Buigpunten

Antwoorden bij de opgaven

1. -
2. 1. -
   2. `f'(40/6) = 16 2/3` dus niet.
3. 1. B
   2. A
   3. `f'(x) = 3x^2 - 6x` en `f''(x) = 6x - 6 = 0` als `x=1`.
      Omdat `f''` voor `x=1` van teken wisselt is er een buigpunt `(1,f(1)) = (1,4)`.
4. 1. `f'(x) = 2x^3 - 6x` en `f''(x) = 6x^2 - 6 = 0` als `x = +-1`.
      Omdat `f''` bij beide waarden van `x` van teken wisselt zijn er twee buigpunten, zie Voorbeeld 1.
      Op `(:0,1:)` is `f'(x) < 0` en `f''(x) < 0` dus de daling wordt steeds sterker.
5. 1. `f''(x) = 6x - 6 = 0` geeft `x = 1` (zie opgave 1); het buigpunt is `(1,4)`.
   2. `f'(1) = -3`
   3. `y = -3x + 7`
6. 1. Eén, namelijk bij `x=1`.
   2. 
7. 1. Grafiek op GR laat zien dat ongeveer bij `a=8` het buigpunt zit.
   2. `(text(d)TO)/(text(d)a) = -a^2 + 16a` en `(text(d)^2 TO)/(text(d)a^2) = -2a + 16`.
      En `TO''(a) = -2a + 16 = 0` als `a=8`.
   3. Tussen `a=7` en `a=8` zit de grootste omzetstijging.
      Die bedraagt `TO(8) - TO(7) ~~ 341,33 - 277,67 = 63,66`.
8. 1. `f'(x) = 5x^4 - 300x^2 = 0` geeft `x=0 vv x = +-sqrt(60)`.
      Max.`f(-sqrt(60)) = 2400 sqrt(60)` en min.`f(sqrt(60)) = -2400 sqrt(60)`
   2. `f''(x) = 20x^3 - 600x = 0` geeft `x=0 vv x = +-sqrt(30)`.
      De buigpunten zijn `(-sqrt(30),2100 sqrt(30))`, `(0,0)` en `(sqrt(30),-2100 sqrt(30))`.
9. 1. `f''(x) = 3x + 12 = 0` geeft `x = -4`. Buigpunt `(-4,-26)`.
   2. `y''(x) = 8 - 6x^2 = 0` geeft `x = +- sqrt(4/3)`. Buigpunten `(-sqrt(4/3),40/9)` en `(sqrt(4/3),40/9)`.
10. 1. `[-15,15] xx [-1500,1500]`
    2. `f(x) = g(x)` geeft `x = 0 vv x = +-sqrt(148)`.
       Oplossing: `-sqrt(148) < x < 0 vv 0 < x < sqrt(148)`.
    3. `g''(x) = 3x^2 - 72 = 0` geeft `x = +-sqrt(24)`, dus `(+-sqrt(24),-720)`.
    4. `g'(sqrt(24)) = -48sqrt(24)` en `g'(-sqrt(24)) = 48sqrt(24)`.
       Het snijpunt van beide buigraaklijnen ligt op de `y`-as en is daarom `(0,432)`.
11. 1. `TK'' = 3q - 8 = 0` geeft `q = 8/3`.
       Dat is ongeveer 167 kg.
    2. `TW = q(11 - q) - (0,5q^3 - 4q^2 + 11q + 4) = -0,5q^3 + 3q^2 - 4` en `TW' = -1,5q^2 + 6q`.
       `TW' = 0` als `q=0 vv q = 4`.
       Er is maximale winst bij een verkoop van 400 kg.
12. 1. `x=-2` en `x=3`
    2. `x = 1/2` want daar is de afgeleide minimaal.
    3. Negatief, want `f'(1/2) < 0`.
13. 1. `f'(x) = 4x^3 + 2ax = 0` geeft `x = 0 vv x = +-sqrt(-1/2a)` en omdat `a > 0` is deze wortel geen reëel getal. Dus alleen `x = 0` is een nulpunt van de afgeleide. Omdat `f'` voor `x = 0` overgaat van negatief naar positief is `f(0)` een minimum.
    2. `f''(x) = 12x^2 + 2a = 0` geeft `x = +-sqrt(-1/6a)` en omdat `a > 0` is deze wortel geen reëel getal. Dus heeft `f''` geen enkele nulwaarde en is er geen buigpunt.
14. 1. `f''(x) = 6x - 12 = 0` geeft `x = 2`; buigpunt `(2,-4)`.
    2. `y''(x) = 3x^2 - 15x = 0` geeft `x = 0 vv x = 5`; buigpunten `(0,0)` en `(5; -468,75)`.
15. 
    1. `f''(x) = 4 - x = 0` geeft `x = 4`.
    2. Eigenlijk kun je deze grafiek nauwkeurig tekenen. Kun je bedenken dat het de grafiek moet zijn van `f(x) = 2x^2 - 1/6x^3 - 11 1/3`? (Een schets is voor dit moment genoeg. Je ziet de grafiek hiernaast, je schets moet er op lijken.)
    3. `f'(5) = 7,5` en `f(5) = 10`, dus de raaklijn is `y = 7,5x - 27,5`.
16. 1. `(TK(3,001) - TK(3))/(0,001) ~~ (4,5015015 - 4,5)/(0,001) ~~ 1,50`
    2. `MK = TK' = 1,5q^2 - 6q + 6` en `MK(3) = 1,5`
    3. `MK' = TK'' = 3q - 6 = 0` geeft `q=2`. Dus 2000 L/dag.