Kansmodellen

Inleiding

Je hebt nu de basis van de kansrekening gelegd.
Maar als je een kansprobleem tegen komt, weet je dan welk kansmodel je moet toepassen?
Wanneer gebruik je het vaasmodel met of zonder teruglegging, wanneer de normale verdeling, wanneer de binomiale verdeling? En hoe zit het met het tekenen van een kansboom?

Je leert nu:

Je kunt al:

Verkennen

Twee ongeveer even sterke tennissers A en B spelen om drie gewonnen sets. (Dit betekent dat degene die het eerste drie sets wint de partij wint.)

> Hoe groot is de kans op een vijfsetter?

Uitleg

Goede tennisballen hebben een doorsnede van ongeveer 6,5 cm, een gewicht van ongeveer 57 gram en een stuiterhoogte (bij laten vallen vanaf 2,5 m) vanaf 1,27 m en tot en met 1,52 m. Stel je eens voor dat de ballen van de firma A de juiste doorsnede en het juiste gewicht hebben. Hun stuiterhoogte is normaal verdeeld met een gemiddelde van 1,40 m en een standaardafwijking van 0,05 cm. Voor een tennistoernooi zijn 100 van die ballen besteld. Hoe groot is de kans dat geen van deze ballen wordt afgekeurd?

Bij dit kansprobleem gaat het bij elke bal in eerste instantie om de juiste stuiterhoogte S. Daarbij speelt de normale verdeling een rol. De kans dat een bal niet de juiste stuiterhoogte heeft is:
P(S < 1,27 | μ = 1,40 en σ = 0,10) + P(S > 1,52 | μ = 1,40 en σ = 0,10) ≈ 0,013.
Elke tennisbal van firma A heeft een kans van 1,3% om te worden afgekeurd.

Vervolgens gaat het om het aantal ballen A dat wordt afgekeurd. De kans daarop is 0,013, de kans dat hij niet wordt afgekeurd is 0,987. Dit is het geval bij elke afzonderlijke tennisbal. Nu moet je dus een binomiaal kansmodel gebruiken. De gevraagde kans is:
P(A = 0 | n = 100 en p = 0,013) ≈ 0,270.

De gevraagde kans is ongeveer 27%.
Je hebt bij dit kansprobleem wel meerdere kansmodellen nodig!

‡

Opgaven

  1. In de Uitleg wordt besproken hoe je de kans uitrekent dat er van 100 tennisballen niet één wordt afgekeurd op de stuiterhoogte. Je ziet dat je daarbij zowel de normale verdeling als de binomiale verdeling nodig hebt.
    1. Voer zelf de kansberekening uit.
    2. Hoe groot is de kans dat hoogstens twee van die 100 tennisballen worden afgekeurd?
    3. Hoeveel tennisballen worden er naar verwachting afgekeurd?

  2. Bij het oplossen van een kansprobleem is het kiezen van het juiste kansmodel van het grootste belang.
    1. In welke omstandigheden kies je voor de normale verdeling als kansmodel? Welke gegevens heb je dan nodig?
    2. In welke omstandigheden kies je voor de binomiale verdeling als kansmodel? Welke gegevens heb je dan nodig?
    3. Wat doe je als geen van de voorgaande twee kansmodellen in aanmerking komen?

Theorie

Je hebt tot nu toe meerdere kansmodellen voorbij zien komen:

Belangrijk is nu de keuze voor het juiste kansmodel als je een bepaald kansprobleem krijgt voorgeschoteld.
Bij het maken van die keuze kijk je eerst om welke toevalsvariabele het gaat:

Kom je uit op het vaasmodel en gaat het om zulke grote aantallen dat een kansboom niet te tekenen is? Denk dan aan de binomiale verdeling...

Overigens is hiermee niet alles gezegd: er zijn kansproblemen die hele andere benaderingen vereisen. Misschien dat je daar later nog kennis mee maakt.

‡

Voorbeeld 1

X is het aantal punten dat je bij boogschieten bij elk schot kunt behalen. Voor speler A zie je hier een kansverdeling voor X:

x012345678910
P(X = x)0,020,020,040,100,090,110,120,120,150,150,08

Je schiet 10 keer. Hoe groot is de kans dat je hoogstens 2 keer meer dan 8 punten scoort?

