Differentieerregels

Antwoorden bij de opgaven

1. 1. Onder differentiëren versta je het bepalen van de afgeleide `f'` van een functie `f` met behulp van differentieerregels.
   2. Die differentieerregels vind je vanuit de definitie van afgeleide: `f'(x) = lim_(h rarr 0) (f(x + h) - f(x))/h`.
      (Bekijk eventueel de theorie bij "Het begrip afgeleide" nog eens.)
   3. De somregel (elke term mag je afzonderlijk differentiëren), de machtsregel en de constante-regel.
   4. Eerst haakjes uitwerken tot `f(x) = 8x^3` en dan is `f'(x) = 24x^2`.
   5. Het uitwerken van de haakjes is nu een zeer tijdrovende bezigheid, hoewel niet onmogelijk!
   6. Je kunt `f(x)` voor `x != 0` schrijven als `f(x) = 2 + 3x` met afgeleide `f(x) = 3`.
      Je kunt `g(x)` niet vereenvoudigen tot een functie zonder `x` in de noemer en voor dergelijke functies heb je nog geen differentieerregel geleerd.
2. 1. `f'(x) = -1 1/2 x^2`
   2. `K'(q) = 6q^2 + 120q - 100`
   3. `I'(d) = 1/2 pi d^2`
   4. `f'(x) = 2x - 20`
   5. `f'(x) = 4x^3 + 6`
   6. `H'(t) = 25 - 10t`
   7. `T'(p) = 3a^2p^2 - a`
   8. `f'(x) = 3x^2 + 16x + 16`
3. 1. Nulpunten zijn `(0,0)` en `(20,0)`. Venster Xmin = -5, Xmax = 25, Ymin = -1500 en Ymax = 1000.
   2. `f(x) = 0,5x^3 - 10x^2` geeft `f'(x) = 1,5x^2 - 20x`.
   3. `f'(x) = 0` levert op `x = 0 vv x = 40/3 ~~ 13,33`, dus de extremen zijn (in gehelen nauwkeurig) max.`f(0) = 0` en min.`f(13) ~~ -593`.
   4. `f'(10) = -50`.
4. 1. Zie vorige opgave voor `f'(x)`.
      `f'(2) = -34` en `f(2) = -36`, dus de gevraagde vergelijking is `y = -34x + 32`.
   2. `f'(x) = 1,5x^2 - 20x = -34` geeft `x = (40 +- sqrt(784))/6` en dus `x = 2 vv x = 11 1/3`.
      Het andere punt is `(11 1/3, -556 16/27)`.
5. 1. `x = 40 - 2h` of `h = 20 - 0,5x` met `x` en `h` in cm.
   2. `H(x) = 200(20x - 0,5x^2) = 4000x - 100x^2`
   3. `H'(x) = 4000 - 200x = 0` geeft `x = 20`.
6. 1. `f'(x) = 30x^5 - 65x^4 + 10`
   2. `f'(x) = 2ax + b`
   3. `P'(I) = 2RI`
   4. `(text(d)y)/(text(d)x) = 4x^3 - 20x`
   5. `f'(x) = -64x^7`
   6. `f'(x) = 6ax^2 - 3a^2`
   7. `(text(d)A)/(text(d)r) = 2pi r + 2 l`
   8. `h'(x) = 600x - 180x^2 + 12x^3`
7. 1. `f'(x) = (12)/5 x^2 - 6x = 0` geeft`x = 0 vv x = 2,5`.
      Uit de grafiek of een tekenschema van `f'` lees je af dat er twee extremen zijn, namelijk min.`f(2,5) = -6,25` en max.`f(0) = 0`.
   2. `f''(x) = (24)/5 x - 6 = 0` geeft `x = 1,25`.
      Uit de grafiek of een tekenschema van `f''` lees je af dat er één buigpunt is, namelijk `(1,25; -3,25)`.
8. 1. `y'(x) = 3x^2 - 10x + 7` geeft `y'(2) = -1`.
   2. `y'(x) = -1` geeft `3x^2 - 10x + 8 = 0`. Deze vergelijking heeft twee oplossingen dus er is nog een punt op de grafiek waarin de hellingwaarde van de grafiek `-1` is.
9. 1. `I(x) = x(20 - 2x)(60 - 2x) = 1200x - 160x^2 + 4x^3`
   2. `I'(x) = 12x^2 - 320x + 1200 = 0` geeft `x = (80 +- sqrt(2800))/6`.
      Aan de grafiek van `I` zie je dat de inhoud maximaal is als `x = (80 - sqrt(2800))/6 ~~ 4,5` cm.
10. 1. `f(x) = x^5 - 40x^4 + 400x^3` geeft `f'(x) = 5x^4 - 160x^3 + 1200x^2`.
       En `f'(x) = 0` levert op: `x = 0 vv x = 12 vv x = 20`.
    2. Voor `x = 0` wisselt de afgeleide niet van teken, zowel links als rechts van `x = 0` is de grafiek van `f` stijgend.
11. 1. `f'(x) = -2x^3 + 3`
    2. `f'(x) = -12x - 4x^3`
    3. `f'(x) = 3x^2 - 2x - 1`
    4. `f'(x) = a - 3ax^2`
    5. `H'(t) = 12pt^2`
    6. `(text(d))y/(text(d)t) = 6000t - 300t^2 - 80t^3`
12. 1. `f(2) = 7`
    2. `f'(x) = 1/6 x^3 + 1/2 x^2 + x + 1` geeft `f'(2) = (19)/3`.
13. 1. `y'(x) = -3x^2 + 12x = 0` geeft `x = 0 vv x = 4`.
       M.b.v. de grafiek: min.`f(0) = -10` en max.`f(4) = 22`
    2. `y''(x) = -6x + 12 = 0` geeft `x = 2`.
       Het bedoelde punt is `(2,6)`.