Niet-binomiaal

Inleiding

Het binomiale kansmodel is erg overzichtelijk: er zijn maar twee mogelijkheden "succes" of "mislukking" en het gaat om herhaling van steeds dezelfde kanssituatie. Maar natuurlijk bestaan er heel veel kansproblemen waarbij er meer dan twee mogelijkheden zijn en/of er geen herhaling plaatsvindt. Denk bijvoorbeeld in het vaasmodel aan een trekking zonder teruglegging.
Je zult in dit onderdeel een paar van die kansproblemen tegenkomen.
Bovendien zul je zien dat je soms dat toch het binomiale kansmodel als benadering kunt gebruiken.

Je leert nu:

• enkele niet-binomiale kansproblemen aanpakken;
• de bijbehorende kansverdelingen opstellen.

Je kunt al:

• werken met het vaasmodel;
• een kansverdeling opstellen bij een vaasmodel;
• werken met binomiale kansverdelingen.

Verkennen

In een groep van 25 mannen zijn 2 leden van die groep kleurenblind.
Je trekt aselect een steekproef van vier mannen uit deze groep.

> Hoe groot is de kans dat daarbij één kleurenblinde man zit?

Van alle westerse mannen is 8% kleurenblind.
Je trekt aselect een steekproef van vier mannen uit deze groep.

> Hoe groot is de kans dat daarbij één kleurenblinde man zit?

Uitleg

In een groep van 30 personen hebben 10 mensen een bepaalde eigenschap en de rest niet. Uit die groep wordt aselect een steekproef van 5 getrokken.
M is het aantal mensen met deze eigenschap in deze steekproef.

Wil je nu een kansverdeling voor M opstellen, dan bedenk je dat het hier gaat om trekking zonder terugleggen. Dit betekent dat de kansen afhankelijk zijn van elkaar en dat een binomiaal kansmodel niet mogelijk is.
De kans op bijvoorbeeld M = 2 kun je zo berekenen:

P(M = 2) = $\frac{10}{30}$ · $\frac{9}{29}$ · $\frac{20}{28}$ · $\frac{19}{27}$ · $\frac{18}{26}$ · $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)$ ≈ 0,3600.

Ga na, dat je deze kansverdeling krijgt:

Je kunt met behulp van de tabel de verwachting berekenen.
Je vindt E(M) ≈ 1,667.

Kennelijk gaat E(M) = 5 · $\frac{10}{30}$ = 1$\frac{2}{3}$ ook hier op.

In een groep van 30.000 personen hebben 10.000 mensen een bepaalde eigenschap en de rest niet. Uit die groep wordt aselect een steekproef van 5 getrokken.
M is het aantal mensen met deze eigenschap in deze steekproef.

Wil je nu een kansverdeling voor M opstellen, dan bedenk je dat het hier gaat om trekking zonder terugleggen. Dit betekent dat de kansen afhankelijk zijn van elkaar en dat een binomiaal kansmodel niet mogelijk is. De kans op M = 2 is:

P(M = 2) = $\frac{10000}{30000}$ · $\frac{9999}{29999}$ · $\frac{20000}{29998}$ · $\frac{19999}{29997}$ · $\frac{19998}{29996}$ · $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)$ ≈ 0,3292.

Nu verschilt een breuk als $\frac{9999}{29999}$ vrijwel niet van $\frac{10000}{30000}$ = $\frac{1}{3}$.

En daarom kun je als je een kleine steekproef uit een heel grote populatie trekt toch wel het binomiale kansmodel gebruiken, hoewel het eigenlijk niet om gelijke kansen gaat. Zie maar:

P(M = 2) ≈ ($\frac{1}{3}$)² · ($\frac{2}{3}$)³ · $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)$ ≈ 0,3292.

Zelfs op vier decimalen nauwkeurig zijn beide kansen gelijk. In de praktijk wordt bij een steekproef uit een heel veel grotere populatie waarbij het gaat om het wel of niet hebben van een bepaalde eigenschap gewoon het binomiale kansmodel gebruikt.

