Extremen berekenen

Antwoorden bij de opgaven

  1. -
    1. `f'(x) = 3x^2 - 3`
    2. `f'(x) = 0` als `x = +-1`.
    3. max.`f(-1) = 3` en min.`f(1) = 3`
    1. `f'(x) = 0,3x^2 - 120`
    2. `f'(x) = 0,3x^2 - 120 = 0` als `x^2 = 400` en dus `x = +-20`.
    3. max.`f(-20) = 2320` en min.`f(20) = - 2320`.
    1. `x=0`
      B
    2. D
    1. `100x^2 = x^2(x - 10)^2` geeft `x = 0 vv x = 20`, dus de snijpunten zijn `(0,0)` en `(20,40000)`.
    2. `g'(x) = 4x^3 - 60x^2 + 200x = 0` geeft `x=0 vv x=5 vv x=10`.
      Tekenschema van `g'` of grafiek van `g` bekijken geeft min.`f(0)=0`, max.`f(5)=625` en min.`f(10)=0`.
    3. `a * 5^2 = 5^2(5 - 10)^2` geeft: `a=25`.
    1. `2 * 8^2 + 4 * 8 * 21 = 800` cm2.
    2. `2x^2 + 4xh = 800` geeft `h = (800 - 2x^2)/(4x)`
    3. `I = x^2 h = x^2 * (800 - 2x^2)/(4x) = 200x - 1/2x^3`
    4. `I'(x) = 200 - 1 1/2x^2 = 0` geeft `x = sqrt(133 1/3) ~~ 11,547` cm.
    5. De afmetingen zijn 11,5 bij 11,5 bij 11,5 cm.
    1. `f'(x) = 3ax^2 - 1 = 0` als `x = +-sqrt(1/(3a))`.
    2. max.`f(-sqrt(1/(3a))) = 2/3 sqrt(1/(3a))` en min.`f(sqrt(1/(3a))) = - 2/3 sqrt(1/(3a))`
    3. `2/3 sqrt(1/(3a)) = 1` geeft `a = 4/27`.
  8. `f'(x) = 4x^3 - 16x = 0` als `x = 0 vv x = +-2`.
    Tekenschema `f'` of grafiek `f`: min.`f(-2) = -16`, max.`f(0) = 0` en min.`f(2) = -16`.
    1. De nulpunten van `f` zijn `(+-20,0)`.
      De nulpunten van `g` zijn `(+-20,0)` en `(10,0)`.
    2. Voor `f` is differentiëren niet nodig: de grafiek is een bergparabool met max.`f(0) = 4000`.
      Voor `g` geldt: `g'(x) = 3x^2 - 20x - 400 = 0` als `x = (20 +- sqrt(5200))/(6)`.
      De extremen van `g` zijn: max.`g(-8,69) ~~ 6064,60` en min.`g(15,35) ~~ -879,42`.
    3. `x <= -20 vv 0 <= x <= 20`
  10. Sportveld: lengte `l` m en breedte `2r` m waarin `r` de straal van de twee halve cirkel is.
    Nu geldt: `2l + 2pi r = 400`, dus `l = 200 - pi r`.
    De oppervlakte van het sportveld is: `A = l * 2r = (200 - pi r)*2r = 400r - 2pi r^2`.
    Maximum berekenen: `A'(r) = 400 - 4pi r = 0` geeft `r = 100/(pi)`.
    Het sportveld heeft een lengte van 100 m en een breedte van `200/(pi)` m.
    1. `(400 - 200)/(500 - 400) = 2` euro per kg.
    2. Maak een tabel van `TK(q)` met de grafische rekenmachine en vergelijk de waarden met de gegeven tabel.
    3. `TW = 225q - TK = 225q - (10q^3 - 60q^2 + 130q) = -10q^3 + 60q^2 + 95q`
    4. `MW(q) = TW'(q) = -30q^2 + 120q + 95`
      `MW` is de veranderingssnelheid van de winst bij toename van `q`.
    5. `MW = 0` als `q = (-120 +- sqrt(25800))/60`.
      De maximale winst is ongeveer `MW(4,68) ~~ 733,71`.
    1. `f'(x) = 4x^3 - 2ax = 0` geeft `x=0 vv x = +-sqrt(1/2a)`.
      Dit betekent dat er alleen een minimum ongelijk aan 0 kan zijn als `a > 0`. Dat minimum is dan `f(sqrt(1/2a)) = (1/2a)^2 - a * 1/2a = - 1/4a^2`.
      Het minimum is gelijk aan `-1` als `- 1/4a^2 = -1` en dus als `a=2` (`a=-2 voldoet niet).`
    2. `f'(1) = 4 - 2a` en `f(1) = 1 - a`, dus de raaklijn heeft vergelijking `y = (4 - 2a)x + a - 3`.
      Aan deze vergelijking moet ook `(0,4)` voldoen: `4 = a - 3` geeft `a=7`.
    1. `f'(x) = 3x^2 - 12px = 0` geeft `x = 0 vv x = 4p`.
      Als `p != 0` heeft de grafiek van `f` twee extremen.
    2. `f(0) = -16 != -32`
      `f(4p) = -32` geeft `64p^3 - 96p^3 - 16 = -32` en dus `32p^3 = 16` en `p = root[3](1/2)`.
      Er is dan sprake van een minimum.
    1. `f'(x) = -4x^3 + 6x^2 = 0` geeft `x = 0 vv x = 1,5`.
      min.`f(0) = 0` en max.`f(1,5) = 1,6875`.
    2. `(text(d)y)/(text(d)x) = 3x^2 - 12x = 0` geeft `x = 0 vv x = 4`.
      max.`f(0) = 0` en `min.`f(4) = -32`.
    1. Je moet hetzelfde vinden als bij b.
    2. `f'(x) = 20x^4 - 160000x = 0` als `x = 0 vv x = 20`.
      max.`f(0) = 2557` en min.`f(20) = -19197443`.
    3. 2
    1. `I = x(20 - 2x)^2`
    2. `0 < x < 10`
    3. `I'(x) = 400 - 160x + 12x^2 = 0` geeft `x = 10/3 vv x = 10`.
      max.`I(10/3) = 16000/27`.
    1. Lineaire functies of (als ook `b=0`) constante functies.
    2. `f'(x) = 2ax + b = 0` geeft `x = - b/(2a)`.
      Extreme waarde is `f(- b/(2a)) = -(b^2)/(4a) + c`