Niet-binomiaal

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-a > Statistiek en kansrekening > Kansmodellen > Niet-binomiaal > Inleiding

Beantwoord de vragen bij Verkennen.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-a > Statistiek en kansrekening > Kansmodellen > Niet-binomiaal > Uitleg

Opgaven

1. In de Uitleg wordt besproken hoe er bij het trekken van een steekproef rekening mee moet houden dat dit zonder teruglegging gebeurt.
   In een klas van 25 leerlingen dragen 8 personen contactlenzen. Uit deze klas trek je een aselecte steekproef van 5 leerlingen.
   1. Bereken de kans dat 2 leerlingen in die steekproef contactlenzen dragen.
   2. Stel een kansverdeling op voor het aantal leerlingen met contactlenzen in de steekproef.
   3. Hoeveel leerlingen met contactlenzen verwacht je in de steekproef?


2. Stel je voor dat op een school van 1400 leerlingen 30% van de leerlingen contactlenzen draagt. Weer trek je een aselecte steekproef van 5 leerlingen.
   1. Bereken de kans dat 2 leerlingen in die steekproef contactlenzen dragen.
   2. Doe dit ook door een binomiale verdeling te gebruiken. Levert dit een goede benadering op? Wat is het voordeel van het gebruiken van een binomiaal kansmodel?
   3. Hoeveel leerlingen met contactlenzen verwacht je in de steekproef?


3. Je weet dat 30% van de leerlingen van een school met 1400 leerlingen contactlenzen dragen. Je trekt nu een steekproef van 50. Je wilt de kans berekenen dat er 10 personen in de steekproef contaclenzen dragen.
   1. Waarom zul je dit met een binomiale kansverdeling aanpakken?
   2. Bereken de gevraagde kans.

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-a > Statistiek en kansrekening > Kansmodellen > Niet-binomiaal > Theorie

Bekijk eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

4. In Voorbeeld 1 zie je nog eens hoe je bij het trekken van een steekproef uit een kleine populatie rekening moet houden met trekking zonder terugleggen.
   1. Reken de kansen in de gegeven kansverdeling zelf na.
   2. Hoe groot is de kans op minstens 2 meisjes in de steekproef?
   3. Laat met behulp van de tabel zien dat het verwachte aantal meisjes in de steekproef inderdaad 2,4 is.


5. In Voorbeeld 2 zie je dat bij een kleine steekproef uit een hele grote populatie de kansen goed kunnen worden benaderd met de binomiale kansverdeling.
   1. Laat dit zelf zien voor `M = 2`.
   2. Hoe groot is de kans op hoogstens 2 meisjes in de steekproef?


6. Bekijk Voorbeeld 3.
   1. Waarom wordt in dit geval er zonder meer van uit gegaan dat je een binomiaal kansmodel kunt gebruiken?
   2. Bereken zelf de kans dat er minstens 10 rokers in de steekproef voorkomen.
   3. Hoeveel rokers verwacht je in de steekproef?


7. Zes vrienden gaan naar een zeer druk bezochte hondententoonstelling. Ieder komt op eigen gelegenheid. Elke bezoeker ontvangt bij binnenkomst een enveloppe. Eén op de drie enveloppen bevat een cadeaubon.
   1. Bereken de kans dat precies twee van de zes vrienden een cadeaubon krijgen.
   De vrienden spreken af dat zij bij aankomst in de koffiekamer van het gebouw op elkaar zullen wachten. Twee van de zes vrienden zullen elk hun hond meenemen naar de tentoonstelling. Op het moment dat vier van de zes vrienden aanwezig zijn, hebben zij X honden bij zich. Neem aan dat de volgorde waarin de vrienden aankomen willekeurig is.
   2. Bereken de kans dat precies twee van die vier vrienden hun hond bij zich hebben.
   De vrienden nemen aan dat 30% van alle bezoekers hun eigen hond meenemen naar de tentoonstelling. Zij bekijken een aselecte steekproef van 20 bezoekers en kijken naar het aantal meegebrachte honden.
   3. Bereken de kans dat dit aantal tussen 3 en 11 ligt.

Verwerken

8. Een gezelschap bestaat uit drie mannen, vier vrouwen en vijf kinderen. Op een buurtfeest moet op aselecte wijze een team van vier personen uit de groep samengesteld worden om aan een spel deel te nemen.
   1. Hoe groot is de kans dat in de groep twee kinderen zitten?
   2. Hoe groot is de kans dat in de groep van vier minstens twee vrouwen zitten?
   3. Hoe groot is de kans dat de groep louter uit vrouwen en kinderen bestaat?
   4. Hoeveel kinderen mag je in de groep verwachten?


