Het begrip afgeleide

Inleiding

In de zeventiende eeuw vond Stevin de zeilwagen uit. Je kunt er snelheidsveranderingen mee bestuderen. Bij Veranderingen heb je leren werken met differentiequotiënten en differentiaalquotiënten. Daarmee geef je de veranderingssnelheid van de functiewaarden, de helling van een grafiek, weer.
Je maakt nu kennis met de afgeleide functie van een functie `f`, het differentiaalquotiënt voor willekeurige `x`. Die afgeleide heeft als grafiek de hellingsgrafiek van de functie, waaruit je eigenschappen van `f` kunt afleiden.

Je leert nu:

• het begrip afgeleide functie;
• uit de afgeleide functie hellingwaarden van een grafiek afleiden;
• uit de afgeleide het verloop (stijgen, dalen) van de grafiek afleiden en extremen bepalen.

Je kunt al:

• werken met differentiequotiënten van een functie op een interval;
• werken met differentiaalquotiënten van een functie bij een bepaalde invoerwaarde.

Verkennen

Een karretje rolt vanuit stilstand zonder wrijving van een helling naar beneden.
Bij benadering geldt voor de afgelegde afstand `a` (in meter) de formule `a = 1,5t^2` waarin de tijd `t` wordt gemeten in seconden. De helling heeft een lengte van 200 m.

> Na hoeveel seconden is het karretje beneden en hoe snel rijdt het dan?
> Welke formule geldt voor de snelheid van het karretje als functie van t?

Uitleg

Hier zie je een afstandsgrafiek van een versnellende zeilwagen. Voor de afgelegde afstand `a` (in m) geldt `a = 1,2t^2` waarin `t` de tijd in seconden is. De gemiddelde snelheid in m/s gerekend over de eerste 4 seconden is het differentiequotiënt:

`(Delta a)/(Delta t) = (1,2 * 4^2 - 1,2 * 0^2)/(4 - 0) = (19,2)/(4) = 4,8`

Omdat de zeilwagen aan het versnellen is, zal de snelheid op `t = 4` hoger zijn dan de gemiddelde snelheid over de eerste 4 seconden. Die snelheid op `t = 4` kun je benaderen. Daarbij bereken je differentiequotiënten op steeds kleinere intervallen met 4 als beginwaarde.

Neem het interval `[4,4 + h]`.
Het differentiequotiënt op dat interval is:

`(Delta a)/(Delta t) = (1,2 * (4 + h)^2 - 1,2 * 4^2)/(4 + h - 4) = (9,6h + 1,2h^2)/(h) = 9,6 + 1,2h` zolang `h != 0`.

Dat is de gemiddelde snelheid in m/s op het interval `[4,4 + h]`.
Laat je nu `h` naar `0` naderen, dan benadert `9,6 + 1,2h` de grenswaarde 9,6.
Deze grenswaarde is de snelheid op `t = 4`. Je noteert dit als `a'(4) = 9,6`.
`a'(4)` is het differentiaalquotiënt voor `t = 4`, de (veranderings)snelheid op `t = 4`. In plaats van differentiaalquotiënt zeg je ook wel afgeleide waarde.

Hier zie je een afstandsgrafiek van de versnellende zeilwagen met de koorde die de gemiddelde snelheid op `[4,4 + h]` weergeeft.

De snelheid op `t = 4` is de grenswaarde van de gemiddelde snelheid op `[4,4 + h]` als `h` naar 0 nadert. Die gemiddelde snelheid is:

`(Delta a)/(Delta t) = (1,2 * (4 + h)^2 - 1,2 * 4^2)/(4 + h - 4) = (9,6h + 1,2h^2)/(h) = 9,6 + 1,2h`

De snelheid op `t = 4` is dus `9,6` m/s.
Het is ook de helling van de raaklijn aan de grafiek voor `t = 4`.

Doe je ditzelfde voor willekeurige `t`, dan krijg je

`(Delta a)/(Delta t) = (1,2 * (t + h)^2 - 1,2 * t^2)/(t + h - t) = (2,4th + 1,2h^2)/(h) = 2,4t + 1,2h`

Dit levert als `h` de waarde 0 nadert een functie op die je aangeeft met `a'(t) = 2,4t`.
`a'(t)` heet de afgeleide functie of hellingsfunctie van `a(t)`.

