Buigpunten

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-b > Afgeleide functies > Buigpunten > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-b > Afgeleide functies > Buigpunten > Uitleg

Lees eerst de Uitleg goed door.

Opgaven

1. In de Uitleg zie wat een buigpunt van een grafiek is en hoe je dit kunt berekenen.
   1. Voer de berekening zelf uit en bepaal het buigpunt exact.
   2. Is in dit buigpunt ook de richtingscoëfficiënt van de raaklijn `0`? Licht je antwoord toe.


2. Dit is een deel van de grafiek van `f(x) = x^3 - 3x^2 + 6`.
   1. Zolang `x < 1` wordt de helling van de grafiek steeds kleiner. Wat betekent dit voor de afgeleide van de hellingsfunctie `f'(x)`?
      1. Die is dan dalend.
      2. Die is dan negatief.
      3. Die heeft dan een minimum.
   2. Het punt `(1,4)` van de grafiek van `f` noem je een buigpunt omdat de helling daar overgaat van dalend in stijgend. Wat weet je van de afgeleide in dit buigpunt? En van de afgeleide van de afgeleide?
      1. De afgeleide is minimaal, de afgeleide van de afgeleide 0.
      2. De afgeleide is minimaal, de afgeleide van de afgeleide ook.
      3. De afgeleide is negatief, de afgeleide van de afgeleide 0.
      4. De afgeleide is 0, de afgeleide van de afgeleide minimaal.
   3. De afgeleide van de afgeleide noem je wel de tweede afgeleide van de gegeven functie. Met behulp van de tweede afgeleide kun je het buigpunt algebraïsch berekenen. Laat zien hoe dat gaat.

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-b > Afgeleide functies > Buigpunten > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

3. In Voorbeeld 1 zie je de grafiek van de functie `f(x) = 1/2 x^4 - 3x^2` samen met zijn afgeleide en zijn tweede afgeleide. In Voorbeeld 2 zie je hoe je de buigpunten van de grafiek van een andere functie algebraïsch berekent.
   1. Bereken de buigpunten van `f(x) = 1/2 x^4 - 3x^2` algebraïsch.
   2. Laat ook zien dat uit de functievoorschriften van de afgeleide en de tweede afgeleide inderdaad volgt dat de grafiek van `f` op `(:0,1:)` toenemend dalend is.


4. Hier zie je de grafiek van `f(x) = x^3 - 3x^2 + 6` met daarin de buigraaklijn, de raaklijn in het buigpunt, getekend.
   1. Welke coördinaten heeft het buigpunt?
   2. Welke richtingscoëfficiënt heeft deze raaklijn?
   3. Stel een vergelijking op van de getekende buigraaklijn.


5. Van een functie zijn de tekenschema’s van `f(x)`, van `f'(x)` en van `f''(x)` gegeven door deze figuren.
   
   
   
   
   1. Hoeveel buigpunten boven de `x`-as heeft de grafiek van `f`?
   2. Schets een mogelijke grafiek van `f`.


6. Vaak is de opbrengst `TO` bij de productie van een bepaald artikel afhankelijk van de ingezette arbeidstijd `a` (in uren per dag). Een dergelijk verband kan worden beschreven door de functie `TO(a) = -1/3 a^3 + 8a^2`.
   1. Bekijk de grafiek van `TO`. De opbrengst stijgt in het begin progressief (steeds sterker). Schat tot hoeveel ingezette arbeidstijd dat ongeveer zo is.
   2. Het antwoord op de voorgaande vraag kun je nauwkeurig berekenen met behulp van differentiëren. Laat zien hoe dat gaat.
   3. Hoeveel bedraagt de grootste opbrengststijging per uur?


7. Functies kunnen meerdere buigpunten hebben. Hier zie je de grafiek van de functie `f(x) = x^3(x^2 - 100)`.
   1. Bereken de exacte extremen van deze functie.
   2. Bereken de exacte buigpunten van deze grafiek.