‡

Opgaven

1. In de Uitleg wordt besproken hoe er bij het trekken van een steekproef rekening mee moet houden dat dit zonder teruglegging gebeurt.
   In een klas van 25 leerlingen dragen 8 personen contactlenzen. Uit deze klas trek je een aselecte steekproef van 5 leerlingen.
   1. Bereken de kans dat 2 leerlingen in die steekproef contactlenzen dragen.
   2. Stel een kansverdeling op voor het aantal leerlingen met contactlenzen in de steekproef.
   3. Hoeveel leerlingen met contactlenzen verwacht je in de steekproef?


2. Stel je voor dat op een school van 1400 leerlingen 30% van de leerlingen contactlenzen draagt. Weer trek je een aselecte steekproef van 5 leerlingen.
   1. Bereken de kans dat 2 leerlingen in die steekproef contactlenzen dragen.
   2. Doe dit ook door een binomiale verdeling te gebruiken. Levert dit een goede benadering op? Wat is het voordeel van het gebruiken van een binomiaal kansmodel?
   3. Hoeveel leerlingen met contactlenzen verwacht je in de steekproef?


3. Je weet dat 30% van de leerlingen van een school met 1400 leerlingen contactlenzen dragen. Je trekt nu een steekproef van 50. Je wilt de kans berekenen dat er 10 personen in de steekproef contaclenzen dragen.
   1. Waarom zul je dit met een binomiale kansverdeling aanpakken?
   2. Bereken de gevraagde kans.

Theorie

Heel vaak is een bepaalde kansprobleem helemaal niet binomiaal. Dan is er geen sprake van een herhaling van gelijke kansexperimenten met twee mogelijkheden ("succes" of "mislukking").

Bijvoorbeeld als het gaat om een kleine populatie van bijvoorbeeld 25 elementen waarvan er 5 een bepaalde eigenschap hebben. Je trekt daaruit zonder teruglegging een steekproef van 6 elementen. X is dan het aantal elementen in de steekproef dat deze eigenschap heeft. De bijbehorende kansen zien er zo uit:

P(X = 2) = $\frac{5}{25}$ · $\frac{4}{24}$ · $\frac{15}{23}$ · $\frac{14}{22}$ · $\frac{13}{21}$ · $\frac{12}{20}$ · $\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)$.

Voor de verwachtingswaarde geldt: E(X) = 25 · $\frac{5}{25}$.

Bij een kleine steekproef uit een heel grote populatie (bijvoorbeeld 6 uit de 25000 waarvan er 5000 een zekere eigenschap hebben) kun je toch wel het binomiale kansmodel gebruiken, hoewel het eigenlijk niet om gelijke kansen gaat. Dat komt omdat dan breuken als $\frac{5000}{25000}$ en $\frac{4999}{24999}$ vrijwel gelijk zijn.
In de praktijk wordt bij een steekproef uit een heel veel grotere populatie waarbij het gaat om het wel of niet hebben van een bepaalde eigenschap gewoon het binomiale kansmodel gebruikt.

‡

Voorbeeld 1

In een klas zitten 8 jongens en 12 meisjes. Daaruit wordt een aselecte steekproef van 4 personen getrokken. M is het aantal meisjes in de steekproef.
Stel een een kansverdeling op voor M en bepaal de verwachtingswaarde.

Antwoord

Bij de steekproef gaat het om trekking zonder terugleggen van 4 elementen uit een populatie van 20.
De kans op bijvoorbeeld M = 3 is:

P(M = 3) = $\frac{12}{20}$ · $\frac{11}{19}$ · $\frac{10}{18}$ · $\frac{8}{17}$ · 4 ≈ 0,3633.

De complete kansverdeling wordt:

Met de GR vind je uit deze kansverdeling: E(M) = 2,4.

‡

Voorbeeld 2

Op een scholengemeenschap zitten 800 jongens en 1200 meisjes. Daaruit wordt een aselecte steekproef van 4 personen getrokken. M is het aantal meisjes in de steekproef. Stel een een kansverdeling op voor M en bepaal de verwachtingswaarde. Laat zien dat je kansen vrijwel hetzelfde zijn als je een binomiaal kansmodel gebruikt.