Antwoord

A is het aantal keren dat je meer dan 8 punten scoort. Per schot heb je dezelfde kans op succes (meer dan 8 punten) of mislukking (8 of minder punten). A is dus binomiaal verdeeld met n = 10 en p = 0,15 + 0,08 = 0,23.

De gevraagde kans is: P(A ≤ 2 | n = 10 en p = 0,23) ≈ 0,586.

‡

Voorbeeld 2

Hoe bereken je het percentage appels van een bepaalde soort dat meer dan 130 gram weegt?

Antwoord

Het gaat hier om het gewicht G van appels.
Hopelijk is dit gewicht ongeveer normaal verdeeld, want andere kansverdelingen waarbij de variabele alle waarden uit een bepaald interval kan aannemen ken je waarschijnlijk niet. Dat kun je alleen nagaan door heel veel appels van die soort te wegen en dan de cumulatieve relatieve frequentietabel tegen de bovengrenzen van de klassen op normaal waarschijnlijkheidspapier uit te zetten.
Als je een rechte lijn kunt trekken die de gegevens goed benaderd, mag je concluderen dan er van een normale verdeling sprake is. En daarmee kun je dan de kans bepalen die hoort bij G > 130.
Dat kan nog op twee manieren:

‡

Voorbeeld 3

Het gewicht van een bepaalde soort appels is normaal verdeeld met een gemiddelde van 115 gram en een standaardafwijking van 20 gram.
Hoe groot is de kans dat van 10 willekeurige exemplaren van die appels er minstens 3 zijn die meer dan 140 gram wegen?

Antwoord

X is het aantal appels dat meer dan 140 gram weegt. Voor elke appel zijn er maar twee mogelijkheden: "succes" (gewicht meer dan 140 gram) of "mislukking" (gewicht van 140 gram of lager). X is dus binomiaal verdeeld met n = 10 en een p die nog moet worden vastgesteld.

Omdat het gewicht van de appels normaal is verdeeld, geldt:
p = P(G > 140 | μ = 115 en σ = 10) ≈ 0,1056.

De gevraagde kans is: P(X ≥ 3 | n = 10 en p = 0,1056) ≈ 0,080.

‡

Opgaven

  1. Voorbeeld 1 gaat over het berekenen van kansen bij het boogschieten.
    1. Er is een kansverdeling gegeven. Hoe zal die tot stand zijn gekomen?
    2. Hoe groot is de kans dat je geen punten scoort bij een bepaald schot?
    3. Je schiet vijf pijlen op het doel. Hoe groot is de kans dat je hoogstens 1 keer geen punten scoort?
    4. Je schiet vijf pijlen op het doel. Hoe groot is de kans dat je 2 keer 10 punten en 3 keer 9 punten scoort? Waarom is er nu geen sprake van een binomiaal kansmodel?

  2. Voorbeeld 2 en Voorbeeld 3 gaan over het gewicht van appels.
    1. Waarom zal het gewicht van appels waarschijnlijk normaal zijn verdeeld? Hoe stel je voor een bepaalde soort appels een normale verdeling op?
    Gebruik nu de gegevens van Voorbeeld 3.
    1. Hoe groot is de kans dat in een steekproef van 20 appels er vijf lichter zijn dan 80 gram?