Verwerken

8. Bepaal met behulp van differentiëren van de volgende functies alle buigpunten.
   1. `f(x) = 0,5x^3 + 6x^2 - 90`
   2. `y(x) = 4x^2 - 0,5x^4`


9. Gegeven zijn de functies `f(x) = x^2` en `g(x) = 0,25x^2(x^2 - 144)`.
   1. Je ziet hier hoe de grafieken van beide functies er op de grafische rekenmachine uit kunnen zien. Hoe moet je het venster dan instellen?
   2. Los op: `f(x) > g(x)`
   3. Bereken de exacte buigpunten van de grafiek van `g`.
   4. De grafiek van `g` heeft twee buigraaklijnen die elkaar snijden op de `y`-as. Bereken de exacte coördinaten van dat snijpunt.


10. Een ondernemer maakt een bepaald product waarop hij het monopolie heeft. Voor zijn productiekosten (in honderden euro) geldt de formule `TK = 0,5q^3 - 4q^2 + 11q + 4` waarin `q` de geproduceerde hoeveelheid in honderden kilogram is.
    1. De snelheid waarmee de kosten stijgen is eerst afnemend, later toenemend. Er is een punt in de grafiek waarbij die snelheid van afnemend naar toenemend omslaat.
       Bij welke productie zit het omslagpunt? Rond je antwoord af op hele kilogrammen nauwkeurig.
    2. De hoeveelheid product die hij aanbiedt aan zijn afnemers heeft invloed op de prijs. Er geldt: `p = 11 - q` waarin `p` de prijs in honderden euro is. Ga er van uit dat deze ondernemer zijn totale productie ook verkoopt. Bij welke productie is zijn winst maximaal? Licht het antwoord toe met behulp van differentiëren.


11. Dit is de grafiek van de afgeleide van een functie.
    1. Bij welke waarden van `x` heeft deze functie extremen?
    2. Bij welke waarden van `x` heeft de grafiek van deze functie een buigpunt?
    3. Heeft de buigraaklijn een positieve of een negatieve richtingscoëfficiënt?


12. Gegeven is de functie `f(x) = x^4 + ax^2` met een constante `a > 0`.
    1. Laat zien, dat deze functie voor elke waarde van `a` een minimum heeft.
    2. Toon aan dat deze functie voor geen enkele `a` een buigpunt heeft.

Testen

13. Onderzoek telkens of de functie met het genoemde functievoorschrift een buigpunt heeft. Zo ja, bereken de coördinaten van dit buigpunt.
    1. `f(x) = x^3 - 6x^2 + 12`
    2. `y = 0,25x^4 - 5x^3`


14. Van een functie `f` is de afgeleide gegeven door `f'(x) = 4x - 0,5x^2`.
    1. Bereken de `x`-waarde van het buigpunt.
    2. Op grond van deze afgeleide kun je een schets maken van de grafiek van de functie als je weet dat de `y`-waarde van het buigpunt 10 is. Maak een mogelijke schets van de grafiek van`f`?
    3. Stel een vergelijking op van de buigraaklijn van de grafiek van `f`.


15. Een verffabriek gebruikt de functie `TK = 0,5q^3 - 3q^2 + 6q` voor de productiekosten voor een bepaald soort verf. Hierin is `q` de hoeveelheid geproduceerde verf in duizenden liters per dag en verder stelt `TK` de kosten in duizenden euro voor.
    1. De marginale kosten zijn de meerkosten per liter die ontstaan bij de productie van 1 liter extra. Bereken de marginale kosten bij een productie van 3000 liter verf per dag.
    2. Je kunt de marginale kosten goed benaderen met behulp van de afgeleide: `MK = TK'`. Bereken ook op deze manier de marginale kosten bij een productie van 3000 liter per dag.
    3. De ondernemer produceert het liefst een hoeveelheid waarbij de marginale kosten minimaal zijn. Bij welke productie in liter per dag is dat het geval? Bereken het antwoord algebraïsch.