Het begrip afgeleide

Antwoorden bij de opgaven

1. 1. `(1,2*5^2)/(5) = 6` m/s
   2. `(Delta a)/(Delta t) = (1,2 * (5 + h)^2 - 1,2 * 5^2)/(5 + h - 5) = (12h + 1,2h^2)/(h) = 12 + 1,2h`
   3. `a'(5) = 12` m/s
2. 1. `(Delta a)/(Delta t) = (1,2 * (t + h)^2 - 1,2 * t^2)/(t + h - t) = (2,4th + 1,2h^2)/(h) = 2,4t + 1,2h`
   2. `a'(5) = 2,4t` m/s
   3. C
   4. `a'(5) = 2,4 * 5 = 12` m/s
   5. 50 km/h = `13 8/9` m/s, dus je moet oplossen `2,4 t = 13 8/9`.
      Dit geeft `t ~~ 5,79` seconden.
3. 1. `(Delta y)/(Delta x) = ((4 - 0,25(1 + h)^2) - (4 - 0,25*1^2))/(1 + h - 1) = (-0,5h - 0,25h^2)/(h) = -0,5 - 0,25h`
   2. `f'(1) = -0,5`
   3. `y = -0,5x + 4,25`
4. 1. `(Delta y)/(Delta x) = ((4 - 0,25(x + h)^2) - (4 - 0,25x^2))/(x + h - x) = (-0,5x - 0,25h^2)/(h) = -0,5x - 0,25h`
      `f'(x) = -0,5x`
   2. Dan moet `f'(x) = -0,5x = -2` voor een bepaalde waarde van `x`.
      Dat is het geval als `x=4`. Het punt `(4, f(4)) = (4, 0)` ligt ook op de lijn `y = -2x + 8`.
      En dus is deze lijn raaklijn van de grafiek van `f` voor `x=4`.
5. 1. -
   2. C
   3. `3x^2 = 6,75` geeft `x = +-1,25`, dus `(-1,5; -3,375)` en `(1,5; 3,375)`.
   4. -
   5. B en D zijn waar.
6. 1. `6`
   2. `f'(x) = 2x + 4`
   3. `f'(1) = 2*1 + 4 = 6`
   4. In dat punt heeft de grafiek van `f` een horizontale raaklijn. In dit geval is daar sprake van een minimum voor `f`.
   5. `f'(0) = 4` en `f'(-4) = -4`
   6. `f'(x) = 2x + 4 = 2` geeft `x = -1`, dus in `(-1,-3)`.
7. 1. `49` m/s
   2. `(Delta s)/(Delta t) = (4,9(10 + h)^2 - 4,9*10^2)/(h)` en dus is `s'(10) = 98` m/s
   3. `v(t) = s'(t) = 9,8t`
   4. 120 km/h = `33 1/3` m/s en `s'(t) = 9,8t = 33 1/3` geeft `t ~~ 3,40` s.
8. `(Delta y)/(Delta x) = (c - c)/h = 0` voor elke `h != 0`
9. 1. `TO'(q) = 900 - 120q`
   2. `TO'(5)` is de snelheid waarmee de opbrengst toeneemt (afneemt) bij toename van `q`.
   3. `TO'(q) = 900 - 120q = 0` als `q = 7,5`.
      De grafiek van `TO` is een bergparabool en heeft daarom een maximum bij `q = 7,5`.
      De maximale opbrengst treedt op bij een verkoop van 750 auto's per jaar.
10. 1. `(Delta H)/(Delta t) = (H(10) - H(0))/(10) ~~ -1,79` mg/L per dag
    2. `H'(0) ~~ -4,46` en `H'(4) ~~ -1,82` mg/L per dag.
       De afbreeksnelheid wordt steeds kleiner omdat de grafiek steeds minder sterk gaat dalen.
    3. `(Delta H)/(Delta t) = (20 * 0,8^(t+h) - 20 * 0,8^t)/(h)` kun je niet zo herleiden dat de deling door `h` is uit te voeren. Daarom kun je de limiet voor `h->0` nu nog niet berekenen.
11. 1. `(Delta y)/(Delta x) = (f(4) - f(-2))/(4 - -2) = (28 - 10)/6 = 3`
    2. `(Delta y)/(Delta x) = (1,5(x+h)^2+4 - (1,5x^2 + 4))/(h)` en dus is `f'(x) = 3x`
    3. `f'(2) = 6`
    4. `y = 6x - 2`
12. 1. `(Delta K)/(Delta q) = (0,1(q+h)^2 + 0,7(q+h) + 12 - (0,1q^2 + 0,7q + 12))/(h)` en dus is `K'(q) = 0,2q + 0,7`
    2. Als `q >= 0` dan is `K'(q) >= 0`.