Lineair gebroken functies

Inleiding

Ga je met de auto van het centrum van Apeldoorn naar dat van Deventer, dan geeft de ANWB-routeplanner aan dat je een stuk van 16 km op de snelweg moet rijden. Hoe sneller je rijdt, hoe korter je over die 16 km doet. Maar stel je voor dat je onderweg 5 minuten nodig hebt om brandstof te tanken. De tijd die je nodig hebt is nu niet omgekeerd evenredig met de snelheid.

Je leert nu:

• wat een lineair gebroken functie is;
• hoe de formule van een lineair gebroken functie er uitziet;
• vergelijkingen oplossen bij lineair gebroken functies.

Je kunt al:

• werken met machten en machtsfuncties;
• werken met het begrip omgekeerd evenredig;
• werken met breuken.

Verkennen

Bekijk het verhaal van de route van het centrum van Apeldoorn naar dat van Deventer bij de Inleiding.

> Je mag maximaal 120 km/h rijden op de snelweg. Hoeveel minuten ben je onderweg?
> Het is druk dus je rijdt (gemiddeld) 80 km/h. Hoeveel minuten ben je onderweg?
> Waarom zijn de reistijd t (in min.) en de snelheid v (in km/h) nu niet omgekeerd evenredig?
> Welke formule kun je opstellen voor t als functie van v?

Uitleg

Van Apeldoorn naar Deventer is met de auto 16 km over de snelweg. Hoe sneller je rijdt, hoe korter je over die 16 km doet. Je gebruikt onderweg 5 minuten voor het tanken van brandstof.

• Je mag maximaal 120 km/h rijden op de snelweg. Je bent dan $\frac{16}{120}\cdot 60$ + 5 = 13 minuten onderweg.
• In de drukte kun je (gemiddeld) maar 60 km/h rijden. Dan ben je $\frac{16}{60}\cdot 60$ + 5 = 21 minuten onderweg.

Nu betekent een verdubbeling van de snelheid NIET een halvering van de reistijd. Snelheid en reistijd zijn NIET omgekeerd evenredig.

Je kunt de reistijd t in minuten berekenen door de afstand van 16 km te delen door de snelheid v (in km/h), dan met 60 te vermenigvuldigen en tenslotte nog 5 bij de uitkomst op te tellen:
t = $\frac{16}{v}\cdot 60$ + 5 = $\frac{960}{v}$ + 5

De grafiek van zo'n lineair gebroken verband zie je hiernaast.
Voor snelheden dicht bij 0 wordt de reistijd heel erg groot.
Voor hele grote snelheden komt de reistijd in de buurt van de 5 minuten.
De grafiek heeft twee asymptoten.

‡

Opgaven

1. Bekijk in de Uitleg de reistijd van Apeldoorn naar Deventer afhankelijk van de gemiddelde snelheid.
   Iemand uit Apeldoorn bezoekt regelmatig familie in Rotterdam. De afstand tussen Apeldoorn en Rotterdam is ongeveer 150 kilometer. Onderweg naar de familie in Rotterdam wordt altijd een half uur gepauzeerd.
   1. Hoe lang duurt de rit als er gemiddeld 100 kilometer per uur wordt gereden?
   2. Met welke snelheid is er gemiddeld gereden als de rit 2,5 uur duurt?
   3. Hoe bereken je de tijdsduur als je de gemiddelde snelheid weet?
   4. Hoe bereken je de gemiddelde snelheid als je de tijdsduur weet? Neem voor de tijdsduur de variabele `t` en voor de gemiddelde snelheid de variabele `v`.
   5. Geef een formule voor `t` als functie van `v`.
   6. Geef ook een formule die `v` uitdrukt in `t`.
   7. Voor welke waarden van `v` is deze formule volgens jou bruikbaar?

Theorie

Een functie van de vorm y = $\frac{c}{x}+a$ is een voorbeeld van een lineair gebroken functie. De grafiek van zo'n functie is ook een hyperbool, daarom spreek je ook wel van een hyperbolisch verband. Hierin zijn c en a constanten.

De grafiek bij zo'n functie heeft twee asymptoten:

• een horizontale asymptoot y = a;
• een verticale asymptoot x = 0.

‡

Voorbeeld 1

Voor het laten drukken van folders betaal je een vast bedrag van € 10,00 en daar bovenop € 0,04 per folder. De kosten per folder zijn daarom hoog als je maar weinig laat drukken.
Stel een formule op voor de kosten per folder en bereken met behulp daarvan bij welk aantal folders de drukkosten niet hoger zijn dan € 0,05.