‡

Opgaven

1. Voor de afgelegde afstand `a` van een versnellende zeilwagen in meter geldt: `a=1,2t^2` waarin de tijd in seconden is. In de Uitleg zie je een deel van de grafiek bij deze formule. De gemiddelde snelheid in m/s gerekend over de eerste 4 seconden wordt berekend met behulp van een differentiequotiënt.
   1. Bereken de gemiddelde snelheid over de eerste 5 seconden.
   2. Je gaat nu de snelheid op `t=5` berekenen. Bereken eerst het differentiequotiënt op het interval `[5,5 + h]` en vereenvoudig de gevonden uitdrukking voor `h!=0`.
   3. Hoe groot is het differentiaalquotiënt en dus de snelheid op `t=5`?


2. Voor de afgelegde afstand `a` van een versnellende zeilwagen in meter geldt: `a=1,2t^2` waarin `t` de tijd in seconden is.
   1. Je kunt zelf een formule afleiden voor de snelheid als functie van `t`. Stel eerst het differentiequotiënt op het interval `[t,t + h]` op.
   2. Als `h` de waarde 0 nadert, krijg je de snelheid voor een willekeurige waarde van `t`. Geef een formule voor de snelheid als functie van `t`.
   3. De functie die je hebt gevonden heet de afgeleide van `a(t)`. Welke betekenis heeft `a'(5)` in dit verband?
      1. `a'(5)` is de gemiddelde snelheid in de eerste 5 seconden;
      2. `a'(5)` is de afgelegde weg in de eerste 5 seconden;
      3. `a'(5)` is de snelheid op tijdstip `t=5`
   4. Hoe groot is `a'(5)`?
   5. Met behulp van de afgeleide kun je vragen beantwoorden als: Op welk tijdstip rijdt de zeilwagen 50 km/h?
      Bereken het antwoord op die vraag in stappen:
      • Bereken hoeveel meter per seconde de snelheid bedraagt.
      • Stel de vergelijking op die je nu moet oplossen.
      • Bereken de oplossing.

Theorie

De hellingwaarde van de grafiek van een functie f voor een bepaalde waarde van x benader je met het differentiequotiënt op het interval [x,x + h]. Je laat dan h steeds dichter naar 0 naderen en bekijkt of dit differentiequotiënt een bepaalde grenswaarde nadert. Als dit het geval is krijg je het differentiaalquotiënt, de gevraagde hellingwaarde. Het differentiequotiënt is:

`(Delta y)/(Delta x) = (f(x + h) - f(x))/(x + h - x) = (f(x + h) - f(x))/h`

Na delen door `h` (met `h != 0`) blijft een uitdrukking over die alleen van `x` afhangt als `h` steeds dichter naar 0 nadert. (Hoewel dat in de tekening niet zo is, mag `h` ook negatief zijn!)
Dit is het differentiaalquotiënt `(text(d)y)/(text(d))x` voor willekeurige x.

Deze functie van `x` heet de afgeleide (functie). Je schrijft hem als `f'(x)`.

Deze afgeleide stelt het hellingsgetal van de grafiek van de functie `f` voor willekeurige `x` voor. Het is dus ook de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van `f` voor die waarde van `x`.

De grafiek van `f'(x)` is de hellingsgrafiek van `f`.

‡

Voorbeeld 1

Gegeven is de functie `f(x) = x^2`.
Bereken de hellingwaarde van deze functie voor `x = 3`.
Stel met behulp daarvan een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van `f` voor `x = 3`.

Antwoord

Het differentiequotiënt op het interval `[3,3 + h]` is gelijk aan

`(Delta y)/(Delta x) = ((3 + h)^2 - 3^2)/h = (6h + h^2)/h = 6 + h`

zolang `h != 0`. Als `h` de waarde 0 steeds dichter benadert, nadert dit differentiequotiënt naar de gevraagde hellingwaarde `f'(3) = 6`. Dit is het hellingsgetal van de raaklijn voor `x = 3`.
Deze raaklijn heeft daarom een vergelijking van de vorm: `y = 6x + b`.
Omdat `f(3) = 3^2 = 9`, gaat deze raaklijn door `(3,9)`.
Dit betekent dat: `9 = 6 * 3 + b` en dus geldt: `b = -9`.

De vergelijking van de gevraagde raaklijn is `y = 6x - 9`.

‡

Voorbeeld 2

Gegeven is de functie `f(x) = x^2`.
Stel een voorschrift op voor de afgeleide van deze functie.
Stel met behulp daarvan een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van `f` voor `x = 3`.

Antwoord

Het differentiequotiënt voor willekeurige x is gelijk aan

`(Delta y)/(Delta x) = ((x + h)^2 - x^2)/h = (2xh + h^2)/h = 2x + h`

Als `h` naar 0 nadert krijg je de afgeleide: `f'(x) = 2x`.