Antwoord

Bij de steekproef gaat het om trekking zonder terugleggen van 4 elementen uit een populatie van 2000.
De kans op bijvoorbeeld M = 3 is:

P(M = 3) = $\frac{1200}{2000}$ · $\frac{1199}{1999}$ · $\frac{1198}{1998}$ · $\frac{800}{1997}$ · 4 ≈ 0,3458.

Dit is vrijwel gelijk aan P(M = 3) = ($\frac{1200}{2000}$)³ · $\frac{800}{2000}$ · 4 ≈ 0,3456.

Je kunt de kansen goed benaderen met een binomiaal kansmodel:

En nu vind je: E(M) = 4 · $\frac{1200}{2000}$ = 2,4.

‡

Voorbeeld 3

Je hebt gelezen dat op dit moment 23% van alle Nederlandse meisjes van 12 t/m 18 jaar rookt. Je weet dat deze groep meisjes uit ongeveer 450.000 personen bestaat. Je vraagt 50 jou onbekende Nederlandse meisjes uit die leeftijdscategorie of ze roken.
Hoe groot is de kans dat minstens 15 daarvan dit doen?

Antwoord

Hier is sprake van een steekproef uit een veel grotere populatie. Hoewel in feite sprake is van trekking zonder terugleggen, kun je het aantal rokende meisjes M in de steekproef opvatten als binomiaal verdeeld.

De gevraagde kans is daarom P(M ≥ 15) = 1 – P(X ≤ 14) ≈ 0,1565.

‡

Opgaven

4. In Voorbeeld 1 zie je nog eens hoe je bij het trekken van een steekproef uit een kleine populatie rekening moet houden met trekking zonder terugleggen.
   1. Reken de kansen in de gegeven kansverdeling zelf na.
   2. Hoe groot is de kans op minstens 2 meisjes in de steekproef?
   3. Laat met behulp van de tabel zien dat het verwachte aantal meisjes in de steekproef inderdaad 2,4 is.


5. In Voorbeeld 2 zie je dat bij een kleine steekproef uit een hele grote populatie de kansen goed kunnen worden benaderd met de binomiale kansverdeling.
   1. Laat dit zelf zien voor `M = 2`.
   2. Hoe groot is de kans op hoogstens 2 meisjes in de steekproef?


6. Bekijk Voorbeeld 3.
   1. Waarom wordt in dit geval er zonder meer van uit gegaan dat je een binomiaal kansmodel kunt gebruiken?
   2. Bereken zelf de kans dat er minstens 10 rokers in de steekproef voorkomen.
   3. Hoeveel rokers verwacht je in de steekproef?


7. Zes vrienden gaan naar een zeer druk bezochte hondententoonstelling. Ieder komt op eigen gelegenheid. Elke bezoeker ontvangt bij binnenkomst een enveloppe. Eén op de drie enveloppen bevat een cadeaubon.
   1. Bereken de kans dat precies twee van de zes vrienden een cadeaubon krijgen.
   De vrienden spreken af dat zij bij aankomst in de koffiekamer van het gebouw op elkaar zullen wachten. Twee van de zes vrienden zullen elk hun hond meenemen naar de tentoonstelling. Op het moment dat vier van de zes vrienden aanwezig zijn, hebben zij X honden bij zich. Neem aan dat de volgorde waarin de vrienden aankomen willekeurig is.
   2. Bereken de kans dat precies twee van die vier vrienden hun hond bij zich hebben.
   De vrienden nemen aan dat 30% van alle bezoekers hun eigen hond meenemen naar de tentoonstelling. Zij bekijken een aselecte steekproef van 20 bezoekers en kijken naar het aantal meegebrachte honden.
   3. Bereken de kans dat dit aantal tussen 3 en 11 ligt.

Verwerken

8. Een gezelschap bestaat uit drie mannen, vier vrouwen en vijf kinderen. Op een buurtfeest moet op aselecte wijze een team van vier personen uit de groep samengesteld worden om aan een spel deel te nemen.
   1. Hoe groot is de kans dat in de groep twee kinderen zitten?
   2. Hoe groot is de kans dat in de groep van vier minstens twee vrouwen zitten?
   3. Hoe groot is de kans dat de groep louter uit vrouwen en kinderen bestaat?
   4. Hoeveel kinderen mag je in de groep verwachten?