Antwoord

De totale kosten voor a folders zijn: TK = 10 + 0,04a.
De kosten per folder bereken je door die totale kosten te delen door het aantal folders:
GTK = $\frac{10+\mathrm{0,04}a}{a}=\frac{10}{a}+\mathrm{0,04}$

Je wilt nu a berekenen als $\frac{10}{a}+\mathrm{0,04}$ < 0,05.

Eerst    $\frac{10}{a}+\mathrm{0,04}$ = 0,05     _{beide zijden 0,04 af}
                      $\frac{10}{a}$ = 0,01     _{lijkt op $\frac{6}{2}$ = 3}
                        a = $\frac{10}{\mathrm{0,01}}$ = 1000

Vervolgens gebruik je de grafiek van GTK. Je vindt: a > 1000.

‡

Voorbeeld 2

Automotoren stoten koolmonoxide (CO) uit via de uitlaat. De hoeveelheid CO die uitgestoten wordt hangt af van de temperatuur van de motor en de rijsnelheid. Bij een warme motor geldt voor de CO-uitstoot:
u = 4,4 + $\frac{\mathrm{196,0}}{v}$.
Hierin is u de uitstoot in gram/km en v de snelheid in km/h.
Welke twee asymptoten heeft de grafiek bij deze formule en welke praktische betekenis hebben ze?

Antwoord

Wordt de snelheid v heel groot, dan benadert $\frac{\mathrm{196,0}}{v}$ steeds dichter het getal 0.
De horizontale asymptoot is daarom u = 4,4.
Bij hoge snelheden wordt de CO-uitstoot weliswaar lager, maar toch blijft er altijd een uitstoot van 4,4 gram/km.

Nadert de snelheid v naar 0, dan wordt $\frac{\mathrm{196,0}}{v}$ heel erg groot.
De verticale asymptoot is daarom v = 0.
Bij lage snelheden wordt de uitstoot groot, volgens deze formule zelfs bij stilstand oneindig groot. In werkelijkheid kan dit niet zo zijn, de formule is kennelijk in dat geval niet meer geldig!

‡

Opgaven

2. Voor het laten drukken van luxe folders betaal je een vast bedrag van € 25,00 en daar bovenop € 0,12 per folder. De kosten per folder zijn hoog als je maar weinig laat drukken. De kosten `k` in euro per folder hangen af van het aantal folders `a` dat je laat drukken. Bekijk eventueel eerst Voorbeeld 1.
   1. Stel een formule op voor de kosten per folder.
   2. Waarom is `k` niet omgekeerd evenredig met `a`?
   3. Teken de grafiek van `k` als functie van `a` op je grafische rekenmachine.
      Welke asymptoten heeft deze grafiek?
   4. Bereken met behulp van de formule bij welk aantal folders de drukkosten niet hoger zijn dan € 0,15 per folder.


3. In Voorbeeld 2 zie je een formule voor de uitstoot `u` in gram/km van koolmonoxide bij een auto die met een snelheid `v` in km/uur rijdt.
   1. Maak de bijbehorende grafiek.
   2. Voor welke snelheden zal de formule bruiikbaar zijn?
   3. Bij welke snelheden is de uitstoot groter dan 6 gram/km?
   4. Bij welke snelheden is de uitstoot kleiner dan 5,4 gram/km?


4. Los de volgende vergelijkingen algebraïsch op:
   1. `400/v + 120 = 200`
   2. `20/(a - 10) - 6 = 10`


5. De maandelijkse kosten voor internet zijn bij een bepaalde provider € 2,50 per maand en nog € 1,25 per uur als je boven de "gratis" 8 uur uitkomt.
   1. Waarom staat in de vorige zin gratis tussen aanhalingstekens?
   2. De kosten per uur bij `a` uur internetten worden voorgesteld door `k`. Leg uit dat voor de eerste 8 uur internetten geldt: `k = (2,5)/a`.
   3. Als je meer dan 8 uur internet, dan geldt voor de kosten per uur: `k = 1,25 + (2,5)/(a - 8)`. Verklaar deze formule.
   4. Bereken algebraïsch vanaf hoeveel uur internetten per maand de kosten per uur kleiner zijn dan € 1,30.

Verwerken

6. In een groot winkelbedrijf wordt onderzocht hoe de tomatenverkoop afhangt van de prijs. Iemand beweert dat de volgende formule geldt:

   `a_1 = 500/p`

   Hierin is `a` de verkoop per dag in kilogrammen en `p` de prijs per kilogram in euro.
   Imand anders beweert dat de verkoop beter kan worden beschreven door

   `a_2 = 400/p + 25`

   1. Maak grafieken bij beide formules. Zorg er voor dat je de verkoop kunt aflezen voor prijzen tussen de € 1,= en € 5,= per kilogram.
   2. Bij welke formule is de invloed van de prijs op de verkoop het grootst?
   3. Bestudeer deze uitspraak: "Naarmate de prijs hoger wordt, worden er minder tomaten verkocht, de verkoop is echter ook bij hoge prijzen altijd minstens 25 kilo per dag."
      Welke van de twee formules past bij deze uitspraak?
   4. Welke ondergrens zit er aan de verkoop van tomaten volgens de andere formule?
   5. Welke van de formules lijkt jou het meest realistisch? En waarom?
   6. Bij welke prijs per kg verkoop je 50 kg tomaten per dag volgens de eerste formule? En volgens de tweede formule?


