Differentiëren

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-b > Afgeleide functies > Differentiëren > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-b > Afgeleide functies > Differentiëren > Uitleg

Lees eerst de Uitleg goed door.

Opgaven

1. Bij een functie van de vorm `f(x) = cx^2` kun je een afgeleide (functie) `f'(x)` opstellen door het differentiequotiënt op het interval `[x,x + h]` te bewerken.
   1. Doe dat zelf.
   2. Laat je nu `h` naar 0 naderen, dan vind je de afgeleide van `f`. Bepaal de deze afgeleide.
   3. Op deze wijze kun je van alle functies van de vorm `f(x)=cx^n` de afgeleide bepalen (`n` is een willekeurig positief geheel getal): `f'(x)=cnx^(n-1)`. Deze differentieerregel vind je ook in de theorie. Bepaal met behulp van deze algemene regel de afgeleide van `f(x)=3x^5`.


2. Voor het bepalen van de afgeleide (de hellingsfunctie) van een gegeven functie `f` bestaan handige regels die differentieerregels worden genoemd. Bij de Uitleg kun je er een aantal van vinden. Het gebruiken van die regels noem je differentiëren.
   1. De machtsregel helpt bij het differentiëren van machtsfuncties. Bepaal de afgeleide van `f(x) = 12x^5`.
   De andere differentieerregels helpen bij het bepalen van de afgeleide van de som van meerdere functies en bij constanten die je bij een functie optelt. Bekijk Voorbeeld 1.
   2. Bepaal de afgeleide van `g(x) = 12x^5 + 20`.
   3. Bepaal de afgeleide van `h(x) = 12x^5 + 20x^3`.

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-b > Afgeleide functies > Differentiëren > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

3. Bepaal de afgeleide van de volgende functies door te differentiëren met behulp van de differentieerregels, zie ook Voorbeeld 1. Bepaal telkens de richtingscoëfficiënt van de raaklijn voor `x=1` .
   1. `f(x) = 10x^3 - 60x + 100`
   2. `f(x) = 15 + 2x - 5x^2 - 10x^4`
   3. `f(x) = 1/2x^4 - 4x^2`


4. Gegeven is de functie `y = (x^2 - 4)(x - 6)`.
   1. Een functievoorschrift in deze vorm is handig als je de nulpunten van de functie wilt bepalen. Bereken die nulpunten.
   2. Als je met hellingsgetallen van deze functie wilt werken moet je eerst de haakjes uitwerken. Bepaal de afgeleide `(text(d) y)/(text(d) x)` van deze functie.
   3. Met behulp van deze afgeleide kun je de vergelijking van een raaklijn aan de grafiek opstellen. In Voorbeeld 2 kun je nog eens zien hoe dat gaat. Stel een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van deze functie voor `x=2`.


5. Gegeven de functie `f(x) = 0,5x^3 - 4,5x^2 + 10x - 35`.
   1. Bepaal de afgeleide van deze functie.
   2. Bereken het hellingsgetal van de raaklijn aan de grafiek van `f` voor `x=0`.
   3. Er zijn punten op de grafiek van `f` waarin de helling de waarde 10 heeft. Bereken de coördinaten van die punten. Bekijk eventueel Voorbeeld 3.

Verwerken

6. Bepaal telkens de afgeleide van de gegeven functie. Bepaal ook het hellingsgetal van de grafiek in `(1,y)`.
   1. `f(x) = x^3 - 4x`
   2. `g(x) = x^4 + 2x^3 - 5x^2 + 12x - 35`
   3. `s(t) = 60t - 4,9t^2`
   4. `H(t) = 2(t^2-4)`
   5. `y = 5 - (x-3)^2`
   6. `P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d`
   7. `TW(q) = 0,5q^3 - 6q^2 - 25q + 112`
   8. `K(x) = (3x^2 - 2a)(ax - 1)`


7. Bepaal van elk van de volgende functies de afgeleide. Bereken vervolgens de punten van de grafiek waar de richtingscoëfficiënt van de raaklijn de waarde 0 heeft. (Eventuele benaderingen in één decimaal nauwkeurig.)
   1. `f(x) = 0,5x^4 - 4x^2`
   2. `TW(q) = -q^3 + 3q^2 + 3q + 6`
   3. `v(t) = t(t - 1)^2`
   4. `TW = 40p - 0,02p^2`


8. Je ziet hier de grafiek van de functie `f(x) = (x^2 - 4)(x^2 - 9)`.
   1. Laat zien hoe je uit het functievoorschrift de nulpunten van de grafiek van `f` kunt afleiden.
   2. Bepaal de afgeleide van `f`.
   3. Bereken het snijpunt van de raaklijnen aan de grafiek van `f` voor `x=-2` en voor `x=2`.
   4. Los op: `f'(x)=0`.
   5. Wat betekent het antwoord van d voor de grafiek van `f`?