Wil je nu de vergelijking opstellen van de raaklijn aan de grafiek van `f` voor `x = 3`, dan heb je het hellingsgetal nodig voor die waarde van `x`. De afgeleide is het hellingsgetal van de grafiek van `f` voor willekeurige `x`, dus ook voor `x=3`: `f'(3) = 2 * 3 = 6`.

‡

Voorbeeld 3

De opbrengst R bij de verkoop van een bepaald product hangt af van het aantal producten q dat je verkoopt. Niet altijd neemt de opbrengst toe als je meer verkoopt, want soms moet je om meer te kunnen verkopen de prijs per stuk laten zakken. Daarom kan de opbrengst onder bepaalde economische omstandigheden worden gegeven door R = –q² + 24q, waarin R in honderden euro en q in duizenden eenheden.
Bij welke aantal verkochte eenheden is de opbrengst zo groot mogelijk?

Antwoord

Bepaal eerst de afgeleide. Begin met het differentiequotiënt op `[q,q+h]`:

`(Delta R)/(Delta q) = (-(q + h)^2 + 24(q + h) - (-q^2 + 24q))/h = (-2qh - h^2 + 24h)/h = -2q - h + 24`

Als `h` de waarde 0 nadert, gaat dit over in de afgeleide: `R'(q) = -2q + 24`.

De grafiek van deze afgeleide is de hellingsgrafiek van de opbrengstfunctie. De waarde van `q` waar de hellingen overgaan van negatief in positief zoek je, want dan gaat de opbrengstgrafiek van stijgend over in dalend. De opbrengst zelf heeft daar dus een maximum.
Je vindt de gezochte `q` uit: `R'(q) = -+2q + 24 = 0`.
De oplossing van deze vergelijking is `q = 12`.
Conclusie: bij een verkoop van 12 duizendtallen eenheden is de opbrengst maximaal.

‡

Opgaven

3. Hier zie je de grafiek van de functie `f(x) = 4 - 0,25x^2` met domein `[-5,5]`.
   1. De hellingwaarde van de grafiek voor `x=1` kun je bepalen met behulp van je grafische rekenmachine en met behulp van het differentiequotiënt op `[1,1 + h]`. In Voorbeeld 1 kun je nalezen hoe dat in zijn werk gaat.
      Bereken het differentiequotiënt op `[1,1 + h]`.
   2. Welke hellingwaarde heeft de grafiek nu voor `x=1`?
   3. Deze hellingwaarde is tevens de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek voor `x=1`. Stel een vergelijking van die raaklijn op.


4. Gegeven is de functie `f(x) = 4 - 0,25x^2` met domein `[-5,5]`.
   1. Met behulp van het differentiequotiënt op `[x,x + h]` kun je de afgeleide van de functie `f(x)` bepalen. Laat zien hoe dat gaat. Bekijk eventueel Voorbeeld 2.
   2. De lijn met vergelijking `y = -2x + 8` lijkt de grafiek te raken. Laat met een berekening zien dat dit inderdaad het geval is.


5. Bij functies met hogere machten is het berekenen van de afgeleide uit het differentiequotiënt `(f(x+h)-f(x))/h` vaak nogal bewerkelijk. In Voorbeeld 3 kun je nalezen hoe dat in zijn werk gaat bij `f(x)=x^3`.
   1. Probeer eerst zelf om de afgeleide van deze functie te bepalen. Controleer dan je antwoord door naar het voorbeeld te kijken.
   2. De hellingwaarde voor `x=2` is:
      1. `f(2)=8`
      2. `f'(2)=36`
      3. `f'(2)=12`
   3. Er zijn twee punten op de grafiek van `f` waarin de helling de waarde 6,75 heeft. Bereken de coördinaten van deze beide punten.
   4. Met de grafische rekenmachine kun je een benadering van de hellingsgrafiek tekenen door in het differentiequotiënt een heel klein getal voor `h` te nemen. Nu je een voorschrift voor de afgeleide hebt, kun je die echter ook rechtstreeks in beeld brengen. Controleer met behulp van je grafische rekenmachine dat beide manieren dezelfde grafiek opleveren.
   5. Welke van de volgende uitspraken zijn juist?
      1. Als voor een bepaalde functie `g` geldt dat `g'(0)=0` dan heeft deze functie een uiterste waarde voor `x=0`
      2. Als voor een bepaalde functie `g` geldt dat `g'(0)=0` dan heeft deze functie een horizontale raaklijn voor `x=0`.
      3. Als voor een bepaalde functie `g` geldt dat er een uiterste waarde is voor `x=0` dan is `g'(0)=0`.
      4. Als voor een bepaalde functie `g` geldt dat de grafiek een horizontale raaklijn heeft voor `x=0` dan is `g'(0)=0`.