  3. In de Theorie vind je de kansmodellen die in het HAVO wiskunde A programma voorkomen. Hieronder worden een aantal situaties beschreven waarin naar een kans wordt gevraagd. Zoek een passend kansmodel en bereken de gevraagde kans.
    1. Twee gelijkwaardige tennissers spelen een wedstrijd tegen elkaar. Het gaat er om wie het eerst drie sets heeft gewonnen. Hoe groot is de kans dat de wedstrijd vier sets duurt?
    2. In de voetbaltoto moet je van 13 wedstrijden voorspellen of de eerstgenoemde club wint, verliest of gelijk speelt. Hoe groot is de kans dat je van meer dan 10 wedstrijden de uitkomst goed voorspelt?
    3. De tijd die nodig is voor het aandraaien van zes schroeven bij de machinale productie van rekenmachine is normaal verdeeld met een gemiddelde van 12 seconden en een standaardafwijking van 1,5 seconden. Als in het productieproces hiervoor 14 seconden beschikbaar is, van hoeveel procent van de rekenmachines zijn deze schroefjes dan niet allemaal goed aangedraaid?
    4. Gebruik de gegevens bij c. Hoe groot is de kans dat in een steekproef van 20 rekenmachines van hoogstens 1 machine de schroefjes niet allemaal goed zijn aangedraaid?
    5. Het algemeen bestuur van een vereniging bestaat uit drie mannen en vier vrouwen. Door loting wordt daaruit elk jaar het dagelijks bestuur samengesteld. Dit dagelijkse bestuur bestaat uit drie personen. Hoe groot is de kans daat daar dit jaar minstens 2 vrouwen in zitten?

  4. In een kabinet zitten zes PvdA-, vijf VVD- en twee D’66-ministers. Drie ministers overleggen met elkaar. Hoe groot is de kans dat ze alledrie van een andere partij zijn?
    1. Bij dit vraagstuk kun je het vaasmodel toepassen. Je stelt het kabinet voor door een hoge hoed met ballen. In de hoed zitten evenveel rode ballen als er PvdA ministers zijn, witte ballen als er D’66 ministers zijn en blauwe ballen als er VVD ministers zijn. Hoe gaat de trekking in zijn werk?
    2. Bereken de gevraagde kans.
    3. `X` stelt het aantal D’66’ers bij de drie overleggende ministers voor. Stel een kansverdeling op voor `X` en bepaal de verwachtingswaarde.

Verwerken

  1. Je gooit met twee viervlaksdobbelstenen. `X` is de som van het aantal ogen dat onder komt te liggen.
    1. Stel een kansverdeling op voor `X`.
    2. Hoeveel ogen verwacht je gemiddeld te gooien op den duur?

  2. Ernie heeft drie kaarten. Eén kaart is aan beide zijden rood, één kaart is aan beide zijden wit en de derde kaart is aan een kant rood en aan de andere kant wit. Ernie stopt de kaarten in een hoge hoed en schudt. Zonder te kijken pakt hij er één uit en legt hem op tafel. De bovenkant van de kaart blijkt wit te zijn. Hij zegt tegen Bert: "Zullen we om een autootje wedden dat de onderkant ook wit is?"
    Bert gaat op de weddenschap in. Hij denkt dat hij een even grote kans heeft om te winnen als Ernie omdat de kaart die op tafel ligt wit-wit of wit-rood moet zijn. Bert verliest het spelletje. De kaart was aan de onderkant wit.
    Maar Bert geeft niet zo snel op! Ze spelen een groot aantal spelletjes. Ernie beweert steeds dat de onderkant van de kaart dezelfde kleur heeft als de bovenkant. Bert beweert het tegendeel.
    1. Leg uit, dat de kans dat Bert een spelletje wint `1/3` is.
    Nu Bert begrijpt dat hij veel vaker verliest dan wint, zoekt Ernie een ander slachtoffer. Hij vindt Koekiemonster bereid. Ernie speelt op dezelfde manier tegen Koekiemonster als hij speelde tegen Bert. Steeds spelen ze een serie spelletjes waarbij ze beginnen met elk drie koekjes. De winnaar van een spelletje krijgt een koekje van de verliezer. Zodra één van de spelers geen koekjes meer heeft is de serie afgelopen.
    1. Bereken de kans dat een serie al na drie spelletjes is afgelopen.
    2. Hoe groot is de kans dat een serie na vier spelletjes is afgelopen?

  3. De gemiddelde temperatuur over een kalenderjaar, de zogenaamde jaartemperatuur, gedraagt zich nogal grillig. Bijvoorbeeld was in 1989 de jaartemperatuur liefst 1,4°C hoger dan het gemiddelde van alle jaartemperaturen vanaf 1900 tot en met 1989.
    In het histogram (met klassenbreedte 0,2°C) staat de frequentieverdeling van de jaartemperatuur voor het tijdvak 1900–1989 uitgezet.