9. Als een voorwerp wordt afgeschoten met een bepaalde beginsnelheid en onder een bepaalde hoek, dan is zijn baan parabolisch als je geen rekening hoeft te houden met de luchtweerstand. Een voorbeeld van zo’n kogelbaan is de grafiek van de functie `h(x) = 1,5 - 0,01(x - 10)^2`. Hierin is `h` de hoogte van het afgeschoten voorwerp boven de grond (in m) en `x` de afstand over de grond tot recht onder het afgeschoten voorwerp (in m).
   1. Op welke hoogte werd het voorwerp afgeschoten?
   2. Bereken `h'(0)`.
   3. Wat betekent dit getal voor de kogelbaan?
   4. Bereken het punt van de kogelbaan waarin `h(x)=0`.
   5. In het hoogste punt van de kogelbaan is de afgeleide nul. Toch beweegt de kogel daar met een zekere snelheid. Kun je dit verklaren?


10. Voor de productiekosten van een bepaald artikel geldt: `TK = 1200 + 0,2q^2`. Hierin is `q` het aantal geproduceerde eenheden van dat artikel en stelt `TK` de totale kosten in euro voor. De productiekosten per eenheid worden gegeven door `GTK=(TK)/q`. Je noemt dit wel de gemiddelde totale kosten.
    1. Druk de gemiddelde totale kosten uit in `q`.
    2. Met de grafische rekenmachine kun je de grafiek van `GTK` bekijken. Welke verticale asymptoot heeft de grafiek van `GTK`? Welke economische betekenis heeft deze asymptoot?
    3. Je kunt bij deze functie (nog) geen afgeleide bepalen. Maar je kunt er wel een (benadering van de) hellingsgrafiek bij tekenen met je grafische rekenmachine. Teken die hellingsgrafiek en bepaal met behulp daarvan bij welke productie de gemiddelde totale kosten zo laag mogelijk zijn.
    4. Welke waarde benadert de helling van de grafiek van `GTK` als de productie heel erg groot is? En welke betekenis heeft dat voor de productiekosten per eenheid?

Testen

11. Bepaal bij elk van deze functies de afgeleide. Soms moet je eerst het functievoorschrift nog bewerken.
    1. `f(x) = x^6 + 8x - 12`
    2. `f(x) = 3x^4 - 1/2x^2`
    3. `f(x) = -1,5x^3 + 4x`
    4. `f(x) = x(x^2 - 2x)`
    5. `f(x) = -x^5 + 4x^4 + 2x^3 - 1,5x^2 + 8x - 15`
    6. `f(x) = (2x + 1)^2`
    7. `f(x) = 12 - x^2(x - 6)`
    8. `f(x) = (1 - x)^3`


12. Dit is (een deel van) de grafiek van de functie `f(x) = 9x + 3x^2 - x^3`.
    1. Bereken het hellingsgetal van deze functie in het punt `(0,0)` met behulp van de afgeleide.
    2. Stel een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van `f` in het punt `(0,0)`.
    3. Er zijn twee punten op de grafiek van `f` waarin de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk is aan 0. Welke twee punten zijn dat?
    4. De grafiek van `f` heeft in een bepaald punt een grootste hellingsgetal. In welk punt is dat?


13. `y` is een functie van `x` waarvoor geldt: `y = x^3 - 25,5x^2 + 180x + 120`.
    1. Bepaal de afgeleide van deze functie.
    2. Deze afgeleide heeft twee nulwaarden. Welke betekenis hebben die nulwaarden voor de functie?
    3. Bereken de nulwaarden van de afgeleide `y'`.
    4. Voor welke waarden van `x` is de functie dalend?