7. Een kaasboer houdt al jaren bij hoeveel kilo geraspte kaas hij per week verkoopt. Tot voor kort gold bij benadering de formule: `k = 195/p`.
   Hierin is `k` de hoeveelheid geraspte kaas (in kg) die per week verkocht wordt en `p` de prijs per kilogram. Er is echter een nieuw pizza-afhaalcentrum in het pand naast hem geopend. De eigenaar van het afhaalcentrum neemt iedere week 10 kg geraspte kaas af. (De prijs die hij betaalt, wordt in onderling overleg met de kaasboer bepaald.)
   1. Bereken in de nieuwe situatie het aantal verkochte kilo’s als de prijs € 10,= per kilo is.
   2. Leg uit dat de nieuwe formule voor `k` de vorm `k = 195/p + c` heeft en bepaal de waarde van de constante `c`.
   3. Teken de grafiek van `k` op de grafische rekenmachine en bepaal bij welke prijs per kilogram de verkoop per week 25 kg is.
   4. Bereken ook algebraïsch bij welke prijs de verkoop per week 25 kg is.
   5. Wat moet je aan de formule veranderen als het pizza-afhaalcentrum de wekelijkse order verhoogt tot 12,5 kg?


8. Los de volgende vergelijkingen algebraïsch op.
   1. `(2,25)/p = 0,45`
   2. `4,50 + 300/k = 4,70`
   3. `1200/(k+12) - 42 = 6`


9. De overheid besteedt veel geld aan campagnes die waarschuwen tegen de gevolgen van roken en drinken. Als deze campagnes effect hebben, dan zou binnen redelijke grenzen moeten gelden: hoe meer geld de overheid eraan besteedt, hoe minder mensen er roken. Stel dat de volgende formule geldt voor het percentage rokers van de Nederlandse bevolking:

   `p = 50/b + 15`

   Hierin is `p` het percentage rokers en `b` het bedrag dat de overheid aan antirookcampagnes besteedt (in miljoenen euro).
   1. Geldt voor deze formule inderdaad dat het percentage rokers afneemt naarmate de overheid meer geld aan campagnes besteedt?
   2. Bereken het percentage rokers als de overheid 200 miljoen euro aan campagnes besteedt.
   3. Er is een percentage van de bevolking dat ondanks alle campagnes hardnekkig blijft roken. Welk percentage is dat?
   4. Het percentage rokers is nog nooit meer dan 90 geweest en zal dat waarschijnlijk ook nooit worden. Bereken welke waarde van `b` bij `p = 90` hoort. Denk je dat de formule voor deze waarde van `b` nog geldig is?


10. De totale kosten `TK` (in euro) bij de productie van een bepaald artikel hangen af van het aantal exemplaren `q` dat er wordt gemaakt. In een bepaalde situatie geldt:

    `TK = 20 000 + 160q`

    Dit artikel wordt verkocht voor € 210,= per stuk.
    1. Leg uit dat voor de gemiddelde totale kosten `GTK` geldt: `GTK = 160 + 20000/q`.
    2. Ga er van uit dat alle geproduceerde exemplaren van dit artikel ook worden verkocht. Hoeveel moet je er dan minstens verkopen om winst te maken?

Toetsen

11. De verkoop van asperges hangt af van de prijs. Een groenteboer neemt aan dat de formule voor de verkoop deze vorm heeft:

    `a = 130/p + c`

    Hierin is `a` het aantal kilogram verkochte asperges per dag en `p` de prijs per kilogram in guldens.
    1. Teken de grafieken van `a` op een grafische rekenmachine met `c` achtereenvolgens gelijk aan 3, 7, 10 en 12. Zorg dat je waarden kunt aflezen voor prijzen tussen de € 5,= en € 15,= per kilo.
    2. Wat gebeurt er met de grafiek als je `c` groter maakt? Wat betekent dit voor het aantal kilogram verkochte asperges?
    3. De verkoop bij een prijs van € 15,- blijkt 20 kg per dag te zijn. Welke waarde heeft `c` in dat geval?


12. Los de volgende vergelijkingen algebraïsch op.
    1. `300/(T - 2) = 50`
    2. `300/T - 2 = 48`