    Een klimatoloog veronderstelt dat de jaartemperatuur over een lange periode normaal is verdeeld. De 90 jaartemperaturen hebben een gemiddelde van 9,2C en een standaardafwijking van 0,6°C.
    Als je er van uitgaat dat ook deze jaartemperaturen normaal zijn verdeeld, dan wijkt het histogram nogal van de klokvorm af. Van de 90 jaren blijken er 13 te zijn met een afwijking van meer dan 0,7°C onder het gemiddelde.
    1. Hoeveel jaren met een afwijking van meer dan 0,7°C onder het gemiddelde had je mogen verwachten? Licht het antwoord toe met een berekening.
    2. Jaren met een jaartemperatuur die meer dan 1,1C boven het gemiddelde uitstijgt, worden uitzonderlijk warm genoemd. Laat zien dat je drie van die "uitzonderlijk warme" jaren per eeuw mag verwachten.

  4. Bij bridge worden de 52 speelkaarten aselect over vier mensen verdeeld. Om goed te bieden is het handig als je de kaarten in je hand op een eenvoudige manier kunt waarderen. Dat gaat met een puntensysteem. Een aas is 4 punten, een heer 3, een vrouw 2 en een boer 1 punt waard. De rest van de kaarten krijgt geen punten.
    Hoe groot is de kans dat een speler precies 4 punten heeft na het delen van vier kaarten?

  5. Bij een experiment heb je de beschikking over 5 vrouwelijke en 5 mannelijke proefpersonen. Deze worden willekeurig in twee groepen A en B van ieder vijf personen verdeeld.
    1. Hoe groot is de kans dat in groep A minstens 4 vrouwen zitten?
    Bij een herhaling van dit experiment worden de twee groepen van vijf personen aselect samengesteld uit een bestand van 5000 mannen en 5000 vrouwen.
    1. Hoe groot is nu de kans dat in groep A minstens 4 vrouwen zitten?

  6. Flesjes voor 0,25 liter van een bepaalde frisdrank worden machinaal gevuld. Daardoor is het vulvolume normaal verdeeld met een gemiddelde van 0,27 liter en een standaardafwijking van 0,01 liter.
    1. Hoe groot is de kans dat er in zo'n fles te weinig frisdrank zit?
    2. Je koopt een krat met 24 van die flesjes frisdrank. Hoe groot is de kans dat daarin hoogstens 2 flesjes zit met te weinig frisdrank?
    3. De fabrikant wil dat niet meer dan 1% van zijn flesjes te licht is. De vulmachine kan niet nauwkeuriger worden afgesteld, dus moet er gemiddeld iets meer frisdrank in de flesjes. Hoe groot bedraagt dit nieuwe gemiddelde?

Testen

  1. In een vaas zitten drie gele en vijftien groene ballen. Iemand trekt zonder teruglegging driemaal een bal uit de vaas. Het aantal gele ballen wordt `G` genoemd.
    1. Stel een kansverdeling op voor `G`.
    2. Hoeveel gele ballen verwacht je?

  2. Twee meisjes spelen een spel. Een speelster wint als zij driemaal heeft gescoord. De speelsters zijn niet even sterk. Speelster A heeft een kans van 25% om te scoren, en speelster B een kans van 75%.
    Bereken de kans dat A wint.

  3. Volgens de reglementen van de Koninklijke Nederlandse Lawn Tennis Bond (KNLTB) moet het gewicht van een tennisbal tussen 56,7 en 58,5 gram liggen. Een fabrikant maakt tennisballen waarvan het gewicht normaal is verdeeld met een gemiddelde van 57,6 gram en een standaardafwijking van 0,44 gram.
    1. Laat zien dat van zijn tennisballen ongeveer 96% aan de reglementen voldoet.
    2. Hoe groot is de kans dat van een set van 30 tennisballen minstens 28 aan de norm voldoen?
    3. De fabrikant koopt een machine waarmee het gewicht van de tennisballen nauwkeuriger kan worden afgesteld. Het gemiddelde gewicht blijft gelijk, maar de standaarddeviatie wordt zoveel kleiner dat nu 98% van zijn tennisballen aan de reglementen voldoet. Hoeveel bedraagt nu de standaardafwijking?