9. Een partij van 1000 blikken met groente heeft lange tijd in een magazijn gelegen. Je mag aannemen dat van 10% van de blikken de uiterste verkoopdatum verstreken is. Je kiest aselect 8 blikken uit de partij en controleert de verkoopdatum. Je vraagt je af hoe groot de kans is dat je in die steekproef wel drie blikken aantreft die te oud zijn.
   1. Is dit een trekking met of zonder terugleggen?
   2. Hoe groot is de genoemde kans?
   3. Bereken deze kans ook met het binomiale kansmodel. Hoe groot is het verschil tussen beide berekeningen?
   4. Waarom is het gebruik van een binomiaal kansmodel in dit geval gerechtvaardigd?
   5. Bereken de kans dat je maximaal 3 blikken gekozen hebt waarvan de uiterste verkoopdatum verstreken is.


10. Het bestuur van een politieke partij bestaat uit 20 personen, waarvan 40% jonger is dan 28 jaar. Door het lot worden 4 personen aangewezen om deel te nemen aan een buitenlandse reis.
    1. Hoeveel personen van de groep van 4 zijn naar verwachting jonger dan 28 jaar?
    2. Bepaal de kans, dat drie van de vier personen jonger zijn dan 28 jaar.
    3. Benader deze kans ook met behulp van een binomiaal kansmodel. Hoe groot is de afwijking met de juiste kans?
    Tijdens een regionale bijeenkomst van diezelfde partij zijn 100 leden aanwezig. Van deze leden is 40% jonger dan 35 jaar. Door het lot worden 4 personen aangewezen om deze regionale groepering te vertegenwoordigen op het landelijk congres van de partij.
    4. Bepaal de kans dat drie van de vier afgevaardigden jonger zijn dan 35 jaar.
    5. Benader ook deze kans binomiaal. Vind je nu een groot verschil? Verklaar je antwoord.


11. In een doos zitten 30 uiterlijk allemaal dezelfde bonbons. 5 bonbons hebben echter een roomvulling en de andere een caramelvulling. Uit de doos worden vier bonbons genomen.
    1. Hoe groot is de kans dat er precies één bonbon met een roomvulling uit wordt gehaald?
    2. Hoe groot is de kans dat dat er twee of meer zijn?
    3. Hoe groot is de kans dat de vier er uitgenomen bonbons op één na allemaal een roomvulling hebben?


12. Van alle leerlingen uit het basisonderwijs is bekend dat 90% rechtshandig is.
    Hoe groot is de kans dat je in een willekeurig gekozen groep van 20 kinderen minder dan 16 rechtshandigen aantreft?
    

Testen

13. Bij een importeur staan 1000 auto’s. Van de fabrikant hoort hij dat 100 auto’s uit die voorraad gebreken vertonen.
    Twee medewerkers berekenen voor een steekproef van 4 auto’s uit de voorraad de kansen op het aantreffen van een auto met gebreken. De ene medewerker doet dit ‘met terugleggen’ en de ander ‘zonder terugleggen’.
    1. Stel de kansverdelingen op voor beide medewerkers.
    2. Vergelijk de kansverdelingen. Bij welke decimaal treedt er pas verschil op?
    3. Hoe groot is in gehele procenten nauwkeurig de kans dat minstens 2 van de 4 auto's uit de steekproef gebreken hebben?


14. Op zaterdagavond zit Jos, die iedere week meespeelt in de Lotto, gespannen voor de t.v. om de trekking van de 6 getallen mee te maken. (Het zogenaamde reservegetal laten we even buiten beschouwing.) Er zitten 41 balletjes met daarop de getallen 1 tot en met 41 in een ronddraaiende trommel waaruit er telkens één wordt getrokken.
    1. Hoe groot is de kans dat er zes even nummers worden getrokken?
    2. Als er twee even nummers zijn getrokken, hoe groot is dan nog de kans dat de volgende vier balletjes ook een even nummer hebben?
    3. Hoe groot is de kans, dat elk van de zes getrokken getallen kleiner is dan 15?
    4. Jos heeft de nummers 5, 10, 15, 20, 25 en 30 op zijn formulier aangekruist. Hoe groot is de kans dat hij ze alle zes goed heeft?