9. Een partij van 1000 blikken met groente heeft lange tijd in een magazijn gelegen. Je mag aannemen dat van 10% van de blikken de uiterste verkoopdatum verstreken is. Je kiest aselect 8 blikken uit de partij en controleert de verkoopdatum. Je vraagt je af hoe groot de kans is dat je in die steekproef wel drie blikken aantreft die te oud zijn.
   1. Is dit een trekking met of zonder terugleggen?
   2. Hoe groot is de genoemde kans?
   3. Bereken deze kans ook met het binomiale kansmodel. Hoe groot is het verschil tussen beide berekeningen?
   4. Waarom is het gebruik van een binomiaal kansmodel in dit geval gerechtvaardigd?
   5. Bereken de kans dat je maximaal 3 blikken gekozen hebt waarvan de uiterste verkoopdatum verstreken is.


10. Het bestuur van een politieke partij bestaat uit 20 personen, waarvan 40% jonger is dan 28 jaar. Door het lot worden 4 personen aangewezen om deel te nemen aan een buitenlandse reis.
    1. Hoeveel personen van de groep van 4 zijn naar verwachting jonger dan 28 jaar?
    2. Bepaal de kans, dat drie van de vier personen jonger zijn dan 28 jaar.
    3. Benader deze kans ook met behulp van een binomiaal kansmodel. Hoe groot is de afwijking met de juiste kans?
    Tijdens een regionale bijeenkomst van diezelfde partij zijn 100 leden aanwezig. Van deze leden is 40% jonger dan 35 jaar. Door het lot worden 4 personen aangewezen om deze regionale groepering te vertegenwoordigen op het landelijk congres van de partij.
    4. Bepaal de kans dat drie van de vier afgevaardigden jonger zijn dan 35 jaar.
    5. Benader ook deze kans binomiaal. Vind je nu een groot verschil? Verklaar je antwoord.


11. In een doos zitten 30 uiterlijk allemaal dezelfde bonbons. 5 bonbons hebben echter een roomvulling en de andere een caramelvulling. Uit de doos worden vier bonbons genomen.
    1. Hoe groot is de kans dat er precies één bonbon met een roomvulling uit wordt gehaald?
    2. Hoe groot is de kans dat dat er twee of meer zijn?
    3. Hoe groot is de kans dat de vier er uitgenomen bonbons op één na allemaal een roomvulling hebben?


12. Van alle leerlingen uit het basisonderwijs is bekend dat 90% rechtshandig is.
    Hoe groot is de kans dat je in een willekeurig gekozen groep van 20 kinderen minder dan 16 rechtshandigen aantreft?
    

Testen

13. Bij een importeur staan 1000 auto’s. Van de fabrikant hoort hij dat 100 auto’s uit die voorraad gebreken vertonen.
    Twee medewerkers berekenen voor een steekproef van 4 auto’s uit de voorraad de kansen op het aantreffen van een auto met gebreken. De ene medewerker doet dit ‘met terugleggen’ en de ander ‘zonder terugleggen’.
    1. Stel de kansverdelingen op voor beide medewerkers.
    2. Vergelijk de kansverdelingen. Bij welke decimaal treedt er pas verschil op?
    3. Hoe groot is in gehele procenten nauwkeurig de kans dat minstens 2 van de 4 auto's uit de steekproef gebreken hebben?


14. Op zaterdagavond zit Jos, die iedere week meespeelt in de Lotto, gespannen voor de t.v. om de trekking van de 6 getallen mee te maken. (Het zogenaamde reservegetal laten we even buiten beschouwing.) Er zitten 41 balletjes met daarop de getallen 1 tot en met 41 in een ronddraaiende trommel waaruit er telkens één wordt getrokken.
    1. Hoe groot is de kans dat er zes even nummers worden getrokken?
    2. Als er twee even nummers zijn getrokken, hoe groot is dan nog de kans dat de volgende vier balletjes ook een even nummer hebben?
    3. Hoe groot is de kans, dat elk van de zes getrokken getallen kleiner is dan 15?
    4. Jos heeft de nummers 5, 10, 15, 20, 25 en 30 op zijn formulier aangekruist. Hoe groot is de kans dat hij ze alle zes goed heeft?