Verwerken

6. Gegeven is de functie `f(x) = x^2 + 4x`.
   1. Bereken het hellingsgetal van de grafiek van `f` voor `x=1` met behulp van het differentiequotiënt op het interval `[1,1 + h]`. Controleer je antwoord met de grafische rekenmachine.
   2. Stel een functievoorschrift op voor de afgeleide van `f`.
   3. Met behulp van `f'(x)` kun je nogmaals de hellingwaarde voor `x=1` berekenen. Doe dat en ga na dat je dezelfde uitkomst krijgt dan bij a.
   4. De grafiek van `f'` heeft een nulpunt. Welke betekenis heeft dit punt voor de grafiek van `f`?
   5. Bereken de hellingwaarde van de grafiek van `f` in zijn nulpunten.
   6. De grafiek van `f` heeft precies één punt waarop de helling 2 is. Bereken de coördinaten van dit punt.


7. Voor een lichaam in vrije val (bijvoorbeeld een parachutespringer voordat hij zijn valscherm opent) geldt bij benadering `s(t) = 0,5gt^2` waarin `s` de afgelegde afstand in m na `t` seconden is. `g` is een constante, de gravitatieconstante van ongeveer `9,8` m/s².
   1. Hoeveel bedraagt de gemiddelde snelheid gedurende de eerste 10 seconden vrije val?
   2. De snelheid na 10 seconden vrije val is groter dan de gemiddelde snelheid over de eerste 10 seconden. Laat dit door middel van een berekening zien.
   3. Stel een formule op voor de snelheid als functie van `t`.
   4. Na hoeveel seconden vrije val beweegt het lichaam met een snelheid van `120` km/h?


8. Een constante functie heeft als voorschrift `f(x)=c`.
   Toon aan dat de afgeleide van een constante functie altijd de waarde 0 heeft.
   


9. Een bepaalde autofabrikant maakt als enige een kleine stadsauto. Voor de totale opbrengst van de verkoop van die auto’s geldt: `TO = 900q - 60q^2` waarin `TO` wordt uitgedrukt in duizendtallen en `q` de geplande productieomvang in honderdtallen per jaar voorstelt. Er wordt van uit gegaan dat alle geproduceerde auto’s ook worden verkocht.
   1. Stel een functievoorschrift op voor de afgeleide van deze opbrengstfunctie.
   2. Welke betekenis heeft `TO'(5)` voor de opbrengstfunctie?
   3. De autofabrikant wil onderzoeken hoe groot zijn productieomvang moet zijn om een maximale opbrengst te krijgen. Bereken deze productieomvang met behulp van de afgeleide. Controleer je antwoord met de grafische rekenmachine.


10. De hoeveelheid van een bepaalde giftige stof in het water van een meertje wordt op minder: de stof breekt op natuurlijke wijze af. Voor die hoeveelheid geldt `H(t) = 20 * 0,8^t` waarin `H` de hoeveelheid in milligram per liter is en `t` de tijd (in dagen) is, die is verstreken sinds de stof in het water terecht kwam.
    1. Hoeveel gram per liter is er gemiddeld in de eerste vier dagen verdwenen?
    2. De afbreeksnelheid van deze giftige stof is op `t=0` hoger dan op `t=4`. Bepaal beide afbreeksnelheden met je grafische rekenmachine en leg uit waarom ze verschillen.
    3. Je zou de afbreeksnelheid ook moeten kunnen berekenen met behulp van een differentiequotiënt. Daarbij doet zich echter een probleem voor. Welk?

Testen

11. Hier zie je grafiek van de functie `f(x) = 1,5x^2 + 4` op het interval `[-2,4]`.
    1. Bereken de gemiddelde verandering van `f(x)` op dit interval.
    2. Stel een functievoorschrift op voor de afgeleide `f'(x)`.
    3. Bereken de veranderingssnelheid van `f(x)` voor `x=2`.
    4. Stel een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van `f` voor `x=2`.


12. De kosten `K` (in euro) voor de productie van `q` liter van een bepaalde chemische stof bedragen `K(q) = 0,1q^2 + 0,7q + 12`.
    1. Met behulp van het differentiequotiënt over het interval `[q,q+h]` kun je een formule opstellen voor `K'(q)`. Stel die formule op, laat duidelijk zien hoe je te werk gaat.
    2. Hoe kun je aan de gevonden afgeleide zien, dat de kosten blijven stijgen bij toenemende `q`?