Differentiëren

Antwoorden bij de opgaven

1. 1. `(Delta y)/(Delta x) = (c(x+h)^2 - cx^2)/h = (2cxh - ch^2)/h = 2cx - ch`
   2. `f'(x) = lim_(h->0)(2cx - ch) = 2cx`
   3. `f'(x) = 3 * 5x^4 = 15x^4`
2. 1. `f'(x) = 12 * 5x^4 = 60x^4`
   2. `f'(x) = 12 * 5x^4 + 0 = 60x^4`
   3. `f'(x) = 12 * 5x^4 + 20 * 3x^2 = 60x^4 + 60x^2`
3. 1. `f'(x) = 30x^2 - 60` en `f'(1) = -30`
   2. `f'(x) = 2 - 10x - 40x^3` en `f'(1) = -48`
   3. `f'(x) = 2x^3 - 8x` en `f'(1) = -6`
4. 1. `(+-2, 0)` en `(6,0)`
      `y(x) = x^3 - 6x^2 - 4x + 24` en `(text(d)y)/(text(d)x) = y'(x) = 3x^2 - 12x - 4`
   2. `y'(2) = -16` en `y(2) = 0`, dus de raaklijn wordt `y = -16x + 32`.
5. 1. `f'(x) = 1,5x^2 - 9x + 10`
   2. `f'(0) = 10`
   3. `f'(x) = 10` geeft `1,5x^2 - 9x + 10 = 10` en dus `x = 0 vv x = 6`.
      Het zijn dus de punten `(0,-35)` en `(6,-29)`.
6. 1. `f'(x) = 3x^2 - 4` en `f'(1) = -1`
   2. `g'(x) = 4x^4 + 6x^2 - 10x + 12` en `g'(1) = 12`
   3. `s'(t) = 60 - 9,8t` en `s'(1) = 50,2`
   4. `H'(t) = 4t` en `H'(1) = 4`
   5. `(text(d)y)/(text(d)x) = -2x + 6` en `y'(1) = 4`
   6. `P'(x) = 3ax^2 + 2bx + c` en `P'(1) = 3a + 2b + c`
   7. `(text(d)TW)/(text(d)q) = 1,5q^2 - 12q - 25` en `TW'(1) = 35,5`
   8. `K'(x) = 9ax^2 - 6x - 3a^2` en `K'(1) = 9a - 6 - 3a^2`
7. 1. `f'(x) = 2x^3 - 8x` en `f'(x) = 0` als `x=0 vv x=+-2`, dus `(0,0), (-2,-8)` en `(2,-8)`.
   2. `TW'(q) = -3q^2 + 6q + 3` en `TW'(q) = 0` als `q = 1 +- sqrt(2)`, dus `(2,4; 16,7)` en `(-0,4; 5,3)`.
   3. `v'(t) = 3t^2 - 4t + 1` en `v'(t) = 0` als `t = 1/3 vv t = 1`, dus `(1/3, 4/27)` en `(1,0)`.
   4. `TW'(p) = 40 - 0,04p` en `TW'(p) = 0` als `p = 1000`, dus `(1000,20000)`.
8. 1. `f(x) = (x^2 - 4)(x^2 - 9) = 0` geeft `x^2 = 4 vv x^2 = 9` en `x=+-2 vv x=+-3`, dus `(+-2,0)` en `(+-3,0)`.
   2. `f(x) = x^4 - 13x^2 + 36` en `f'(x) = 4x^3 - 26x`.
   3. Raaklijn voor `x = -2` is `y = 20x + 40`.
      Raaklijn voor `x = 2` is `y = -20x + 40`.
      Snijpunt `(0, 40)`.
   4. `f'(x) = 0` als `x = 0 vv x = +-sqrt(8,5)`.
   5. Je vindt daarmee de drie extremen: max.`f(0) = 36`, min.`f(-sqrt(8,5)) = -6,25` en min.`f(sqrt(8,5)) = -6,25`.
9. 1. `h(0) = 0,5` m
   2. `h'(x) = -0,02x + 0,2` en `h'(0) = 0,2` m/s
   3. Het is de veranderingssnelheid van de hoogte van de kogel op `x=0`. Het is niet de beginsnelheid!
   4. `h'(x) = 0` geeft `x = 10`, daarbij hoort het punt `(10; 1,5)`.
   5. De snelheid waarmee de hoogte van de baan verandert is er 0. Maar er is ook een voorwaartse snelheidscomponent.
10. 1. `GTK(q) = 1200/q + 0,2q`
    2. `q = 0`; als `q = 0` kun je geen gemiddelde kosten bepalen.
    3. min.`GTK(77) ~~ 30,98`
    4. `GTK -> 0,2` als `q -> oo` (`oo` is het symbool voor "oneindig groot").
       De productiekosten per eenheid veranderen op den duur met de (vaste) kosten per artikel.
11. 1. `f'(x) = 6x^5 + 8`
    2. `f'(x) = 12x^3 - x`
    3. `f'(x) = -4,5x^2 + 4`
    4. `f'(x) = 3x^2 - 4x`
    5. `f'(x) = -5x^4 + 16x^3 + 6x^2 - 3x + 8`
    6. `f'(x) = 8x + 4`
    7. `f'(x) = -3x^2 + 12x`
    8. `f'(x) = -3 + 6x - 3x^2`
12. 1. `f'(x) = 9 + 6x - 3x^2` en dus is `f'(0) = 9`
    2. Raaklijn door `(0,0)` met `rc = 9` heeft vergelijking `y = 9x`.
    3. `f'(x) = 0` geeft `x = -1 vv x = 3`, dus de punten `(-1,-5)` en `(3,27)`.
    4. `f'(x)` is maximaal als de afgeleide ervan 0 is: `6 - 6x = 0`.
       Dit geeft `x = 1` en dus het punt `(1,11)`.
13. 1. `(text(d)y)/(text(d)x) = 3x^2 - 51x + 180`
    2. Als de afgeleide 0 is heeft de grafiek een raaklijn evenwijdig aan de `x`-as.
    3. `y'(x) = 3x^2 - 51x + 180 = 0` geeft `x = 5 vv x = 12`.
    4. Bekijk de grafiek. De functie is dalend als `5 < x < 12`.