3pi ~~ 9,42` liggen.
    Dat is zo voor `k = 13, 14, ..., 27`. Er zijn dus 15 extremen op dit interval.
    1. `V(t) = 325 sin(100pi t)`
    2. `P(t) = c * (V(t))^2 = c * 105625 sin^2(100pi t) = sin^2(100pi t)` als `c = 1/(105625)`.
    3. `P'(t) = 2sin(100pi t)cos(100pi t) = 0` geeft `100pi t = k * 0,5pi` en dus `t = k * 0,005`.
      Je vindt max.`f(0,005 + k * 0,01) = 1` en min.`f(k * 0,01) = 0`.
    4. Bijvoorbeeld `P(t) = 0,5 - 0,5 cos(100pi t)`.
    1. `f'(x) = -6 cos(3x)`
    2. `u'(t) = 330pi cos(220pi(t - 1))`
    3. `g'(x) = 2x cos(x) - x^2 sin(x)`
    4. `y'(t) = -2,5pi sin(0,5pi t - pi) + 0,15`
    1. `f'(x) = -2sin(x)cos(x) + sin(x) = sin(x)(-2 cos(x) + 1) = 0` als `sin(x) = 0 vv cos(x) = 0,5`.
      Dit geeft max.`f(-2pi) = f(0) = f(2pi) = 0`, max.`f(-pi) = f(pi) = 2` en min.`f(-1 2/3 pi) = f(-1/3 pi) = f(1/3 pi) = f(1 2/3 pi) = -1/2`.
    2. `f(1/2 pi) = 0` en `f'(1/2 pi) = 1`, dus de raaklijn wordt `y = x`.
    1. Vroegste `t ~~ 4,33` uur; laatste `t ~~ 8,83` uur. Amplitude `A = 2,25` uur en evenwichtslijn `Z ~~ 6,58`.
      De periode is 365 dagen en (uitgaande van de sin-functie) de horizontale verschuiving is `81` (kwart periode voor 21 juni).
      Dit geeft `Z(t) = 2,25 sin((2pi)/(365)(t - 81)) + 6,58`.
    2. `Z'(t) = (4,5pi)/(365) cos((2pi)/(365)(t - 81))` moet maximaal of minimaal zijn.
      Dat is het geval als `((2pi)/(365)(t - 81)) = k * pi`. Dit geeft `t = 81 vv t = 264`.
      Snelste stijging op 21/22 maart en snelste daling op 21/22 september.